信号与系统学习
2019-06-17 10:58:17 3 举报AI智能生成
信号与系统是一门研究线性时不变系统输入、输出之间关系的学科。它主要研究如何通过系统的输入和输出来分析系统的结构和特性，以及如何设计和优化系统的性能。这门课程通常包括两个主要部分：信号分析和系统分析。在信号分析中，学生将学习不同类型的信号（如连续时间信号和离散时间信号），以及如何对这些信号进行数学处理（如傅里叶变换）。在系统分析中，学生将学习如何建立数学模型来描述系统的行为，并使用各种工具（如拉普拉斯变换）来分析系统的稳定性、因果性和频率响应等特性。总之，信号与系统是一门非常重要的工程学科，它为我们提供了理解和设计复杂电子和通信系统所需的基础知识。
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大纲/内容
1.连续时间信号和离散时间信号
1.数学表示
连续时间信号
自变量是连续的
自变量用t表示
表示方式x(t)
离散时间信号
自变量是离散的
自变量用n表示
表示方式x[n]
2.信号能量和功率
连续时间信号
t1-t2间的总能量
∫(t2,t1) |x(t)|^2
t1-t2间的平均功率
1/(t2-t1) ∫(t2,t1) |x(t)|^2
无穷区间的总能量
x(t) 在区间内都为非零常数
具有无穷的能量
x(t) 在区间内 E < 无穷
具有有限的能量
无穷区间的平均功率
x(t) 在区间内都为非零常数
具有无穷的能量
x(t) 在区间内 E < 无穷
具有有限的能量
1/2T(无穷区间的总能量) T=无穷
离散时间信号
t1-t2间的总能量
∑ |x(n)|^2
t1-t2间的平均功率
1/(n2-n1+1) ∑(n2,n1) |x[n]|^2
无穷区间的总能量
x[n] 在区间内都为非零常数
具有无穷的能量
x[n] 在区间内 E < 无穷
具有有限的能量
无穷区间的平均功率
1/2T(无穷区间的总能量) T=无穷
三种重要信号(无穷区间)
E < 无穷（有限的总能量）
P=0(平均功率必须为零)
P < 无穷（有限的平均功率）
E = 无穷
子主题
2.自变量的变换
1.自变量基本变换
时移 x[n-n0]
时间反转 x[-n]
时间尺度变换 x[kn]
2.周期信号
x(t) = x(t+T)
使x(t) = (t+T)成立的最小正值T 叫做基波周期T0
x(t)为常数基波周期无意义
3.偶信号和奇信号
偶信号
x(t) = x(-t)
奇信号
-x(t) = x(-t)
任何信号都可以分为两信号之和（一为奇，一为偶）
偶部
1/2(x(t)+x(-t))
奇部
1/2(x(t)-x(-t))
3.指数信号和正弦信号
1.连续时间
复指数
x(t)=Ce^at
实指数信号（C和a为实数）
周期复指数（a为纯虚数(实数部分为零的复数被认为是纯虚数)）
x(t)=e^jw0(t)是周期信号
w0!=0
e^jw0t*e^jw0T
要使e^jw0t 为周期信号 使 必须使e^jw0T=1
e^jw0T=1
欧拉公式 cos(w0T) + isin(w0T)
T = 2π/|w0|
w0=0
对于任何T都是周期的
复指数信号可用正弦信号表示
欧拉公式：e^ix=cos(x)+isin(x)
正弦
Acos(w0t + φ)
正弦信号可以用复指数信号表示
A/2e^jφe^jw0t + A/2e^-jφe^-jw0t
谐波
谐波是指对周期性非正弦交流量进行傅里叶级数分解所得到的大于基波频率整数倍的各次分量
一般复指数信号
Ce^at
C用极坐标表示
C = |C|e^jφ
a用直角坐标表示
a = r+jw0
Ce^at = |C|e^jφe^(r+jw0)t
=|C|e^rte^j(w0t+φ)
2.离散时间
复指数 x[n]=Ca^n (a=e^β)
实指数
C和a都是实数
周期复指数
β为纯虚数
得x[n] = e^jw0n
一般复指数信号
Ca^n
C用极坐标表示
|C|e^jφ
a用极坐标表示
|a|e^jw0
3.离散时间信号与连续时间信号的差别
连续时间信号（e^jw0t）
w0越大震荡速率越高
e^jw0t对任何w0都是周期的
离散时间信号（e^jw0n）
w0 与 w0+2π ，w0+4π 信号一样
要使e^jw0(n)为周期性(周期为N>0)
即e^jw0(n+N)=e^jw0n
需要使e^jw0N = 1（即w0N 必须等于2πm）
连续与离散信号的比较
4.单位冲击响应与单位阶跃函数
离散时间
单位脉冲
表示方式q[n] = {0,n≠0; 1,n=0}
单位阶跃
表示方式u[n] = {0,n<0; 1,n>=0}
u[n]=∑上n，下负无穷 q[n]
连续时间
单位冲激
φ(t)=lim△->0 φ△(t)
重点：任意函数表示为冲激函数的积分
单位阶跃
表示方式u(t)= {0,t<0; 1,t>0}
∫上t，下负无穷 φ(t)dt
在t=0不连续
5.连续时间和离散时间系统
连续时间系统
输入连续，输出也连续
表示方式 x(t)→y(t)
微分方程表示
离散时间系统
输入离散，输出也离散
表示方式x[n]→y[n]
差分方程表示
系统的互联
串联
并联
互联
反馈互联
6.基本系统性质
记忆系统与无记忆系统
无记忆系统
系统的输出仅决定于该时刻的输入
记忆系统
具有保留或存储非当前时刻的输入信息的功能
可逆性与可逆系统
可逆的
在不同的输入下有不同的输出
因果性
因果系统（不可预测系统:系统的输出无法预测将来的输入）
任何时刻的输出只决定于现在的输入以及过去的输入
稳定性
稳定
输入是有界的，输出必须也是有界的
不稳定
时不变
系统的特性行为不随时间而变
例：如RC电路中的R和C
例：如果在输入信号中产生一个时移，在输出信号上产生同样的时移
线性
可加性
例：y1(t)+y2(t)是对x1(t)+x2(t)的响应
比例性(齐次性)
例：ay1(t)是对ax1(t)的响应，此处a为任意复常数
叠加性质
零输入产生零输出
增量线性系统
对任意两个输入的响应的差是两个输入差的线性函数(即可加的且齐次的)
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