线性代数
2018-08-19 18:01:04 3 举报AI智能生成
线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也叫线性空间）、线性变换和有限维的线性方程组。它包括行列式、矩阵、线性方程组等概念，是现代数学的基础之一。线性代数在计算机科学、物理学、经济学等领域都有广泛的应用。例如，计算机图形学中的变换和投影就是线性代数的应用；物理学中的力学系统可以用线性代数来描述；经济学中的优化问题也可以用线性代数来解决。总之，线性代数是一门非常重要的学科，对于理解和解决现实世界中的问题有着重要的作用。
作者其他创作
大纲/内容
矩阵
转置矩阵
对称矩阵
反对称矩阵
对角矩阵
纯量矩阵
单位矩阵
矩阵的运算
加法
交换律
结合律
纯量乘法（与行列式的差别）
乘法
结合律
分配律
不满足交换律和消去律
A与任一n阶方阵可交换的充要条件是A为纯量矩阵
(ABC)^T = (C^T)(B^T)(A^T)
推广到有限多个矩阵
迹：主对角线元素之和
伴随矩阵
由A的行列式|A|所有的代数余子式构成的矩阵
AA^*=|A|E
可逆矩阵
AB=BA=E
|A|!=0
特征值不全为0
齐次方程组Ax=0只有0解
初等变换
倍乘
互换
倍加
行变换：左乘
列变换：右乘
aij=k：
第j行的k倍加到第i行
或第i列的k倍加到第j列
具体看左乘还是右乘
矩阵的秩
求秩的方法
初等变换的矩阵秩不变
A可逆，则r(AB)=r(B)=r(BA)
秩与子式的关系
r(A)=r 矩阵A中非零子式的最高阶数是r
r(A)
r(A)>=r A中有r阶子式不为0
r(A)=0 A=O
A!=O r(A)>=1
A是n阶矩阵：
r(A)=n充要|A|!=0充要A可逆
r(A)
矩阵秩的公式
r(A)=r(A^T)
r(A^TA)=r(A)
r(kA)=r(A)
k!=0
r(A+B)<=r(A)+r(B)
A:m*n B:n*s
AB=O r(A)+r(B)<=n
分块矩阵：
r(A,O;O,B)=r(A)+r(B)
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