线代
2020-03-17 17:49:14 0 举报
AI智能生成
考研线性代数思维导图。涵盖所有数二线性代数知识点,总结常见题型以及解法,还有易错点注意点,是我自己考研期间几个月刷题的总结
作者其他创作
大纲/内容
行列式
主要公式
行列式是个数!
不同行不同列元素乘积的代数和
对角线行列式
副对角线行列式公式要加什么?
拉普拉斯
副对角线拉普拉斯要加什么?
范德蒙
“1”行(列)在最后一行(列)不是范德蒙,要转化
公式还记得?
克拉默法则
求解过程还记得?
| kA | =k^n | A |
| A* | = | A |^(n-1)
转置、求逆行类似相等
相似行列式相等
数字型行列式计算
尽可能出多的 0 ,或者凑成上下三角
拉普拉斯
各行(列)均加至某行(列)
逐行相加
加边法
爪形
化成上(下)三角行列式
三对角线
具体阶数
三角化法
逐行相加化成上三角
其他行倍加到第一行
将第一行化成只有一个不为零的数,用展开公式
n阶
数学归纳法
先推到低阶和高阶的关系
两项用第一归纳法
三项用第二归纳法
递推法
行和相等行列式(主对角线为a,其余为b)
[a+(n-1)b](a-b)^(n-1)
抽象行列式
| A + B | 型
E的恒等变形
相似、特征值
特征值的积等于行列式的值
关于| A | = 0
反证法
| A | != 0,则| A |可逆,用A^- 找矛盾
秩
<n?
克拉默法则
齐次有无非零解
特征值
有无0特征值
| A | = -| A |
Ax=0
有无非零解
矩阵
矩阵的运算
α β n维向量
αβT 、βαT
n阶矩阵
秩为1
特征值:一个为迹其余为0,非零特征值的特征向量为α
βTα 、αTβ
迹,不为零的特征向量
ααT
秩为一,对称阵
αTα
平方和,大于零
A^n
r(A)=1
A^n = L^(n-1) A , L 为迹(不为零的特征值)
特殊三阶和四阶
三阶
四阶
上(下)三角,且主对角线为1
A=E+B,多项式展开公式
分块矩阵
只能主对角线,副对角线不一定对
相似
怎么求还记得?
伴随矩阵(紧抓AA*=| A |E)
求伴随
定义法
不要丢代数余子式的正负号
不要排错队
间接法
A可逆且A^-易求
二阶求伴随
小公式还记得?
r(A*)
记得哪儿仨?
r(A*)=1 怎么证明?
r(A)+r(A*)<=n
(A*)T=(AT)* 、 (AT)^-=(A^-)T
A*=AT
别换个说法就不会了
逆矩阵
基础求逆
只能行变换!
伴随求逆
分块矩阵求逆
主对角线的是怎样的?
副对角线的是怎样的?
符号计算
E的恒等变形
证明可逆
| A |!=0
r(A)=n
特征值
反证法
初等矩阵
左乘行变换,右乘列变换
初等矩阵均可逆
倍乘的求逆?
倍加的求逆?
互换的求逆?
初等变换不改变秩
矩阵等价
存在可逆矩阵P和Q使PAQ=B
等价=>等秩
正交矩阵 AAT=E
AT=A^-
| A |^2=1
行列向量相互正交
可以相互求出
矩阵方程
求整个矩阵
设矩阵,待定系数
矩阵的秩
秩的理解
r(A)=r
<=>A中 【有】 r阶子式不为0,任何r+1阶子式(若有)【都】 为零
r(A)<r
A中的每一个r阶子式 【都】 为零
r(A)>=r
A中【有】r阶子式不为零
r(A+B)<=r(A)+r(B)
r(AB)<=min(r(A),r(B))
若A可逆,r(AB)=r(BA)=r(B)
A(mxn) B(nxs), AB=0,则r(A)+r(B)<=n
相似等秩
初等变换不改变秩
左乘列满秩,秩不变
向量
运算
施密特正交化
线性表示
计算
非齐次方程组
判定
定义法
证得b的k不为零,移项除过去
充要条件
秩
r(a1a2...as)=r(a1a2...as,b)
非齐次方程由解
充分条件
a1...as无关,a1...as,b有关
证不能用反证法
AB的列向量可以由A的列向量表出
AB的行向量可以由B的行向量表出
线性相关
计算
齐次方程组
判定
定义法
不全为零的k,即有k不为零
充要条件
Ax=0有非零解
r(a1a2...as)<s
向量组中某个向量可以由其他向量表出
充分条件
n+1个n维向量
以少表多,多比相关
线性无关
判别
定义法
证k全为0
乘(题设提示)
打开括号重组
楞乘,再式子间加加减减
秩
r(a1...as)=s
Ax=0只有零解
极大无关组
极大无关组向量个数等于向量组的秩
极大无关组不唯一
方程组
解方程,先定秩 => s=n-r(A)
确定解的结构
只能做行变换
齐次方程组
有无非零解
r(A)<n 基础解系
非齐次方程组
有解
r(A)=r(增广A)
无解
r(A)+1=r(增广A)
基础解系
先定秩!
定义
是解
r=n-r(A)
无关
已知基础解系反求方程
由齐次基解
A(a1,a2)=0 => (a1,a2)TAT=0 =>解出A
由非齐次特解
Aξ=b => 解出具体参数
解的结构
有方程就加减消元计算
没方程
先求秩
再用解的结构推理分析
公共解
概念
两个方程组解公共的部分
给两个方程组
联立求解
给一个方程组和另一个的基础解析
将解带入另一个方程,解出Ki的关系,再带回即为公共解
给两个基础解系
构造齐次方程组,解出基础解析,相应位置即为公共解前的系数
同解
概念性质
Ax=0与Bx=0同解 =>等秩
Ax=0与Bx=0同解 <=> r(A)=r(B)=r(A/B)
Ax=0的解都是Bx=0的解,r(A)=r(B) =>Ax=0与Bx=0同解
同解求参
求出一个方程的通解
带入另一个方程求得参数
在求得的参数下,验证r(A)=r(B) !!
特殊情况
ATAx=0与Ax=0同解
n阶,A^nA=0与A^(n+1)A=0同解
方程组的应用
求可交换阵
待定系数
矩阵乘法,相应位置相等,移相建立齐次方程组
求解,拼成矩阵
AX=B,A不可逆,求X
看成三个非齐次线性方程组
可同时进行行变换消元求解
拼成矩阵
特征值特征向量
求特征值
定义法
凑定义 Aα=λα ,α!=0
特征多项式法
| λE-A | = 0
求特征向量
定义法
凑定义 Aα=λα ,α!=0
基础解系法
( λE-A )x= 0
性质
不同特征值的特征向量无关
k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
|A| = 特征值的积,特征值的和等于 迹
相似
定义 P^-AP=B
性质(必要条件,单向推 =>)
r(A) = r(B)
|A|=|B|
| λE-A |=| λE-B | =>特征值相等
迹相等 (选择题首选)
判断A与B相似的顺序
迹相等
秩相等
行列式相等
特征值相等
能与对角阵相似的只有对角阵本身
实对称矩阵相似,特征值相同
证明A~ B
A ~ /\ ,B ~ /\=> A ~ B
证明 A !~B
用相似的必要条件
可对角化
充要条件(<=>)
A有n个线性无关的特征向量
如果λ是k重特征值,那么λ必有k个线性无关的特征向量
r(λiE-A)=n-ni , λi为ni重特征值
充分条件(<=)
A有n个不同的特征值
A是实对称矩阵
做题判断顺序
实对称
有n个不同的特征值
n重特征值有n个无关的特征向量
联想到相似
Aα,α等于零 =>相似
α,Aα,A^2α 无关 又A^3α =>相似
可左推右,不一定右推左
A
A*
P^-AP
AT
λ
|A|/λ
λ
λ
α
α
P^-α
\
实对称矩阵
必可对角化
可用正交矩阵对角化,QTAQ=/\
求特征值特征向量
不同特征值的特征向量已经正交
n重特征值的特征向量 施密特正交化
单位化
不同的特征值的特征向量必正交
n重特征值必有n个无关的特征向量
反求矩阵A
全部特征值特征向量
对于正交矩阵
不同特征值的特征向量相互正交
可由一个特征值的特征向量求得其他特征向量
求可逆矩阵P
P^-AP=/\
即求特征向量
已知B , Q^-AQ=B,求P^-AP=/\
先求B的特征值特征向量
A=QBQ^- , A的特征向量为 Qβ
已知A,B,求Q^-AQ=B
P1^-AP1=/\ , P2^-BP2=/\ , P1^-AP1=P2^-BP2
P=P2P1^-
秩为1的矩阵(αβT)
特征值
一个为迹(αTβ或βTα),其余为0
特征向量
一个为α,其余为0
已知A特征值特征向量,求A^nβ
将β用A的特征值表出,再计算
二次型
xTAx化为标准形
配方法
正交变换法
实对称矩阵必可由正交矩阵对角化
x=Qy
求正交矩阵Q,QTAQ=/\
经过正交变换,二次型矩阵不仅合同而且相似
规范性
怎么将标准形化为规范性还记得?
配方法
正负惯性指数
在标准形中正(负)平方项的个数p为二次型的正(负)惯性指数
p+q=r(A)
A与B合同,正负惯性指数相同
合同
CTAC=B,C可逆
<=>xTAx ,xTBx有相同的正负惯性指数
求可逆C,CTAC=B,B不为A的对角阵
初等变换法
正定
概念
对于xTAx,对任意x!=0恒有xTAx>0,称A为正定矩阵
充分必要条件(<=>)
正惯性指数为n
A与E合同,即有C可逆,CTAC=E
所有特征值均为正数
顺序主子式均大于零
确定参数多用
必要条件
aii>0(主对角线元素大于零)
选择题判断正定
| A | >0
证明正定
先验证实对称
证明
定义法
x!=0 => xTAx>0
特征值法
A与E合同(C可逆,CTAC=E)
p=n
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