函数与极限
2018-11-07 14:59:26 0 举报
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大学高数:函数与极限思维导图
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大纲/内容
函数与极限
1.5两个重要极限
极限存在的两个准则
定单调有界收敛准则:单调有界数列必收敛
定理1.5.2:夹逼准则
定理1.5.3:夹逼准则
两个重要极限
1.(书P32)
2.(书P33)
子主题
1.6无穷小量的比较
定义:设……(书P36)
(1)
(2)
(3)
(4)
当x→0时,常用的等价无穷小
无穷小量等价代换(只能用于乘除法)
1.7函数的连续性
函数连续的概念
设自变量x从点……
定义1.7.1
定义1.7.2
单侧连续(书P40)
单侧连续与连续的关系
函数的间断点
定义
三者满足其一,则点x。为f(x)的间断点
两类间断点
第一类间断点 :设点x。为……,其中
跳跃型间断点
可去型间断点
第二类间断点:设点x。为……,其中
无穷型间断点
振荡型间断点
连续函数的性质 初等函数的连续性
一切基本初等函数在其定义域上都是连续的
连续函数的四则运算
反函数的连续性
复合函数的连续性
初等函数的连续性(书P43)
闭区间上连续函数的性质
最大值最小值定理
推论:有界性定理
介值定理
推论1.7.2闭区间上的连续函数……
设f(x)在【a,b】上连续……
推论:根的存在性定理
设f(x)在……
方程f(x)=0的根……
说明:……
1.1函数
函数的概念
三要素:定义域、值域、对应法则
函数关系表示法:解析式法、列表法、图示法
函数的基本性质
有界性
必写区间或定义域;有界 ↔上界且下界
单调性
奇偶性
周期性
反函数
1.必为单调函数
2.相对于反函数来说,原函数称为直接函数
3.原函数与其反函数的图形关于直线y=x对称
初等函数
基本初等函数
幂函数
(α∈R,α≠0)
对数函数
(a>0,a≠1,特别当a=e时,记为y=㏑x)
指数函数
(a>0,≠1)
三角函数
正弦函数y=sinx
余弦函数y=cosx
正切函数y=tanx=sinx/cosx
余切函数y=cotx=cosx/sinx
反三角函数
反正弦函数y=arcsinx
反余弦函数y=arccosx
反正切函数y=arctannx
反余切函数y=arccotx
复合函数
其他类型的函数
隐函数
由参数方程所确定的函数
极坐标
1.2数列极限
数列极限的定义
定义1.2.1
设{Xn}是一个数列,a是一个确定的数,若对任意给定的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时,
总有不等式▕ Xn-a ▏<ε成立,则称当n→∞时,数列{Xn}的极限为a,或称数列{Xn}收敛于a,记为
(或Xn→a,n→∞)
邻域的概念P16
设a为一个常数,σ为一个正数,称开区间(a-σ,a+σ)为点a的σ邻域,记为U(a,σ)
称a为邻域的中心,σ为邻域的半径,当不强调邻域半径大小时,记为U(a)。
点a的σ邻域挖去中心点a后,称为点a的σ去心邻域,记为
收敛数列的性质P18
1.有界性(是数列收敛的必要条件)
2.唯一性:若数列{Xn}收敛,则它的极限是唯一的
3.保号性
4.与其子数列的关系:若数列{Xn}收敛于a,则其任意子数列{Xnk}也收敛},且极限都是a
1.3函数极限
自变量趋于无穷大时函数的极限
定义1.3.1
定理1.3.1
自变量趋于有限值时函数的极限
定义1.3.2
单侧极限
左极限
右极限
定理1.3.2(单侧极限与极限的关系)
函数极限的性质
1.局部有界性
2.唯一性
3.局部保号性
4.函数极限与数列极限的关系
1.4无穷小量与无穷大量
无穷小量
定义1.4.1
无穷小量的性质P25
函数极限与无穷小量的关系
无穷大量
定义1.4.2
无穷小量与无穷大量的关系
极限运算法则
四则运算法则:设……
复合函数运算法则
定理1.4.5
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