函数与极限
2018-11-07 14:59:26 0 举报AI智能生成
大学高数：函数与极限思维导图
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大纲/内容
1.5两个重要极限
极限存在的两个准则
定单调有界收敛准则：单调有界数列必收敛
定理1.5.2：夹逼准则
定理1.5.3：夹逼准则
两个重要极限
1.（书P32）
2.（书P33）
子主题
1.6无穷小量的比较
定义：设……（书P36）
（1）
（2）
（3）
（4）
当x→0时，常用的等价无穷小
无穷小量等价代换（只能用于乘除法）
1.7函数的连续性
函数连续的概念
设自变量x从点……
定义1.7.1
定义1.7.2
单侧连续（书P40）
（1）
（2）
单侧连续与连续的关系
函数的间断点
定义
三者满足其一，则点x。为f（x）的间断点
（1）
（2）
（3）
两类间断点
第一类间断点 ：设点x。为……，其中
跳跃型间断点
可去型间断点
第二类间断点：设点x。为……，其中
无穷型间断点
振荡型间断点
连续函数的性质 初等函数的连续性
一切基本初等函数在其定义域上都是连续的
连续函数的四则运算
反函数的连续性
复合函数的连续性
初等函数的连续性（书P43）
（1）
（2）
闭区间上连续函数的性质
最大值最小值定理
推论：有界性定理
介值定理
推论1.7.2闭区间上的连续函数……
设f（x）在【a，b】上连续……
（1）
（2）
推论：根的存在性定理
设f（x）在……
方程f（x）＝0的根……
说明：……
1.1函数
函数的概念
定义
三要素：定义域、值域、对应法则
函数关系表示法：解析式法、列表法、图示法
函数的基本性质
有界性
必写区间或定义域；有界 ↔上界且下界
单调性
奇偶性
周期性
反函数
1.必为单调函数
2.相对于反函数来说，原函数称为直接函数
3.原函数与其反函数的图形关于直线y=x对称
初等函数
基本初等函数
幂函数
（α∈R，α≠0）
对数函数
（a>0，a≠1，特别当a＝e时，记为y＝㏑x）
指数函数
（a>0，≠1）
三角函数
正弦函数y＝sinx
余弦函数y＝cosx
正切函数y＝tanx＝sinx/cosx
余切函数y＝cotx＝cosx/sinx
反三角函数
反正弦函数y＝arcsinx
反余弦函数y＝arccosx
反正切函数y＝arctannx
反余切函数y＝arccotx
复合函数
其他类型的函数
隐函数
由参数方程所确定的函数
极坐标
1.2数列极限
数列极限的定义
定义1.2.1
设{Xn}是一个数列，a是一个确定的数，若对任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，
总有不等式▕ Xn-a ▏<ε成立，则称当n→∞时，数列{Xn}的极限为a，或称数列{Xn}收敛于a，记为
（或Xn→a，n→∞）
邻域的概念P16
设a为一个常数，σ为一个正数，称开区间（a-σ，a+σ）为点a的σ邻域，记为U（a，σ）
称a为邻域的中心，σ为邻域的半径，当不强调邻域半径大小时，记为U（a）。
点a的σ邻域挖去中心点a后，称为点a的σ去心邻域，记为
子主题
收敛数列的性质P18
1.有界性（是数列收敛的必要条件）
2.唯一性：若数列{Xn}收敛，则它的极限是唯一的
3.保号性
4.与其子数列的关系：若数列{Xn}收敛于a，则其任意子数列{Xnk}也收敛}，且极限都是a
1.3函数极限
自变量趋于无穷大时函数的极限
定义1.3.1
定理1.3.1
自变量趋于有限值时函数的极限
定义1.3.2
单侧极限
左极限
右极限
定理1.3.2（单侧极限与极限的关系）
函数极限的性质
1.局部有界性
2.唯一性
3.局部保号性
4.函数极限与数列极限的关系
1.4无穷小量与无穷大量
无穷小量
定义1.4.1
无穷小量的性质P25
（1）
（2）
（3）
函数极限与无穷小量的关系
无穷大量
定义1.4.2
无穷小量与无穷大量的关系
（1）
（2）
极限运算法则
四则运算法则：设……
（1）
（2）
（3）
复合函数运算法则
定理1.4.5
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