数学
2015-02-28 12:51:25 142 举报
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大纲/内容
数与式
有理数
整数
正整数
零
负整数
分数
负分数
正分数
相反数
定义:和为零的两个数互为相反数
0也有相反数
绝对值
定义:在数轴上,一个数到原点的距离叫做该数的绝对值
0有绝对值
乘方
同底数幂
原来的底数做底数,指数的和或差做指数
平方差
(a+b)(a-b)=a²-b²
幂的乘方
底数不变,指数相乘:(a^m)^n=a^(m乘以n)
积的乘方
(a乘以b)^n=a^n乘以b^n
完全平方
(a+或-b)²=a²+或-2ab+b²
先乘方再乘除再加减(有括号先开括号)
平方根
根号下的数≥0,不能小于0,且开出来的数有正负数、0
算术平方根
根号下的数≥0,不能小于0,且开出来的书只能是正数、0
立方根
正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0
实数与数轴上的点一一对应
无理数,即无限不循坏小数
满足无理数的三个条件
不循环
是小数
是无限小数
有理化
分母有理化:把分母中的根号消除
分子有理化:把分子中的根号消除
科学记数法表示数:从左数第一个有意义的数,写成 这个 有意义的数乘以10^n
提公因式
am+bm+cm=(a+b+c)乘以m
公式法
先变成ax²+bx+c=0,再用△=b²-4ac
十字相乘法
分式
定义:形如A/B,B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式,其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。如果x/y是分式,那么x(y+2)/y也是分式
判断:①分式的分母中必须含有字母;②分母的值不能为0
函数
量
变量
即是未知数
常量
不变的量,即是常数
三种表示法
解析
图像
列表
根据题意确定函数的自变量的取值范围
一次函数
意义
一般的。在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于每一个x确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说y是x的函数,其中x称为自变量
表达式
y=kx=+b(k为常数,k≠0)
画图的一般步骤
列表
描点
连线
性质(k>0过一三象限,<0过二四象限。b>0过一二象限,b<0过三四象限
`k>0,b>0时过一二三象限
k>0,b<0时过一三四象限
k<0,b>0时过一二四象限
k<0,b<0时过二三四象限
正比例函数
意义
一般的,两个变量x、y之间的关系式可以写成形如y=kx(k为常数,且k≠0,)的函数,那么y就叫x的正比例函数
性质
k>0时过一三象限
k<0时过二四象限
表达式
y=kx(k为常数,k≠0)
一次函数和正比例函数相同的性质
当k>0,y随x的增大而增大
当k<0,y随x的增大而减小
反比例函数
意义
一般的,两个变量x、y之间的关系式可以写成形如y=k/x(k为常数,k≠0)的函数,那么y就叫x的正比例函数
表达式
y=k/x(k为常数,k≠0,x≠0)或xy=k
性质
当k<0时,双曲线分布在二四象限。且每一象限中y随x的增大而增大
当k>0时,双曲线分布在一三象限。且每一象限中y随x的增大而减小
图像
双曲线
二次函数
意义
一般的,我们把形如y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0)的函数叫二次函数,其中a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数
表达式
y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0)→一般式
y=a(x-x1)(x-x2)→交点式
y=a(x-h)²+k→顶点式
图像
抛物线
与x轴交点
当△>0,函数与x轴有2个交点
当△=0,函数与x轴有1个交点
当△<0,函数与x轴没有交点
与y轴交点
x=0,所以与y轴交点就是c的值
开口方向
a<0,朝下
a>0,朝上
性质
当a<0,y在对称轴右侧时,y随x的增大而减小。y在对称轴左侧时,y随x的增大而增大
当a>0,y在对称轴右侧时,y随x的增大而增大。y在对称轴左侧时,y随x的增大而减小
顶点坐标
(-b/2a,4ac-b²/4a)
对称轴
x=-b/2a
一次函数不一定是正比例函数,正比例函数一定是一次函数
不等式
基本性质
①不等式的两边同时加上或减去同一个整式,不等号的方向不变
②不等式的两边同时乘以或除以同一个大于0的数,不等号的方向不变
③不等式的两边同时乘以或除以同一个小于0的数,不等号的方向改变
解一元一次不等式
解简单的一元一次不等式
去分母(运用性质②③)
去括号
移项
合并同类项
将未知项系数化为1(运用性质②③)
解由两个不等式组成的不等式组
去分母(运用性质②③)
去括号
移项
合并同类项
将未知项系数化为1
结果取值诀窍
大大取大
小小取小
大小小大中间找
无公共部分既无解
表示方法
用不等式表示
用数轴表示
根据具体问题中的数量关系列一元一次不等式(组)
图形的认识
角度的度分秒概念
1°=60′ 1′=60″ 1°=3600″
角平分线
性质
角平分线上的任意一点,到角两边的距离相等。垂直两边的距离为最短距离。被平分角会得到的相等的两个角
垂线段(概念)
平面内,过一点有且只有一条与已知直线垂直
点到直线之间,垂线段最短
垂线
定义
当两个直线相交所成的四个角中,有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足
垂线、垂线段的区别
垂线段有两个端点,垂线没有
垂线段可度量,垂线不可度量
垂线是一条直线,垂线段是一条线段
线段垂直平分线性质
垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等
垂直平分线垂直且平分所在线段
平行线性质
内错角相等
同旁内角互补
同位角相等
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
两条平行线间的距离处处相等
三角形
具有稳定性
三条角平分线交于一点
等底等高的两个三角形面积相等
等腰△
有两条边相等的三角形为等腰△
两底角相等
三线合一:在同一个三角形中,三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合
等腰△包括等边△(又叫正△),所以等边△也有三线合一的性质,且三个角相等,均为60°
全等三角形
概念:两个三角形所对应的边和角都相等,就是全等三角形
判定方法
边角边
边边边
角边角
HL(直角三角形用:两个三角形已知都是直角三角形,证斜边和一条直角边相等)
直角三角形
两锐角互余
斜边上的中线等于斜边的一半
在直角三角形中,30°所对的边是斜边的一半
在直角三角形中,若a²+b²=c²,那么c边为斜边
一个三角形,如果这个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是以这边为斜边的直角三角形
多边形
内角和:(n-2)乘以180°外角和:180n-(n-2)乘以180°【n为多边形边数】
正多边形:各边各角都相等的多边形
平行四边形
概念:在同一平面内,有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
性质
两组对边平行且相等
对角相等,邻角互补
是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点(不是轴对称图形)
判定
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形
一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形
概念:有一个角是直角的四边形是矩形
性质
矩形四个角都是直角,对边相等
矩形对角线相等
矩形既是轴对称图形有是中心对称图形
对角线互相平分
正方形
概念:一个角为直角且一组邻边相等的平行四边形为正方形
性质
有一组邻边相等的矩形是正方形
一个角为直角且一组邻边相等的平行四边形为正方形
有一个角是直角的菱形
对角线垂直的矩形是正方形
对角线相等的菱形是正方形
梯形
概念:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形
性质
等腰梯形的两底脚相等
等腰梯形的两条对角线相等
等腰梯形是轴对称图形
梯形上下两底平行
梯形的中位线(两腰中点相连的先线叫中位线)平行于两底且等于上底加下底和的一半
平行四边形、矩形、正方形、梯形的关系
平行四边形包括矩形和正方形,矩形包括正方形,梯形单独一类
平行图形镶嵌
定义:用大小形状相同的几种或一种图形进行镶嵌,彼此之间不留空隙,拼成一片
要求
各个顶点处内角和为360°
圆
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的弧
不在同一平面的三个点确定一个圆
直径所对的圆周角是直角
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半
在同圆或等圆中,同弧所对的弦、圆心角相等。
方程与不等式
配方法
ax²+bx+c=ax²+bx+c+(b/2)²-(b/2)²
公式法
因式分解法
列方程(组)解应用题,要检验结果是否合理
解分式方程必须检验
图形与变换
轴对称
基本性质:对应点所连得的线段被对称轴垂直平分;对应线段、角相等;两个图形完全相等
平移
旋转
相似三角形
判断
两角对应相等
两边成相同比例且夹角相等
两个三角形一条对应边平行
三边成相同比例
两个直角三角形中:如果斜边与直角边对应边成比例
射影定理(BD为AC边上的高)
BD²=AD乘以DC
AB²=AD乘以AC
BC²=CD乘以CA
图形的位似
可将图形缩小
可将图形放大
性质
位似图形的线段比等于相似比
位似图形对应点连线的交点是位似中心
位似图形的面积等于相似比的平方
位似图形的对应边平行
位似图形的高、周长都等于相似比
位似图形的对应角相等
三角函数值
30°
sin30°=1/2, cos30°=根号3/2, tan30°=根号3/3,cot30°=根号3
45°
sin45°=根号2/2,cos45°=根号2/2,tan45°=1,cot45°=1
60°
sin60°=根号3/2,cos60°=1/2,tan60°=根号3,cot60°=根号3/3
图形与证明
一条直线截两条平行直线所成的同位角相等
两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,那么这两直线平行
统计
收集数据
整理数据
描述数据
分析数据
众数
这组数据中出现次数多的数(众数可以是好几个,也可以没有)
中位数
将这组数据从小到大排列起来,位于中间位置的数为中位数
平均数
在一组数据中,所有数据之和再除以这组数据的个数
极差
极差=x乘以这组数据的最大值-x乘以这组数据最小值
方差
方差=1/n【(x-这组数据平均数)²+(x2-这组数据平均数)²+…(xm-这组数据的平均数)²】→n为这组数据个数
频数
定义:在统计学中,将样本按一定方法分成若干组,每组含有这个样本个体的数目叫做频数
频率
定义:一组数据的频数与样本容量的比值,叫做这组数据的频率
有了频率或频数就可以知道数的分布情况
概率
定义:表示随机事件可能发生大小的量,是事件本身所固有的不随人的主观意愿而改变的一种属性
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