数学分析
2018-05-29 14:00:25 0 举报AI智能生成
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大纲/内容
第八章多元函数
变量之间的函数关系
二元函数及其定义区域
变量x,y的变化区域：成对数值(x,y)所成的集合M
二元函数的定义
m维算术空间
m维点的定义
m维点距离的定义
证明：两点距离不大于第三点与两点的距离和
m维空间的定义
m维空间中直线的方程组及参数方程
m维空间中的区域举例
体/区域
m维长方体
开
闭
m维球
开
闭
中心定义
邻域定义
性质：任一类型邻域包含另一类型中心相同的邻域
证明：长方体和球相互包含
开区域及闭区域的一般定义
内点定义
开区域：完全由内点组成的集合
聚点定义
界点：开区域的聚点而不属于这个区域的点
区域的边界：全体界点组成的集合
闭集：含有自己一切聚点的电集
闭区域定义：开区域和它的边界组成
证明：闭区域的所有聚点属于这个区域
m元函数
自变量定义
m元函数的定义
叠置定义：确定复合函数的过程
整多项式（有理整函数）
整多项式的商（有理分式函数）
多元函数的极限（m重极限）
内点的序列收敛于极限点
内点与极限点的距离趋向于零
多元函数极限的定义
序列语言
几何语言（距离）
累次极限
证明定理：累次极限等于二重极限的条件
1.二重极限存在
2.对Y中任一个y有关于x的（有限的）单重极限
性质：次序不同累次极限不一定相等
相等的三个条件：3.对X中任一个x有关于y的（有限的）单重极限
多元函数的连续性及间断
函数一点连续及间断的定义（极限存在）
序列语言
几何语言（距离）
若对应于诸自变量的无穷小增量，函数的增量也是无穷小，则函数连续
连续函数的运算
证明定理：复合函数一点连续的条件
关于函数取零值的定理
连通区域的定义
证明定理：连续于连通区域中的函数中的两点取异号值，则在区域中一定可以找到函数取零值的点
波尔查诺-魏尔斯特拉斯引理
证明定理：从任一有界的点序列中恒可以取出收敛于一极限点的部分序列
关于函数有界性的定理
反证法证明魏尔斯特拉斯第一定理：若函数f(x,y)定义且连续于某个有界闭区域D中，则它是有上下界的
反证法证明魏尔斯特拉斯第二定理：若函数f(x,y)定义且连续于某个有界闭区域D中，则在这区间上它必达到上确界和下确界
一致连续性
一致连续性定义
反证法证明康托尔定理：若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，则它在D上也一致连续
推论
第九章多元函数的微分学
偏导数
偏导数的定义及符号
函数的全增量
函数全增量原始表达式
多元函数的有限增量公式
1.证明：公式成立的条件（偏导数存在于该点及存在于其邻域且连续）
2.证明：由偏导数在一点邻域中的存在与在该点的连续性，可以推出函数在该点的连续性
复合函数的导数
复合函数的导数表达式
全微分
全微分的定义：当多元函数的有限增量公式成立时，函数增量的线性部分为全微分
一阶微分形式的不变性
证明
推论
齐次函数
k次齐次函数的定义
求：k次齐次函数的一般表达式
高阶导数
m阶偏导数定义：在(m-1)阶偏导数对同一变元或另一变元的偏导数
关于混合导数的定理
证明：二元混合导数依不同次序所取的二阶导数相同的条件
1.函数f(x,y)定义在（开）区域D上
2.在此区域上存在着一阶导数和二阶混合导数
3.这两个二阶导数作为x与y的函数，在D中某点连续
定理：设m元函数u=f(x1,x2,…，xm)定义在一个m维开区域D上，且在域中具有至(n-1)阶为止的一切可能的
偏导数以及n阶混合导数，而且所有这些导数都在D中连续，则任一n阶混合导数的值就与取微分的次序无关
偏导数以及n阶混合导数，而且所有这些导数都在D中连续，则任一n阶混合导数的值就与取微分的次序无关
高阶微分
复合导数的微分
泰勒公式
多元函数的极值 · 必要条件
静止点的研究（二元函数的情况）
函数的最大值与最小值
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