七年级数学-有理数
2024-09-02 13:46:42 9 举报AI智能生成
七年级数学有理数思维脑图
作者其他创作
大纲/内容
有理数运算律
交换律
加法
a+b=b+a
乘法
ab=ba
结合律
加法
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法
a(bc)=(ab)c
分配律
a(b+c)=ab+ac
有理数概念
数轴
数轴的定义
在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴三要素
1、原点
2、正方向
3、单位长度
数轴的绘制步骤
1、画一条直线；
2、在直线上任选一个点,标记为0,在直线的右端画上一个向右的箭头表示正方向；
3、以0为起点,分别以1cm为一个单位,向右标出1、2、3、4、……,向左标出-1、-2……；
数轴的应用
标点
比较大小
数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大。
有理数的定义
整数和分数统称有理数。
整数是指能整除1的数，如0、1、2、-1，-2等，是有理数中最常见的数据类型，整数可分为正整数、负整数和零三种，两个整数的和、差及积均为整数。
分数是指一个带分母和分子的偏移数，分母又可称为底数，分子又可称为高数，它们相除而得，如2/3，3/5等等，这类有理数能表示定量关系，可用于计算。
凡能写成 p/q（p,q为整数且q不等于0）形式的数，都是有理数。
有理数大小比较
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数;
（2）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;
（3）正数的绝对值越大，这个数越大;
（4）负数的绝对值越大，这个数越小。
相反数
定义
代数定义
只有符号不同的两个数互为相反数。
0的相反数为0
几何定义
表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点的两边，并且到原点的距离相等。
性质
若a、b互为相反数，则a+b=0
互为相反数的两个数之和为0。
绝对值
定义
几何定义
在数轴上，表示数a的点到原点的距离，叫做数a的绝对值，记做 |a|。
代数定义
非负数（正数和0）的绝对值是它本身，非正数（负数和0）的绝对值是它的相反数。
若a为正数，则满足 |x|=a 的x 有两个值 ±a。
正数的绝对值是它本身; 负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是0。
|a| = a, a>0
|a| = 0, a=0
|a| = -a, a<0
推广知识
在数轴上，数a与数b对应点之间的距离，记作：|a-b|
去绝对值的办法
利用绝对值，直接求数值
若|a|=2,则a= ±2
若|x|=|y|，且x=-3，则y= ±3
若|-x|=-(-8),则x= ±8
已知未知数取值范围,利用定义直接化简
|x-1|+|2x-4| (1≤x<2)
∵ 1≤ x<2
∴ x-1 ≥ 0, 2x-4 < 0
∴ |x-1|+|2x-4|
= (x-1)-(2x-4)
=-x+3
∵ 1≤ x<2
∴ x-1 ≥ 0, 2x-4 < 0
∴ |x-1|+|2x-4|
= (x-1)-(2x-4)
=-x+3
绝对值的非负性|a| ≥ 0
|a-2|+|b+3| = 0,求a,b的值
∵ |a-2| ≥ 0, |b+3| ≥ 0 且 |a-2| + |b+3| = 0
∴ |a-2| = 0, |b+3| = 0
∴ a-2=0,b+3=0
∴ a=2,b=-3
∵ |a-2| ≥ 0, |b+3| ≥ 0 且 |a-2| + |b+3| = 0
∴ |a-2| = 0, |b+3| = 0
∴ a-2=0,b+3=0
∴ a=2,b=-3
若│a│= 2，│b│= 5，求 ①│a+b│；② 若ab＜0，求│a+b│
答案：
① a，b有四种组合结果为：a =2 b= 5；a =2 b= -5；a = -2 b= 5；a = -2 b= -5；所以 │a+b│= 7 或│a+b│= 3
② 因为ab＜0， 所以取a = 2 ，b = -5；或 a = - 2 ，b = - 5；
答案：
① a，b有四种组合结果为：a =2 b= 5；a =2 b= -5；a = -2 b= 5；a = -2 b= -5；所以 │a+b│= 7 或│a+b│= 3
② 因为ab＜0， 所以取a = 2 ，b = -5；或 a = - 2 ，b = - 5；
用零点分段法去绝对值
求│x + 1│+│x - 2│+│x -3│的最小值。
答案：最小值是4
答案：最小值是4
绝对值性质
（1）若a为有理数，则 |a| ≥ 0 （非负数）。
（2）绝对值为某一正数的有理数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两个数的绝对值相等。
（3）若︱a︱=a，则 a ≥ 0（非负数）; 若| a | = -a, 则 a ≤ 0（非正数）。
（4）若︱a︱+︱b︱+︱c︱+︱d︱+…+︱m︱=0，则︱a︱=0︱b︱=0,︱c︱=0,︱d︱=0,…,︱m︱=0, 即a=0,b=0,c=0,d=0,…,m=0。
（5）最小的绝对值为0，但无最大的绝对值。
（6）若一个数的绝对值等于其相反数，则这个数为非正数。
应用
比较大小
倒数
定义
乘积为1的两个数互为倒数。
0没有倒数
性质
若a、b互为倒数，则ab=1
互为倒数的两个数的积为1。
科学记数法
定义
把一个数表示成a(1≤a < 10, n为整数)与10的幂相乘的形式。
一般地，一个绝对值大于10的数都可以记成 ±a x10ⁿ 的形式，其中 1 ≤ a < 10, n 为原数的整数的整位数减1。
a和n的取值范围
1≤a < 10
n为整数
n>0
n=0
n<0
近似数
定义
一个与实际数值很接近的数。
误差
一个数的近似值与它的准确值的差。
误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值，即近似程度越高。
有效数字
近似数一般由四舍五入法取得，四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位。
从左边第一个不为0的数字起，到精确的位数止，所有数字叫做这个近似数的有效数字。
有理数分类
按定义
整数
自然数
正整数
0 (零)
负整数
分数
正分数
负分数
按性质
正(有理)数
正整数
正分数
0 (零既不是正数也不是负数，π不属于有理数！)
负(有理)数
负整数
负分数
注意点
（1）正数和零统称为非负数；
（2）负数和零统称为非正数；
（3）正整数和零统称为非负整数；
（4）负整数和零统称为非正整数。
每一个非零有理数有“符号”和“绝对值”两部分组成。
有理数比较大小
借助数轴
数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;
借助绝对值
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数;
（2）正数的绝对值越大，这个数越大;
（3）负数的绝对值越大，这个数越小。
有理数运算
加法
两数相加
加法法则
（1）同号两数的相加，取加数符号，并把绝对值相加;
（2）绝对值不等异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值;
（3) 互为相反数的两数相加和为零；
（4）零与任何数相加仍得这个数。
加数+加数=和
加法是减法的“逆运算”。
多个数相加
简便方法
分组
凑整
凑零
拆分
运算律
交换律
a+b=b+a
结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
减法
减法法则
减去一个数等于加上这个数的相反数。
被减数-减数=差
减法是加法的“逆运算”。
加减混合
统一为加法去做
乘法
两数相乘
乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相乘;
（-5）×（-3）=15 和 （-7）×4=-28.
（2）零与任何数相乘都得零;
（3）乘积为1的两个有理数互为倒数；
-1/2 与 -2
（4）几个数相乘，符号由负号个数决定(奇负偶正)。
2 ×3 × 4×（-5）的积是负数
（-2）×（-3）× (-4）× (-5）的积是正数
（5）几个数相乘,如果其中有因数为0,积等于0。
步骤
多个有理数相乘
运算步骤
定号
绝对值计算
简便算法
运算律
交换律
a*b=b*a
结合律
(a*b)*c=a*(b*c)
分配律
a(b+c)=ab+ac
除法
除法法则（除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数）
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除;
（2）0除以一个不为0的数仍得0;
0在任何条件下都不能做除数。
（3）除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数；
（4）几个数相除，符号由负号个数决定(奇负偶正)。
转换为乘法去做
整除与被整除
表述问题
4能被2整除表达正确。
2能整除4表达正确。
为什么叫被整除？
表示被谁除的数，因此，写在前面的数叫被除数，表示能被整除。
被除数÷除数=商...余数
12÷4=3,可以说12被4整除,4整除12。
真分数与假分数
真分数
在数学上把分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。
假分数
分子比分母大的或分子等于分母的分数叫做假分数,假分数大于或等于1。
分子不小于分母的分数都是假分数。
分母能整除分子的假分数可化成整数。
加减乘除混合运算
运算顺序(优先级问题)
1）.先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2）.若有括号，先进行括号里的运算；
3）.若含有多重括号的运算，一般先算小括号"(...)"内的，再算中括号"[...]"内的，最后算大括号"{...}"内的；
4）.括号里的运算->乘方->乘除->加减。
乘方
定义
求n个相同因数的积的运算叫做乘方。形式：aⁿ
(相同的因数 a 称为) 底数
(相同因数的个数 n 称为) 指数
(aⁿ的结果称为) 幂
乘方的结果叫做幂。
当aⁿ看作a的n次乘方的结果时，也可读作“a的n次幂”或“a的n次方”
运算法则
（1）正数的任何次幂都是正数;
（2）负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。
易错点
负的2的四次方
负2的四次方
有理数的混合运算法则
“加法”和“减法”叫做第一级运算，“乘法”和“除法”叫做第二级运算。
同一级运算按照“从左到右”的顺序进行。
不同级运算的运算顺序是称算“乘除”，再算“加减”。
有括号的先算“小括号”再算“中特号 ”最后算“大括号”。
括号的运算优先级是最高的！
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