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高等数学

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高等数学的初步知识总结

高等数学

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大纲/内容

第一章函数与极限

希腊字母表

第一节映射与函数

集合的概念和运算，区间和邻域

映射又称为算子
非空集X到数集Y的映射，称为X上的泛函
非空集X到它自身的映射，称为X上的变换
实数集X到实数集Y的映射，称为定义在X上的函数

逆映射与复合映射
满射、单射、一一映射（双射）
只有单射才存在逆映射

函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性

反函数与复合函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可以用一个式子表示的函数，称为初等函数。

第二节数列的极限

在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法。

收敛数列的性质

定理1（极限的唯一性）如果数列收敛，那么它的极限唯一

定理2（收敛数列的有界性）如果数列收敛，那么数列一定有界

定理3（收敛数列的保号性）

定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列收敛于a，那么他的任一子数列也收敛，且极限也是a

第三节函数的极限

函数极限的定义

自变量趋于有限值时函数的极限

自变量趋于无穷大时函数的极限

函数极限的性质

定理1 （函数极限的唯一性）如果函数极限存在，那么这极限唯一

定理2（函数极限的局部有界性）

定理3（函数极限的局部保号性）

定理4 （函数极限与数列极限的关系）若函数收敛于A，则函数定义域内任一收敛于X的数列必收敛且等于A

第四节无穷小与无穷大

无穷小

如果函数当自变量趋近某个值或∞时极限为零，那么称函数为当X趋近某个值或∞时的无穷小

定理1 函数具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+a，其中a是无穷小

无穷大

如果函数当自变量趋近某个值或∞时无限增大，那么称函数为当X趋近某个值或∞时的无穷大

定理2 在自然定义域内，无穷大函数的倒数是无穷小；无穷小的函数的倒数是无穷大

第五节极限运算法则

定理1 有限个无穷小的和也是无穷小

定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小

推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小

定理3 有限个极限为常数的函数，满足四则运算法则

推论1 求极限时，常数因子可以提到极限记号外面

推论2 求极限时，指数为常数，也可提到极限记号外面

定理4 数列的极限也符合四则运算法则

定理5 函数f1≥函数f2，且limf1=A，limf2=B，则A≥B

定理6 （复合函数的极限运算法则）

第六节极限存在准则两个重要极限

准则1：夹逼准则：函数f1≥函数f2≥函数f3，且limf1=A，limf3=A，则limf2=A

lim（sinx/x），当x→0时的极限为1

准则2：单调有界数列必有极限（充分而不必要）（收敛数列不一定单调）

左邻域内单调并且有界，则左极限必定存在

lim（1+1/x）^x，当x→∞时的极限存在，为e

柯西（Cauchy）极限存在准则：（几何意义）对于任意给定的整数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点Xn中，任意两点间的距离小于ε

第七节无穷小的比较

高阶β=o(α)、低阶、同阶、k阶、等价（α～β）无穷小

定理1 β与α是等价无穷小的充要条件为：β=α+o(α)

定理2 求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小来代替

第八节函数的连续性与间断点

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线

函数f(x)在点Xo的某去心邻域内有定义，在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一：
（1）在X=Xo没有定义；
（2）虽在X=Xo有定义，但limf(x)在X→Xo不存在；
（3）虽在X=Xo有定义，且limf(x)在X→Xo存在，但limf(x)≠f(Xo)；
则函数f(x)在点Xo为不连续，而点Xo称为函数f(x)的不连续点或间断点。

间断点分成两类：
（1）左右极限都存在，称为第一类间断点；
特别的，左右极限存在并且相等，称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。
（2）不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点；
例如无穷间断点、震荡间断点

第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

定理1 连续函数的和、差、积、商，仍然连续

定理2 单调连续函数的反函数也单调连续

定理3 复合函数的值域内外传递法则

定理4 复合函数的连续性

初等函数的连续性：
基本初等函数在它们的定义域内都是连续的；
一切初等函数在其定义区间内都是连续的

第十节闭区间上连续函数的性质

定理1 （有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得他的最大值和最小值

定理2 （零点定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)<0），那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使f(ξ)=0

定理3 （介值定理）设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B
那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C（a<ξ<b）

定理3推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M和最小值m之间的任何值

定理4 （一致连续性）如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么它在该区间上一致连续

第二章导数与微分

第一节导数概念

引例：
1.直线运动的速度（瞬时速度）
2.切线问题（切线的斜率）

在某处，Δy/Δx（Δx→0）的极限存在，则函数在某处可导、具有导数、导数存在；
若在开区间内每点处都可导，则构成一个新函数-称为原来函数的导函数。

导数的几何意义--切线方程

函数可导性与连续性的关系
函数在某处可导，则函数在该点必连续；
函数在某处连续，但函数在该点不一定可导。

第二节函数的求导法则

函数的和、差、积、商的求导法则

定理1 若函数

都可导，则经过其四则运算后的复合函数在其自然定义域内可导。

反函数的求导法则

定理2 若函数

严格单调且可导，则其反函数

的导数存在且

复合函数求导法则

若

在点x可导，

在相应的点u也可导，则其复合函数

在点x可导且

。

特殊求导法则

对数求导法则

函数

被称为幂指函数，在经济活动中会大量涉及此类函数。
注意到它很特别，既不是指数函数又不是幂函数，它的幂底和指数上都有自变量x，所以不能用初等函数的微分法处理了。
这里介绍一个专门解决此类函数的方法，对数求导法。

对于

两边取对数（当然取以为e底的自然对数计算更方便）。
由对数的运算性质：

再对两边求导：

参数表达函数的求导法则

若参数表达

为一个y关于x的函数，

必存在反函数

，于是代入

这便是y通过中间变量t的关于x的函数的抽象表达，（实际中未必能写出t关于x的反函数式子，也没必要这样做）。
利用反函数求导法则和复合函数求导法则，可得

这便是参数方程表达的y关于x的函数的求导公式。

隐函数求导法则

若

中存在隐函数

，这里仅是说y为一个x的函数并非说y一定被反解出来为显式表达。
即

，尽管y未反解出来，只要y关于x的隐函数存在且可导，我们利用复合函数求导法则仍可以求出导数。

基本初等函数的导数表

第三节高阶导数

二阶或二阶以上的导数统称高阶导数

排列组合公式

公式中A(n,m)为排列数公式，C(n,m)为组合数公式。

莱布尼茨公式

第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率

隐函数、参数方程的导数，参考第二节“特殊求导法则”

设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y之间存在某种关系，从而变化率dx/dt与dy/dt间也存在一定关系。
这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。
相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率。

第五节函数的微分

微分的定义

由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分。
微分的中心思想是无穷分割。
微分是函数改变量的线性主要部分。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。
函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，
使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。

微分的几何意义

微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。

基本初等函数的微分公式与微分运算法则

微分在近似计算中的应用

函数的近似计算

误差估计
绝对误差限、相对误差限

第三章微分中值定理与导数的应用

第一节微分中值定理

费马引理

函数f(x)在点ξ的某邻域U（ξ)内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U（ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f '(ξ）=0。
该定理通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。

需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点可以不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分极大值和极小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。当该点的二阶导数大于零时，该点为极小值点；当该点的二阶导数小于零时，该点为极大值点。若二阶导数为零，则无法用该法判断，需列表判断。）。

罗尔定理

如果函数f(x)满足：
在闭区间[a,b]上连续；
在开区间(a,b)内可导；
在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0.

几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧（方程为）是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两端点的纵坐标相等。
而定理结论表明：弧上至少有一点，曲线在该点切线是水平的。

拉格朗日定理

如果函数 f(x) 满足：
1)在闭区间[a,b]上连续；
2)在开区间(a,b)内可导。
那么：在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，
使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

拉格朗日中值定理的几何意义是：曲线上必然存在至少一点，过该点的切线的斜率和连接曲线（a，b）的割线的斜率相同；
或者说，曲线上必然存在至少一点可以做割线（a，b）的平行线

记