高数思维导图模板_ProcessOn思维导图、流程图

极限的概念、性质与无穷小

函数

五类基本初等函数

幂函数

指数函数

对数函数

三角函数

反三角函数

函数的四个特性

单调性

有界性

奇偶性

周期性

极限

极限的定义

定义一：当x趋近于x0，f(x)趋近于A，存在任意a>0,|f(x)-A|<a

定义二：在x处于正极限或负极限的情况下，仍有f(x)无限趋近于A

定义二是定义一的极限情况

左右极限

只看左侧叫左极限

只看右侧叫右极限

只有左右极限相等，极限才存在

无穷小量

概念：无限接近于零的量，给微积分奠定基础

有可能小于或大于0，也有可能是常数0

极限与无穷小的关系定理

定理：在x趋近于x0，f(x)趋近于A，并且a是无穷小量时，f(x)=A+a

证明函数的极限

整理为：B|x-x0|

分支主题

讨论：左分区是否大于0，分情况

注意：根号-根号：使用根式有理化

注意：放缩：分母越大，整体越小

极限的性质

函数极限的唯一性：如果存在极限，那么极限唯一

函数极限的局部有界性：在f(x)趋近于A,x无限趋近于x0，t是任意正数，A-t<f(x)<A+t

结论

连续函数在[a,b]上有界

若f(x)在(a,b)上连续，当x趋于a+，f(x)趋近于A,当x趋于b-,f(x)趋近于B,则f(x)在(a,b)上有界(充分非必要条件)

函数极限的局部保号性：当x趋近于x0，f(x0)=A,当A>0(或小于0)，f(x)>0(f(x)<0)

推论：当f(x)>=0,x->x0,limf(x0)=A，那么A>=0

考法（判断极大极小）

方法一：x的趋近f(x0)于f(x)比较判断极限值

方法二：取特例

方法三：判断f(x)与f(x1)之间的大小，x是趋近且小于x0，x1趋近且大于x0

定理3^：如果x->x0,f(x0)=A,那么|f(x)|>|A|/2

无穷小与无穷大

无穷小

无穷大

定义：比任意整数都要大的量

定理：无穷大的倒数一定无穷小，如果f(x)无穷小，且f(x)!=0,则无穷小的数无穷大

极限运算法则

定理1：有限个无穷小的和是无穷小

无限个不一定

定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小（"0"×有界="0"）

推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小

推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小，无限个不一定

定理3：如果limf(x)=A,limg(x)=B,那么

lim[f(x)+/-g(x)]=limf(x)+/-limg(x)=A+/-B

lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B

如果A≠0（非零因子）

则lim[f(x)·g(x)]=A·limg(x)

如果B≠0

则lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B

非零因子：不等于0的因式

注意：无穷大是特殊极限不存在

解题方法

方法一：抓大头

使用条件：最大数可以被提取，提取后剩余内容是非零因子

分支主题

当x->0,抓阶最低的

定理4：设有数列{xn}和{yn}，如果当n趋向于∞，limxn趋向于A，limyn趋向于B

(1)当n趋向于∞ ，lim(xn+/-yn)=A+/-B

(2)当n趋向于∞ ,lim(xn·yn)=A·B

(3)当yn≠0(n=1,2,.....)且B≠0时，当n->lim(xn/yn)=A/B

定理5：如果f(x)>g(x),那么limf(x)>=limg(x)

定理6(复合函数的极限运算法则)：

分支主题

定理7(洛必达法则):

条件1：当x->a时，函数f(x)及F(x)都趋于0或∞

条件2：在点a的某去心临域内，f(x)和F(x)的导数都存在且F(x)的导数≠0

在x->a lim(f(x)的导数/F(x)的导数)存在(或为无穷大)

极限的存在准则与两个重要极限

极限存在准则

夹逼准则：g(x)<=f(x)<=h(x),当g(x)无限接近A，h(x)无限接近A，那么f(x)一定无限接近A

单调有界准则：单调有界数列必有极限

两个重要极限

当x->0 lim(sinx/x)=1

当x->∞ lim(1+1/x)^x=e

当x->0 lim(1+x)^(1/x)=e

补充：蜜指函数：

补充2：0的0次方=1，0的n次方(n≠0)=0

无穷小的比较

定义

高阶无穷小

分支主题

但是不能写o(α)=p

2x·o(x^2)=o(x^3)

o(x)+o(x^2)=o(x)

低阶无穷小

分支主题

同阶无穷小

分支主题

k阶无穷小

分支主题

等价无穷小

分支主题

总结：越小阶越高

常见等价无穷小

一阶：sinx、tanx、arcsinx、artanx、e^x-1、ln(1+x)～x、a^x-1～xlna

分支主题

二阶：1-cosx～1/2x^2、x-ln(1+x)～1/2x^2

三阶：x-sinx～1/6x^3、x-arcsinx～-1/6x^3、tanx-x～1/3x^3、arctanx-x～-1/3x^3

等价定理

分支主题

分数可以舍去，为什么？

分支主题

等价替换原则

可以用于乘除法

不要用于加减法，有时候会出错

等价也不要用于复合函数内层

补充：幂指函数指数化：A(x)^(B(x))=e^(lnA(x))^(B(x))=e^B(x)lnA(x)

也就是说e^(lnx)=x 互为反函数

极限的计算与函数的连续性

泰勒公式

作用：用多项式近似代替一般函数

原理：x->0 f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!x^2+f'''(0)/3!x^3+o(x^3) 0!=1

泰勒公式用“=”，等价无穷小用"～"

泰勒公式不光能用乘法，任何式子都可以用

分支主题

注意

①多项式幂次越高，越精确

②当x->∞，无法直接进行泰勒展开（不存在∞的导），令1/x=t

三尽量化为x->0,再展开

④x趋近于什么，就在什么地方展开，这样最精确（化为x->0）

五上下前后同阶

⑥不知道展开的哪一阶，把其中简单的展开到≠0的式子

九个常用泰勒公式

sinx=x-1/6x^3+o(x^3)

cosx=1-1/2x^2+o(x^2)

tanx=x+1/3x^3+o(x^3)

arcsinx=x+1/6x^3+o(x^3)

arctanx=x-1/3x^3+o(x^3)

e^x=1+x+1/2x^2+o(x^2)

ln(1+x)=x-1/2x^2+o(x^2)

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+o(x^3)

(1+x)^a=1+ax+a(a-1)/2!x^2+o(x^2)

极限计算的步骤

①把x->?代入分析（极限类型、化简方法）

七种未定式

①"0"/"0"、∞/∞、"0"·∞

②"1"·∞

∞-∞ 包含(1/"0"-1/"0")

可以直接带入计算的式子

非零因子

极限存在的项

化简

注意：化简一定要化到最简，再计算

计算

洛必达法则

泰勒公式

eg. lim(x->+∞)e^(-ax)·x^b,a>0,b∈R 结果为0

eg2. lim(x->0+)x^a·lnx^b,a>0,b∈R，结果=0

变化速度：对数<幂<指数，当出现未定式：极限等于"快"的结果

当x∈(0,Π/2)，sinx<x<tanx

注意：无穷分为正无穷和负无穷

拆分极限存在的项

一定要极限存在

+-∞不存在极限

连续性与间断点

连续性

连续性概念：在某一个点的周围点的值都和那个值无限接近，那么是连续 lim(x->x0)f(x)=f(x0)

光滑：无限可导，不能扎手

函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率

"尖点",一般指函数在该点连续,左右导数都存在但不相等的点, 是"不可导"点

左连续和有连续

左边连续为左连续

右边连续为右连续

左右连续就连续

间断点

三种情况

对点不进行定义

对点有定义，但是点的极限不存在

虽然该点有定义，并且该点极限存在，但是lim(x->x0)f(x)≠f(x0)

可去间断点：lim(x->x0)f(x)=A≠f(x0) (该点未定义或者定义或该点被重新放置位置)

跳跃间断点：lim(x->x0-)f(x)=A lim(x->x0+)f(x)=B A≠B

无穷间断点：有一个左极限或者右极限是无穷大 lim(x->x0-)f(x)=∞ 或 lim(x->x0+)f(x)=∞

例：y=sin(1/x) 震荡间断点

有界震荡：sin(1/x)=y

无界震荡：(1/x)sin(1/x)

初等函数在定义区间内都是连续的

离散的点不考虑

闭区间上连续函数的性质

最值定理

概念：即一定存在M,m，使得m<=f(x)<=M

零点定理

概念：在[a,b]连续区间，f(a),f(b)异号，则站在(a,b)内至少有一点f(x)=0

介值定理

定理：在[a,b]上连续，f(a),f(b)不同,且在之间中的某一个值C，有x在(a,b),f(x)=C

零点定理的推广

推论:在[a,b]连续,存在最小值m，最大值M，在[a,b]内一定存在f(x)=C

导数与微分

导数的概念与意义

导数的定义：在开区间I内每点可导，称f(x)在开区间I可导，对于任一x∈I，都有f(x)确定的导数值，这样构成了新的函数，即f(x)的导函数

dy/dx

函数的变化率

(瞬时)变化率：f(x0)'=lim(h->0) [f(x0+h)-f(x0)]/h

还有多种变体，原理相同

f(x0)'=lim(x->x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)

A对于B的变化率=dA/dB,是导数定义

c(x)'=产量达到x单位时，再生产一个单位产品所花费的成本

切线问题与单侧导数

如果左导数=右导数，则函数可导，否则不可导

把割线的x值不断的去接近x0，也就可能形成了左切线和右切线，如果左右切线相等，那么切线存在

注意：▲x->0,一定要考虑它趋于0+和0-两边

注意②：▲x->0,且≠0

但是x->0 xsin(1/x)可能＝0，但它称为分母就不能是导数了

证明题，不是一开始就能看出来，而是把已知条件换一下，确定可能的解法

注意🌂：提不出来想要的，凑一凑(减一减加一加)

注意④：极限存在才能拆开

分支主题

若f(x)在x=x0处连续但不可导，g(x)在x=x0处可导，设F(x)=f(x)g(x),则F(x)在x=x0处可导的充要条件是g(x0)=0

f(x0)不可导，说明此点是光滑的，那么用g(x)->0去把它磨光滑

切线方程与法线方程

切线方程：y-y0=f(x0)'(x-x0)

某一点的切线上面的斜率和导数值相等

法线：与切线垂直的线，斜率是切线的负导数

公式：y-y0=-1/f(x0)'(x-x0)

求切线方程

①求对应点函数值

②求对应点的导数值

可导与连续的关系

f(x)可导则f(x)连续，f(x)'不一定连续

连续不一定可导

极限存在一定可导

可导一定连续,连续一定有极限,有极限不一定连续,连续不一定可导,可微就是可导,可导就是可微,极值点一定是驻点,驻点不一定是极值点,拐点一定是驻点,驻点不一定是拐点

二阶、三阶导数

给导数再求导

函数求导

基本求导公式(不会的)

(tanx)'=(secx)^2

(secx)'=secxtanx

(a^x)'=a^xlna(a>0,a≠1)

[log(a)x]'=1/xlna(a>0,a≠1)

(arcsinx)'=1/根号下(1-x^2)

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(x^u)'=ux^(u-1)

(cotx)'=-cscx^2

(cscx)'=-cscxcotx

(arccosx)'=-1/(根号下1-x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

四则运算

加

x与常数的导数

(uv)'=u'v+uv'

推广：[u1(x)u2(x)u3(x)]'=u1(x)'u2(x)u3(x)+u1(x)u2(x)'u3(x)+u1(x)u2(x)u3(x)'

(u/v)'=(u'v-uv')/v^2(v≠0)

反函数求导法则

dy/dx=1/(dx/dy)

(f(x)^-1)'=1/f(y)'

反函数： y=e^x x=lny 它们互成反函数

复合函数求导法则

dy/dx=dy/du·du/dx 或 y(x)'=f(x)'·g(x)'

注意：微分是一个很小很小的数

隐函数求导法则

求二阶导办法y(0)''

将x代入方程得：y

将方程对x求导

代入x,y值，得y(0)'

方程再对x求导

代入x,y和y(0)'得到y(0)''

注意(cosy)'=-siny·y'

幂指函数求导

方法一：指数化

方法二：取对数

适用范围

多项相乘

分支主题

参数方程求导(常考填空题)

分支主题