圆
2018-08-19 18:02:28 20 举报AI智能生成
圆，一个完美的几何形状，没有起点和终点，象征着永恒和完整。它的每一个点都与中心等距，形成一个均匀的布局，给人一种和谐、平衡的感觉。圆的无边界性，让人联想到无限的可能性和广阔的视野。在中国传统文化中，圆也常被用来象征团圆和美满，如中秋的月饼、元宵的汤圆等。同时，圆也是许多科学和数学理论的基础，如圆周率π、圆形方程等。总的来说，圆是一个富有哲理和美感的形状，既有实际的应用价值，又有深远的文化内涵。
作者其他创作
大纲/内容
圆的有关概念、性质
圆的定义
将圆心为O，半径r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点集合
圆心和半径是构成圆的两个重要元素，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小
圆上各点到圆心的距离都等于半径;在平面内，到圆心距离等于半径的点都在同一个圆上
圆是指圆周，是曲线，而不是指圆面
弧、弦等概念
连接圆上任意两的线段叫做弦
直径是圆中最长的弦
圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧，读作“圆弧AB或弧AB”
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
弧可分为劣弧、半圆、优弧三种.一条直径把圆分成了两个半圆，小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧
能够重合的两个圆叫做等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧
基本性质
垂径定理及其推论
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
圆心角定理及其推论
圆心角的定义：顶点在圆心的角
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等
圆周角定理及其推论
顶点在圆上，并且两边都于圆相交的角叫做圆周角
（1）圆周角必须具备的两个特征：第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交
（2）同一条弧所对的圆周角有无数个
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等于这条弧所对的圆心角的一半
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径
圆内接四边形
定义
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆
性质
圆内接四边形的对角互补
确定圆的条件
不共线的三点确定一个圆
三角形的外接圆
圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
圆是旋转对称图形，它关于圆心有任意角的旋转对称性
正多边形和圆
正多边形的有关概念
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心
正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角
中心角的度数=360°÷n，n为正多边形的边数
正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距
正多边形的对称性
（1）所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形，共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心
（2）如果正多边形有偶数边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.如果正多边形有奇数条边，那么它只是轴对称图形，不是中心对称图形
正多边形的有关计算
正多边形的每个内角：[（n-2）×180°]÷n
正多边形的每个中心角：360°÷n
正多边形的每个外角：360°÷n
正多边形周长：C=n×a
正多边形面积：S=2分之1nar=2分之1C×r
正多边形的画法
点、直线、圆和圆的位置关系
圆和圆的位置关系（r1 外离d>r1+r2,内含d
点和圆的位置关系
点在圆外d>r
点在圆上d=r
点在圆内d
直线和圆的位置关系
相交d
切线的判定定理和性质定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的定理：圆的切线垂直于过切点的半径
圆的切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径
（3）切线垂直于过切点的半径
（4）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点
（5）经过切点且垂直于切线的直角必过圆心
切线长和切线长定理
切线长的定义
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线夹角
三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
弧长和扇形面积
弧长公式
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是360°分之2πR，即180°分之πR.于是n°的圆心角所对的弧长为l=180°分之nπR
扇形面积公式
在半径为R的园中，因为360°的圆心角所对的扇形面积就是圆面积S=πR²，所以圆心角是1°的扇形面积是360°分之πR².于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形=360°分之nπR²
S扇形=2分之1lR，其中l为扇形弧长，R为半径
圆锥的侧面积和全面积
圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体
圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线
圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高
圆锥的基本特征
圆锥的轴通过底面的圆心，并垂直于底面
圆锥的母线长都相等
圆锥的母线R、圆锥的高h、圆锥的底面圆半径r恰好构成一个直径三角形，满足r²+h²=R²，利用这一关系，已知任意两个量可以求出第三个量
沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，弧长为2πr，因此圆锥的侧面积为πrl,圆锥全面积为πr(r+l)
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