考研数学：高等数学
2018-09-27 17:56:47 211 举报AI智能生成
2018考研数学高数复习框架
作者其他创作
大纲/内容
一元函数积分学
定义和性质
定积分
定义
表达式
物理意义
面积
推导过程
把极限写成定积分
不定积分
反常积分
定义
无界区域的积分
无界函数的积分
原函数
定义
在区间上，这个函数的导数是某个函数，则前者为后者的原函数
原函数存在定理
连续函数有原函数
不连续的函数中
第一类间断点和无穷间断点，没有原函数
第二类间断点不确定
举例子
子主题
要证明
18讲119页
性质
若两个函数的导数相等，则两个函数相差一个常数。用拉格朗日中值定理证明
周期性
子主题
中值定理
积分公式
求积分
不定积分
定积分
1.先看需不需要分段，避开间断点
反常积分
1.找到反常类型进行计算
子主题
2. 利用奇偶性 对称区间时，要注意每个区间的积分是有界
错题
有极限部分，考虑夹逼法则，中值定理
步骤
1. 判断奇偶性，判断是否对称区间，判断周期性
2.统一的手段
换元法
第一类换元（直接代换）
观察法
对复杂部分求导
例子
第二类换元法（去根号）
三角代换
例子
恒等变形成三角代换
通过配方等等
根式代换
分部积分
何时用
两种不同形式函数乘积
怎么用
反对幂三指，当做u保留
拆项
有理多项式
1.直接观察拆分
2.加减拆分
3.分母分解因式后，待定系数
三角函数式
待定系数
例题
题型
三角函数式子
1.化成同一个cosx,sinx
万能代换
例题
倍角公式等
2.处理f（cosx, sinx）
公式法
具体公式
子主题
子主题
换元法
方法
拆项
几何应用
求旋转面积
一道错题:求两个面积要分开算
易错点： 求面积，圆柱体的高是ds弧微分
求旋转体积
易错点：求体积，圆柱体的高是dx
求弧长
六个函数图像
子主题
物理应用
不等式和等式问题
等式
定积分极限
夹逼法则
中值定理
不等式
方法
函数化：引入变限积分化为微分不等式
用积分的性质（不等式性质、积分中值定理），换元、分部积分
估计被积函数（拉格朗日中值定理，泰勒公式）
柯西不等式
二重积分
题型
常数不等式
函数化
步骤
1. 分析是函数形式还是常数形式
积分和差
划为同一个区间的积分
多元函数微分学
二元函数
二重极限
以任意方向趋近
题型
求二重极限
证伪：用多个方向趋近
夹逼法则
利用绝对值大于等于0这个天然下限
等价代换
不能用洛必达和单调有界了
（0，0）上同次或者上面高次，往往没有极限。上面低次，为0.
性质
同一元极限
连续性
定义
同一元极限，极限值等于函数在此点取值
连续函数性质
同一元，有界性 最值定理 介质定理
偏导数
定义
将一个变量看成无关，利用一元函数导数的定义（极限定义）求另一个变量的导数
求法
先代后求
举例子，求f'x(0,0)
代入y=0,f(x,0) = blablabla
再求
几何意义
沿着两个坐标轴方向的切线斜率
高阶导数
二阶导数有四个
定理
若在（x0,y0）处，f连续，则f''12 = f''21
二元函数的全微分
定义
一元函数的微分是指线性关系
二元函数同理
可微必要条件
dz = f'1 * dx +f'2 * dy
可微充分条件
两个偏导数连续
很难用上
题型
判断是否可微
1 写出z的增量
2. 写出线性增量 f'1 * dx + f'2 * dy
3.判断极限为0与否
多元函数微分法
链式求导
步骤
1. 画树形图
2. 逐个求导
定理
求导后的部分与原函数树形图结构相同
隐函数求导
隐函数存在定理
条件：f(x,y)有连续一阶偏导数且F'y ！= 0
则F（x,y） = 0可以确定y =y(x)
dy/dx = -F'(x) / F'(y)
存在定理2
极值与最值
多元函数积分学
二重积分
定义
几何意义
二维平面面积
性质
同一重积分
对称性
普通对称性
积分区域关于x对称，看积分函数关于y是奇函数还是偶函数
轮换对称性
积分区域关于y=x对称（x y可互换），则积分函数也可以互换x、y
计算方法
利用直角坐标
1. 先x后y
先确定x范围，在两个数之间
在从下到上平行于y轴穿线，先碰到为下界
2. 先y后x
先确定y范围 在两个数之间
从左到右平行于x轴穿线 先碰到为下界
利用极坐标
被积分区域为可用极坐标简单表示
被积函数中间有x^m*y^n, x^2 + y^2，或者y/x
换序
注意
1 要和换续前的正负相同
换序可以让本来不能求导的部分求导
形心公式
题型
求二重积分
1. 画出积分区域
在出现极坐标需要画图的时候，可以用各项平方看看
2. 判断原来积分顺序是否是负的
3. 先看对称性，形心公式
4. 换坐标系
如何判断需要换系？
换上下界时，被积函数和积分区域仍然不好求出
定范围
有时需要平移，偏心圆
5.换序
与不定积分求导结合
判断不定积分可不可以对x求导
上下限有x ， 被积函数也有x
不可直接求导
不等式问题
两个一重积分可以化成一个二重积分
可以利用的性质
被积函数比较大小
泰勒公式
三重积分
物理意义
体积
性质
同一重积分
对称性
普通对称性
若积分区域关于xoy面对称，则看被积函数关于z的奇偶性
轮换对称性
若积分区域xy可以对调，则被积函数xy也可以对调
计算
直角坐标
先一后二 投影穿线
条件
z1(x,y) < z < z2(x,y), 在xoy上投影始终不变
步骤
先定在xoy投影的线，再定z上下限
先二后一 平行截面
条件
a<z<b, xy在截面上
步骤
先确定z上下界，平行xoy平面截面来积分
柱面坐标
适用
出现平方和
积分区域为旋转体（柱、锥）
先一后二
改为极坐标即可
先二后一
改为极坐标
球坐标
适用
出现三项的平方和
积分区域是球体、锥
定θ φ r的方法
形心公式
换坐标
可以画图后换
子主题
第一型积分
第一型曲线积分
物理意义
求线质量
性质
同一重积分
对称性
普通对称性
积分曲线关于yx对称 则看被积函数关于z是奇函数还是偶函数
轮换对称性
若积分曲线xy可对换，则被积函数xy也可以对换
一般是二重积分，同二重积分
计算
化成定积分
一投二代三计算
平面曲线y = y（x）
投影：a<x<b
代入： y用x表示，弧微分用dx表示
平面曲线用参数方程，x = x(t),y = y(t)
投影：a<t<b
代入：y x用t表示 弧微分用dt表示
平面曲线 r=r(θ)
投影： α<θ<β
代入：x y用极坐标代换，弧微分用dθ表示
形心公式
第一型曲面积分
物理意义
平面质量
对称性
同三重积分
计算
划为二重
一投二代三计算
往一个平面投影
面积微元ds = ?
需要求导
形心公式
平移
偏心球
步骤
画出积分区域
一投二代三计算
同时观察有没有出现表面是二重积分 实际是一重积分的情况
ds 可以被一个变量表示
第二型积分
平面第二型曲线积分
物理意义
变力沿曲线做功
性质
与积分路径方向有关
和起点终点有关系
计算
划为定积分
一投二代三计算
平面曲线 x = x(t) y = y (t)
起点t = a 终点t = b
代入：将x y用t代换
格林公式
条件
D是由分段光滑的正向曲线L围成的区域
正向定义
沿L方向走左手在D中
方法
见公式
可以换曲线
被积函数偏导数相等（路径无关）
L l 都绕着取不到的点 同方向
积分与路径无关
D区域上 任意第二型曲线积分为0
Pdx+ Qdy在D内全微分方程
在计算中的应用
1. 改成同样起点和终点的简单路径
路径的选择
原函数代入起点终点
求原函数方法
计算步骤
确定P Q
注意正负，不要忘记分母
确定范围
画图
注意不可取的点
错题
判断方向
第二型曲面积分
物理意义
流量
V * S
对xoy平面 Vz为有效的V
性质
与侧有关
外侧就是法向量朝外的
右 上 前 为正
计算方法
划为3个二重积分
一投二代三正负
投影
投到xy平面上
代入
把z换掉
正负
法向量与z轴夹角
化为一个二重积分
一投二代三正负
dydz = -Z'x dxdy
dzdx = -Z'y dxdy
旋转坐标变量法
例题
换曲面
一个区域内有散度=0
围绕奇点有两张同侧曲面
高斯公式
条件
闭区域由光滑曲面围成
PQR 有一阶导数
用法
换曲面
补一个面
步骤
分清楚PQR
辨别方向
物理意义看有没有为0的
二重积分适用
平面可以投影到xy上，可以把dz一起化为dx dy
高斯公式
空间第二型曲线积分
化为定积分
斯托克斯公式
右手系
闭曲线
常考：降维到二维 使用格林
一般这个曲线是一个平面与一个二次曲面的交线
用平面反解出dz z，代入曲线积分可以消去dz z
用二次曲面在xy上投影就成为了二维曲线
散度和旋度、质心和旋转动量
记公式
无穷级数
常数项级数
定义
常数的和 Sn
定义
常数的和 Sn
常数的和 Sn
概念
收敛
lim n趋于无穷 存在
发散
反之
正项级数
从某一项开始后an > 0
交错级数
从某一项开始后正负交替出现
任意项级数
性质
Sn 收敛，k*Sn也收敛
收敛级数 +发散级数 ＝ 发散
收敛 ＋ 收敛 ＝ 收敛
收敛 则 an -> 0
改变前面有限项 不影响敛散性
收敛级数加括号后收敛
但减括号不一定
判断
正项级数
收敛原则
用于证明
重要级数
等比级数
p次方级数
比较判别法
比较
1. 分子分母上，放缩要保留主要矛盾
2. ab <= a^2 + b^2
3. 重要级数
极限形式
lim n->无穷 Un/Vn
比较
子主题
lim n->无穷 Un+1/Un
比值
阶乘
lim n->无穷 开根号Un
lim n->无穷 取对数
无穷小等价
只有正项级数有 等价同敛散
常用几个函数无穷大时的大小关系
对数<< 幂函数 << 指数 << 阶乘 << n^n
交错级数
莱布尼茨
1. 绝对值递减
2. lim n->无穷 an = 0
任意项级数
绝对收敛
绝对值收敛
条件收敛
级数的绝对值不收敛，但级数收敛
得到的积分收敛域可能更大
题型
判断级数敛散性
步骤
观察通项an
恒等变形
幂级数：ln处理
分数：拆项
三角函数：化为交错
根号：分母有理化
积分
比较被积函数
也可以求出来看看
对被积函数恒等变形
几个an加减
乘积形式
ab: 平方和
已知一个级数收敛，可以看出通项有界性
判断通项是否极限为零
考虑当n充分大时通项的情况
肉眼观察
等价无穷小
无穷大极限
无穷个数和的平均数
无穷个平方和开方
考虑各种判别方法
子主题
选择题找收敛级数
正面做 不要找反例
证明敛散性
会用到极限和收敛的定义
常数项级数求和
先求Sn表达式 再求n->无穷时的极限
幂级数
幂级数
定义
通项为 an * (x - x0) ^n 的级数
概念
收敛域
收敛点的集合
收敛点
x某个取值，这个取值使得幂级数收敛
收敛区间
收敛半径的开区间
小于收敛域，收敛域可能带端点
性质
幂级数是一个函数
连续性
在收敛域连续
可积性
收敛域内
得到的积分收敛域可能更大
可导性
收敛区间可导
得到的导数收敛域可能更小
求收敛半径、区间、收敛域
Abel定理
若an* x^n 在 x1 处收敛，则在 x<=|x1|收敛
若an* x^n 在 x1 处发散，则在 x>=|x1|发散
在某处条件收敛
此处为半径
求法
lim n->无穷 an+1/an = φ
开方也可以
一种方法算出不存在 用另一种方法
R = 1/φ
求收敛域要检查端点
如果有多个幂级数要求 需要单独求半径
函数展开为幂级数
泰勒级数
条件
级数有任意阶导数
展开式
麦克劳林级数
在x = 0展开
展开方法
直接法
逐个求导
麦克劳林展开式
用现成的展开
题型
幂级数求和
先求收敛域
通过x作为参数移走、拆项等恒等变换进入下一步
类型
x^n / n
基础麦克劳林
x^n * n
看成x^n的导数
x^n * n * (n-1)
看成 x^n 二阶导数
和函数展开
基础麦克劳林，换元，直接展开
求导后展开
积分回来的时候要注意 +f(0)
应用一些公式化为麦克劳林
拆项
次方和差
易错
n的变化
向量代数与空间几何
向量
运算
叉乘
运算法则
分配
右手
用法
找两向量垂直的另一个向量
判断平行 = 0
点乘
运算法则
分配
用法
判断垂直 = 0
混合积
（A x B）. C
几何意义
求AB为底面，C为斜边的体积
用法
判断共面
性质
ACC为0
结果为行列式的值
题型
利用运算律
角平分线 不等于 平行四边形的斜边！
平面与直线
平面
表达式
点法式
一般式
截距式
直线
表达式
参数式
直线上一点和直线的N倍方向向量
对称式
直线上一点和直线的方向向量
一般式
两平面的交线
位置关系
平面与平面
两个
相交
法向量不平行
平行
法向量平行
重合
法向量平行，平面有公共点
三个
和方程的解以及线性相关有关，见本子
平面与直线
相交
平行
法向量 垂直直线方向
垂直
法向量 // 直线方向
直线与直线
平行
相交
点到直线距离
求正弦
点到平面距离
求余弦
直线到直线距离
求公垂线 全书上
体积 / 面积
曲面和曲线
曲面
表示
显示
隐式
旋转曲面
母线在坐标平面，旋转轴在坐标轴
扩展变量，旋转轴不变
各种旋转曲面
锥面
抛物面旋转
双曲线旋转
正惯性系数
为一
单叶双曲面
为二
双叶双曲面
题型
求旋转曲面方程
绕坐标轴
判断母线是二维还是三维
三维
旋转轴为z，求得x1 ， y1 关于z的方程，带入x^2 + y^2 = x1^2 + y1^2
二维 ，在某个平面上
绕别的直线
柱面
母线平行于坐标轴时，就消去了此轴
往往没有全部的变量的曲面就是柱面
题型
求柱面方程
判断曲线是二维还是三维
二维
母线与坐标轴平行
消去此坐标轴
如果本来就不含那个坐标轴，就选这个平面来表示了
三维
母线与坐标轴平行
也消去此坐标轴
如果本来就不含那个坐标轴，就选这个平面来表示了
曲线
表示
显示
隐式
题型
投影
在被投影的曲面不是无限的时候，在消去坐标轴的时候要注意范围
判断被投影的曲面是不是无限的
被投影的平面大小有限
柱面和平面的交线
限定取值范围
平面大小无限
柱面和平面的交线
极限与连续
数列极限
定义
eposilon δ
有极限的（收敛）充要条件
子序列也收敛
性质
与前几项无关
题型
求数列极限
单调有界
先证明单调和有界
证明有极限
再算出有极限
还可能要利用极限唯一以及保号性选择一个合理答案
夹逼法则
记忆
n次幂的和开n方，极限等于最大的那个数
定积分
步骤
先看是不是积分和
否则使用夹逼法则
单调有界准则（难）
函数极限
定义
epsilon δ
定义域（空心邻域）的区别
x趋向于无穷
x趋向于某个值
右极限
左极限
题型
左右极限要分开讨论的情况
断点
arctan x， x 无穷
e ^x, x无穷
先考虑在空心邻域有没有定义
P19 18讲
性质
唯一
局部有界
证明要用到区间内连续则有界
保号
函数 -> 极限
证明都用定义法
极限 -> 函数
无穷大与无穷小
无穷大
定义
函数在x0处的空心邻域上都>任意A
与无界的关系
无界只要邻域上存在一个x使得函数无限大就行了
无穷大需要空心邻域的所有点都要满足使得x无限大
无穷大一定无界，无界不一定无穷大
记忆
（ln n）^n <<n^a << b ^ n<< n!<< n ^ｎ
n、a 开n次方根
1
无穷小
定义
无穷小之间的比较
无穷小运算
加减
乘法
无穷小与函数极限的关系
题型
P20 18讲
运算
能否拆分
小极限存在
线性规则
小极限不存在则不可以拆分
推论
1. 分数极限若存在，分母极限 = 0，则分子极限也为0
2. 分数极限若 ！= 0， 分子极限 = 0， 则分母极限 = 0
复合函数
题型
判断f(g（x）)有无极限
注意在g()中，在有极限的定义域的去心领域内，没有等于极限的值
全书
存在准则
夹逼法则
重要极限sin/x的推出
数列的单调有界
重要极限(1+x)^(1/x)
存在的充要条件
左右极限同
x0对应的函数取值 = A + 无穷小
题型
0/0
洛必达
泰勒
泰勒级数的简单求法
全书例题3
等价
无穷/无穷
同除最高次
洛必达
0*无穷
划为除法
无穷 - 无穷
通分、有理化化成除法
泰勒
无穷^0,0^无穷
幂指数
各种幂指数都需要这样处理
错误
两个幂指数相加，
改写
1^无穷
改写
其他方法和细节
同函数形式使用拉格朗日
三角函数互相代换
当不能使用洛必达
有抽象函数优先考虑用导数的定义
等价
只能乘除用，不能加减用
x等价
泰勒推出的等价
函数有界
充分非必要条件
连续则有界
有最大最小值则有界
有极限则在对应空心邻域内有界
有界函数的和、积有界
在某个空心邻域内极限为无穷，则对应的空心邻域中，函数是无界的
概念
连续
显著特征
极限等于取值
其他定义
间断点
第一类间断点
第二类间断点
一元函数微分以及应用
可导
定义
几何意义
代数意义
求法
运算法则
加减
乘除
要会用定义推出
反函数的导数
幂指数导数
参数式
题型
导数
求多次导数
莱布尼兹
泰勒展开
反函数求多次导数
用定义
用定义求极限
不满足洛必达时
子主题
子主题
子主题
用定义求导数
求某个点的导数值
判断抽象函数导数存在
微分
定义
几何意义
代数
应用
单调性
极值
定义
邻域上的最值
间断点也可以是极值
条件
充要
必要
有导数的话，一阶导数为0
没有导数
导数存在？
充分
第一充分
前提条件
去心邻域一阶可导
判断标准
左右领域的一阶导数变号
用穷举法证明
是去心领域，因此不需要判断中心是否有倒数
第二充分
前提条件
中心有一阶导数，为0
中心二阶可导
结论
>0
极小值
证明
泰勒展开
第三充分
前提条件
中心有n阶导数，全部为0
n+1阶也可导
判断标准
n的奇偶性
证明
泰勒展开
必要
导数存在？
没有导数
有导数的话，一阶导数为0
费马定理
最值
定义
定义域上的最值
求法
如果只有一个极值，则为最值
求出一阶导数不存在or为0的
凹凸性
导数+1次
渐近线
水平渐近线
在正负无穷处，极限为一个值
铅直渐近线
分母为0
所有有分母的部分都需注意
斜渐近线
f（x）/x，在正负无穷处，极限为一个值
曲率
定义：角度/弧长=a/S = 1/R
S微分 = 弧微分
a微分 从 y' = tana 得到 da/dx
题型
已知曲率圆方程和曲线
关系
交点
一次函数等
公切线
同一个一次导数
曲率同、同曲率半径
同二次导数
步骤
求圆的一次导数，二次导数都可以用复合函数求导
记忆
椭圆在一点的切线？
题型
求极值
隐函数、参数函数求极值
用第二充分
求函数最小值最大值
求凹凸性、拐点
隐函数、参数函数求拐点
用第二充分
拐点的图像表示
切线在图像的两边
求渐近线
参数方程的话也是找定义域不存在的地方，以及x->无穷时t的取值
求渐近线条数
注意无穷极限的分类讨论
已知G（f（x）,f'(x),f''(x)), 找函数性质
回到定义，判断各部分正负
假设法，假设有极大（小）值，带入G
求函数定义域 值域
方法
单调性 最值
可能要用到泰勒公式
找到值可能的区间，再证明值充满了区间
判断有无反函数
原函数严格单调性
中值定理
闭区间上连续函数的定理
介值定理
存在f(a),f(b)之间的值，总有f(λ)可以取到
推出根存在定理f(a)f(b)<0 -> f(c) = 0
推出平均值定理
f(λ) = 平均数，一定能取到
有界与最值定理
存在最小值和最大值
推出有界性定理
必然有界
条件
闭区间连续，开区间可导
费马定理
极值处，导数为0
证明：极值的定义
罗尔定理（导函数根存在定理）
证明：存在极值
拉格朗日
证明：构造函数，证明导函数根存在
几何意义
能找到一个点的导数 = a,b,点的连线斜率
推论
导数恒为0，函数值为常数
导数相同，原函数只差一个常数
一个点的左右导数，等于导函数的左右极限
柯西
证明：同上
题型
证明不等式
方法
单调性
1.是否右连续
连续用函数值，不连续算出右极限
最值
中值定理
泰勒
题型
证明有n个零点
方法
介值定理
罗尔定理
罗尔定理衍生
f(x)有k个零点，f'(x)有k-1 个，以此类推到f的k-1阶导数
洛必达法则
条件
分子分母为0、无穷、n/无穷
去心邻域内存在一阶导数
分子分母求导后有极限
证明
构造新函数F'（x） = f(x)
构造原来所求的极限 = （F(x) - F(x0)）/(G(x) - G(x0))
泰勒公式
皮亚诺
条件
x0处有n阶导数
余项
高阶无穷小
应用
x0邻域的极限
拉格朗日
条件
同中值定理条件
整个[a,b]区间
余项
一大堆
应用
不等式证明
题型
微分方程
定义
有未知导数的方程
分类
按未知数个数
常微分
一个未知数
偏微分
多个未知数。偏导数
解方程
阶
未知导数的最高阶数
解
满足方程的函数
通解
独立可变常数的个数 = 阶数
特解
不含可变常数C1 C2....CN的解
条件
初始条件
解法
一阶
变量可分离
线性方程
伯努利方程
二阶
常数
齐次
通解的结构
非齐次
特解的结构
解系：通解和特解
可降阶方程
没有x
没有y
欧拉方程
各个部分之间可以互相组合，同时使用n个方法
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