微积分II期末复习思维导图模板_ProcessOn思维导图、流程图

第八章向量代数与空间解析几何

8.1 向量及其线性运算

8.2 数量积向量积混合积

8.3 平面及其方程

8.4 空间直线及其方程

8.5 曲面及其方程

8.6 空间曲线及其方程

第九章多元函数微分法及应用

9.1 多元函数的基本概念

9.2 偏导数

9.3 全微分

9.4 多元复合函数的求导法则

9.5 隐函数的求导公式

9.6 多元函数微分学的几何应用

9.7 方向导数与梯度

9.8 多元函数的极值及其求法

第十章重积分

10.1 二重积分的概念与性质

10.2 二重积分的计算法

10.3 三重积分

10.4 重积分的应用

10.5 含参变量的积分

书从厚读到薄，从薄到厚

第八章的关键字：向量空间

（坐标法）

可以用代数来研究几何问题
（很大程度上也决定了先讲性质，
再讲如何坐标表示和计算）
先引入向量再通过坐标法联系，
再介绍空间几何的相关知识。

后四节：空间解析几何，线&面

一般到特殊
平面直线到曲面线
两个面交出线，从面到线
如何表示？
位置关系（线线、线面、面面）
夹角 + 距离 + 投影

8.1 向量及其线性运算

向量的概念

有大小有方向
（向量相等；零向量平行；负向量；共线；共面）

向量的线性运算

空间直角坐标系

右手法则，通过向量的运算建立
向量的坐标表示
向量的坐标表示简化了我们之后的运算

利用坐标作向量的线性运算

向量的模、方向角、投影

方向角和方向余弦
在轴上的投影
之后也反复出现。

8.2 数量积向量积混合积

数量积

力做的功
可用来求投影，夹角（cosθ）

向量积

力矩
求出来是个向量
大小，方向（右手法则）
无交换律

应用：证平行，计算三角形面积

混合积

无交换律

绝对值表示以a,b,c向量为棱的平行六面体的体积
-> 共面的证明

坐标计算

性质，坐标法（行列式）

8.3 平面及其方程

曲面方程与空间曲线方程的概念

平面的表示方法

点法式

截距式

一般式

不化成这个不给分！

三点式（行列式）

两平面的夹角

法向量计算，锐角/直角

点到平面的距离公式

8.4 空间直线及其方程

空间直线的一般方程

空间直线的对称式方程与参数方程

两直线的夹角

cos，锐角/直角

直线与平面的夹角

锐角/直角、sin

8.5 曲面及其方程

曲面研究的基本问题

旋转曲面

如何生成，+-号

柱面

准线母线

二次曲面

椭球面、抛物面、双曲面、锥面

截痕法，伸缩替代

8.6 空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程

空间曲线的参数方程

空间曲线在坐标面上的投影

连列消去x/y/z
一定要写上那个坐标面的方程
因为是曲线，一般式要由两个面相交而成。

10.1 二重积分的概念与性质

二重积分的概念

被积函数、面积元素、积分变量、积分区域

每个对计算都有很大影响

二重积分的性质

面积是在区域上对1的积分

大小一致性的延伸

二重积分的中值定理

二重积分存在定理（书上略）

有界闭区域上连续

除去有限个点获有限条光滑曲线外都连续

10.2 二重积分的计算法

直角坐标系

积分次序选择的问题，X型还是Y型
尽量单一的上下限函数

极坐标

极坐标的面积元素（画图）

遇到x^2,y^2一般都要化成极坐标

二重积分的换元法

面积元素（叉积、绝对值）

雅戈比行列式

换元后上下限的转换
边界点、是否遍历原区域

10.3 三重积分

三重积分的概念

面积元素变为体积元素，空间闭区域

三重积分的计算

直角坐标

投影法，先一后二（f对z积分后可由x, y表示）

截面法，先二后一（x, y的截面积分后可由z表示）

三次积分法

柱坐标

ρdρdθdz

球坐标

r²sinφdrdφdθ

*用图像法来进行记忆，注意各坐标系转换后的变量取值范围
积分形式多由坐标面围成，积分函数形式简洁变量可分离

10.4 重积分的应用

*立体体积

*曲面的面积

*质心

往往用到对称性（关于x=y，
或者关于轴，简化）

转动惯量

引力

10.5 含参变量的积分（没讲）

9.1 多元函数的基本概念

平面点集

聚点，领域

多元函数的概念

n>=2

多元函数的极限

是否存在？如何计算。
任何方式趋近P0，f都无限接近于A
区分二重极限和累次极限

多元函数的连续性

定义

性质

最大值与最小值定理，有界性

介值定理

一致连续性定理

9.2 偏导数

偏导数的定义及其计算法

把另一个自变量固定，一个看做变量

几何意义？
在M0处的切线对x轴的斜率

多元函数各偏导存在只保证在点P沿着平行于坐标轴的方向趋近P0时，f(P)->f(P0)
但不能保证任意方向都趋近

偏导符号不可以约分

高阶偏导数

可用来检验偏导是否正确，多元函数的偏导与求导顺序无关。

9.3 全微分

全微分的定义

条件：必要条件（偏导存在）；充分条件（偏导连续）
可微推出可导，但是可导不可以，偏导连续才可以。

如何用定义判断可微？

是不是ρ的高阶无穷小

全微分在近似计算中的应用

9.4 多元复合函数的求导法则（PPT）

链式法则

定理，哪个要求可导，哪个要求偏导连续

分段用乘，分叉用加，
单路全导，叉路偏导。

不要被偏导迷惑，注意利用已有公式。

书P82

全微分函数形式不变

期中考试的例子，等式的左右两边应当是什么？
举个栗子，写板书。

9.5 隐函数的求导公式

存在定理

求导方法

复合函数求导

微分形式不变性（方程组：克莱姆法则）

代公式

9.6 多元函数微分学的几何应用

一元向量值
函数及其导数

参数方程

几何意义：指向与t增长的方向一致
物理意义：速度向量，加速度向量

空间曲线的
切线与法平面

曲线为参数方程的情况

曲线为一般式的情况
->化为参数方程（x为参数，回到隐函数求导）
（保证比例即可）

曲面的
切平面与法线

曲面上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上，
此平面成为曲面在该点的切平面。

法线的方向余弦

9.7 方向导数与梯度

方向导数

偏导数反映的是沿坐标轴方向的变化率，但这是不够的。
沿着某些方向的变化率？->函数沿任一指定方向的变化率

定理：f 在P可微分，则任一方向的方向导数存在

梯度在任一方向的投影长度，数量积（方向余弦）

梯度

公式计算

几何意义：垂直于等值线、等高线
f 变化率最大的方向，模：f 的最大变化率之值

9.8 多元函数的极值及其求法

极值、最大值与最小值

必要条件：驻点

充分条件（二元泰勒函数）：
写板书。

最值：驻点，边界点，是否符合实际意义
（约束条件）（不用判断极值）

条件极值拉格朗日乘数法（应用题）

前5节为基本概念与求解的介绍
后3节为应用的介绍
注重与一元的类比，区别异同。

微积分，微分讲完就要讲积分。
第十章主要是考察重积分的计算与应用
涉及到了二重和三重积分。
不会考察太多概念的问题，主要就是要会算，会用。
关键词：积分区域、积分函数、如何积分
先讲方法，再说应用。

*重积分计算技巧
（终极目标是“偷懒”，
做题总结）

对称性化简（三角函数）

积分区域的对称性+积分函数的奇偶性化简(奇偶次方）

大化小、常代变、近似和、取极限

下笔前考虑好可能性，学会偷懒

交换积分次序，但同时要画好图，上下限函数不可以弄错

坐标系转换

10.2 PPT

第十章习题 PPT

计算方法主要是化为两次单积分
最重要的是计算出二重积分
坐标系只是简化手段
经验的积累在于做题

三重积分在二重积分上升维
方法大多类似

10.4 PPT

掌握了方法以后应用只是公式的区别
分为几何应用、物理应用

惊喜地发现老师的期中考试好多是总习题里面的...

线性运算无法满足我们的需要，
实际生活的需要要求了更多运用

了解性质之后怎么计算？

线、平面；如何表示，
如何生成，位置关系

两个平面交出一个直线
难点在于如何找方向向量

概念、性质、计算、应用

典型例题

过直线

平面束方程
期中考试试题（平面1+λ*平面2，）
检查的小技巧：逻辑思考-除了直角外应当有两个面与一个面成同样夹角
老师可能不会考了...

求平面
（假设形式的简便性）

截距式，确定了一条线。

法向量+一个点；三个点（三点式）；假设代入（找条件）！【要把所有条件都用到】

相交意味着什么？

求直线方程：需要一个点，一个方向向量（实际上只要知道比例关系）。
已有了一个点和一个方程，还需要一个条件。如何转换相交？

投影问题

直线在面上的投影（太阳光）

期中考试考的不多，期末顶多也就考一道大题。
因为这章知识都比较基础，可以放在之后章节中联合考察。

可能的考点

计算

极限

等价无穷小替代

偏导

先代后求；先求后代；用定义（原点）

复合函数求导

隐函数求导

可微

定义，判断

应用

几何

曲线的切向量、法平面；曲面的切平面、法向量

物理

方向导数、梯度

极值

极值、最值和条件极值

一切从定义出发，带着批判的眼光看问题。

讲完计算就应该讲应用了

书P166