chapter4统计推断基础
2019-05-22 09:49:45 1 举报AI智能生成
数理统计 Hogg
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大纲/内容
估计量E
参数估计量
无偏估计量
极大似然估计量
非参数估计量
定义<br>
不跟X的分布形式有关，所阐述的直方图称为非参数估计量
应用
pmf的直方图估计
空间有限
空间无限
划分规则为最后一组Am的频数为之后所有的频数之和的2倍
pdf的直方图估计
给定h，求落入到两侧内的总数占比
置信区间CI
定义
置信区间
置信系数
置信系数CC：区间包含θ的概率，即1-α
测量效率
CC of CI一致时，比较CI的期望长度，作为置信区间的测量效率
应用
正态分布
特性：样本量不限，可以使用正态分布或者T分布（更为保守）作为中枢变量
均值CI
σ已知用正太；σ未知用s近似后，t分布；
均值之差CI
方差已知，或样本量大：做随机变量差的正态分布，之后同上
方差未知（但方差之间满足一定比例的关系）且样本量小：
学生T分布<br>
4.2.23；4.2.24；4.2.25
方差CI
均值未知：学生定理（c）,卡方分布作中枢 变量<br>
4.2.18（b）
均值以知：正态分布；或者卡方n分布
4.2.18（c）
方差商CI<br>
4个参数均未知<br>
构造F分布
4.2.27
非正态分布
特性：大样本，分布不限（CLT）<br>
比例p的置信区间
伯努利分布，用CLT近似，最后用p(hat)代替p
4.2.20
比例之差的置信区间
置信区间
gamma分布β的置信区间
服从卡方（6n）分布
顺序统计量OS<br>
分布（只适用于连续型随机变量）
联合分布
<br>
边际分布<br>
<br>
二元联合分布
<br>
理解
采用分块的思想
衍生定义
极差
Yn-Y1
中程数
(Y1+Yn)/2
中位数
Y(n+1)/2
分位数<br>
定义
X的P分位数为
k=[n+1]P，Yk 为εp的点估计
称Yk为样本P分位数点，或者称为样本100P百分位数<br>
应用
样本五数概括法
Y1, Q1, Q2, Q3, Yn
box and whisker<br>
<br>
要素
Q1， Q3， Q2， UF ， LF
上下围栏 UF,LF：h=1.5*（Q3-Q1）,UF=Q3+h,LF=Q1-h
离群值outlier
潜在离群值（围栏外面的点）
4.4.2 分布的潜在离群值<br>
离群值（2h之外i的点）
qq图
分位数的置信区间
考察i < [n+1]P < j, 及事件 Yi < ep <Yj<br>
（4.4.6）<br>
理解
其实是一个二项分布如果计εp左边为成功，那么成功的概率为p，失败的概率为1-p
Yi，Yj的意思是说，成功的个数不少于i个，失败的个数不少于(n-j+1)个。也即成功的个数介于i到j-1个之间
特殊应用
习题4.1.19、20
X,Y两个分布，求U=min{X,Y},V=max{X,Y}的联合分布<br>
习题4.4.25
P(Yi<εp<Yj)的计算转换的问题<br>
假设检验HT
定义
假设
H0：Null Hypothesis<br>
H1：Alternative Hypothesis<br>
simple hypothesis<br>
composite hypothesis<br>
双边检验
两类错误<br>
type 1 Error
H0成立，拒绝H0
type 2 Error <br>
H1成立，接受H0
一般来说，type1 错误更糟糕，所以是在保持type1的时候对type2 做修订
临界区域CR<br>
定义：随机样本函数属于C，拒绝H0；随机样本函数不属于C，接受H0
理解
CR可以视作一种直观的Decision Rule<br>
区域C的α-size
在H0成立的情况下，样本落入拒绝域的概率最大值
定义
或称为临界区与有关的显著性水平 significance level（检验显著化水平）
所以decision rule的构建 都与α有直接关系
功效函数（势）Power function<br>
定义
在满足α-size一样的情况下，使得第二类错误的概率最小，即功效函数最大化
p-value(观察显著化水平)
H0成立时的观察的‘尾’概率
p-value就是用来判断H0假设是否成立的依据。
应用<br>
二项成功比例检验<br>
例4.5.2
大样本均值检验
例4.5.3
正态μ检验（σ未知）
例4.5.4
大样本均值μ的双边检验
例 4.6.1、3
绝对拒绝规则
p-value
4.6.7
4.6.5
Chi-square 检验
定义
Qk-1 近似趋近于 卡方k-1(证明无需掌握)
证明过程运用到CLT
拟合优度检验（Goodness of fit test）
CR: Qk-1 > c时，拒绝H0,其中c由显著化水平决定
理解
依据总体分布状况，计算出分类变量中各类别的期望频数，与分布的观察频数进行对比，判断期望与观察频数是否有显著差异
练习题4.7.1，2，3，4
应用
齐性卡方检验
适用条件：对两个多项式分布是否相同进行检验
估计量， 服从卡方（k-1）
理解
分布是否相同，即同一指标下，两个分布的方差不能太大
练习题4.7.5
列联表问题
适用条件：对两组属性的独立性进行检验
估计量， 服从卡方[(a-1)(b-1)]
理解
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