第四章 矩阵的运算
2016-01-23 09:27:38 12 举报AI智能生成
矩阵运算是线性代数中的一种基本操作，主要包括加法、减法、乘法、转置和求逆等。矩阵加法和减法要求参与运算的两个矩阵具有相同的行数和列数，结果矩阵的每个元素等于对应位置的两个矩阵元素的和或差。矩阵乘法则要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，结果矩阵的每个元素等于第一个矩阵的一行元素与第二个矩阵一列元素的乘积之和。转置操作则是将矩阵的行列互换，得到新的矩阵。求逆操作则要求原矩阵是一个非奇异矩阵，即其行列式不为0，结果矩阵是原矩阵的逆矩阵。
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大纲/内容
1 矩阵的运算
和：C=A+B
符合8条运算法则
数量乘积：M=kA
符合8条运算法则
乘积：C=AB
条件：左矩阵列数等于右矩阵行数
适合左分配率：A(B+C)=AB+AC
适合右分配率：(B+C)A=BA+CA
适合结合律：A(BC)=(AB)C
不适合交换律：AB≠BA
不适合消去律：AC=BC不能推出A=B
BA=0，不能推出A=0或者B=0
单位矩阵
定义：主对角线上是1，其余元素都是0
IA=AI=A
数量矩阵
定义：主对角线上都是k，其余元素都是0
k(AB)=(kA)B=A(kB)
转置与运算
(A+B)'=A'+B'
(kA)'=kA'
(AB)'=B'A'
2 特殊矩阵
对角矩阵：对角线以外的元素全为0的方阵，简记：diag{d1,d2...,dn}
对角矩阵左乘A，
相当于对角矩阵主对角元素乘A的对应行
两个n级对角矩阵相乘，
结果还是n级对角矩阵，并且是把对应主对角元素相乘
上（下）三角矩阵
两个n级上三角矩阵A和B相乘的乘积还是n级对角矩阵，
结果的主对角元素等于A和B的主对角元素相乘
基本矩阵：只有一个元素是1，其它都是0，（i，j）为1，记做E_ij
初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换等到的矩阵
用初等矩阵左乘一个矩阵A，就相当于对A进行了一次相应的初等行变换
对称矩阵：A'=A
斜（反）对称矩阵：A'=-A
3 矩阵乘积的秩与行列式
Rank(AB)<=min{Rank(A), Rank(B)}
Rank(A'A)=Rank(AA')=Rank(A)
|AB|=|A||B|
4 可逆矩阵
可逆矩阵A：AB=BA=I，其中B是A的逆矩阵，记做A^-1
如果A是可逆的，则|A|≠0
n级矩阵A可逆的充分必要条件是：|A|≠0
推论：n级矩阵A可逆的充分必要条件是Rank(A)=n,即A是满秩矩阵
推论：n级矩阵A可逆的充分必要条件是A的（行）列向量线性无关
可逆矩阵的性质
I' = I
若A可逆，（A^-1）^-1=A
若n级矩阵A、B都可逆，则AB可逆，且(AB)^-1=B^-1A^-1
若A可逆，A'也可逆
可逆矩阵经过初等行变换化成的简化阶梯矩阵一定是单位矩阵
矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成一些初等矩阵的乘积
用一个可逆矩阵左(右)乘矩阵A，不改变A的秩
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