函数极限limf(x)=A
2019-07-17 10:51:16 0 举报AI智能生成
函数极限
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大纲/内容
函数极限limf(x)=A
定义
⇔ A唯一
左极限 右极限
左导 右导
⇔ A是一个数
⇔ f(x) = A + α ，limα = 0 . (等式脱帽法)
主要用于抽象f(x)，多用于已知某一极限，求另一极限
多元函数f(x ，y)
计算
7种未定式
0/0
分支主题
∞/∞
∞*0
可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为0/0型或∞/∞型
∞-∞
把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为0/0型
∞^0
0^0
1^∞
洛必达法则
化简先行
常用等价无穷小替换
sinx ~ x
arcsinx ~ x
tanx ~ x
arctanx ~ x
(e^x-1) ~ x
(a^x-1) ~ alnx
ln(1+x) ~ x
(1+x)^a-1 ~ x
1-cosx ~ 1/2 x^2
恒等变形
提取公因式
换元
令 x = 1/t
令 x - x0 = t
通分
u^v = e^(vlnu)
公式
因式分解 (a^n - b^n)=
√a-√b=(a-b)/(√a+√b)
及时提出极限 = C 不等于 0 的因式
求导
f'(x)/g'(x)
0/0型
可导
结果为0，C≠0，∞
泰勒公式
10个展开式
P11
展开原则
A/B型——上下同阶，若分母是x^k则分子展开至x^k
A-B——幂次最低，将A、B分别展开至系数不相等的x的最低次幂为止
存在性
具体型但洛必达失效 => 夹逼准则
抽象型 => 单调有界准则
若f(x)↑且有上界 => lim┬(x→∞)[f(x)]存在
若f(x)↓且有上界 => lim┬(x→∞)[f(x)]存在
应用
一切初等函数在其定义区间内必连续，故只研究两类特殊的点
无定义点
分段函数的分段点
不定
连续
内点处：x 处左导数值 = 右导数值 = 函数值
端点处
左端点右连续
右端点左连续
间断
第一类间断点
跳跃间断点
可去间断点
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
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