专升本高等数学
2019-12-09 13:22:10 7 举报AI智能生成
专升本高等数学知识导图
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大纲/内容
第五章 空间解析几何与向量代数
向量及其运算
空间直角坐标系
空间直角坐标系
空间两点间的距离
向量的基本概念
向量的计算
线性计算
向量的数量积
向量的向量积
向量的平行与垂直
向量的夹角
向量的平行与垂直
空间平面
空间平面方程
平面点法式方程
平面的一般式方程
平面的截距式方程
点到面的距离
两平面的夹角
两平面的夹角
两平面的位置关系
空间直线
空间直线方程
空间直线的一般方程
空间直线的点向式方程与参数方程
两直线的夹角
直线与平面的夹角
空间曲面与曲线
空间曲面
球面
旋转曲面
柱面
二次曲面
椭球面
柱面
圆柱面
椭柱面
双曲柱面
抛物柱面
椭圆抛物面
旋转抛物面
双曲抛物面（鞍形曲面）
双曲面
单叶双曲面
单页旋转双曲面
双叶双曲面
双叶旋转双曲面
锥面
正锥面
圆锥面
椭圆锥面
空间曲线
空间曲线的一般方程
空间曲线的参数方程
空间曲线在坐标面上的投影
题型
向量代数的计算
平面方程的求法
直线方程的求法
点到平面的距离
直线、平面之间的位置关系
旋转曲面与二次曲面
第六章 多元函数微分学
基本概念
邻域与区域
二元函数定义
二元函数的极限
二元函数的连续性
概念
性质
偏导数
概念
高阶偏导数
全微分
全微分概念
全微分计算法则
函数可微性的判断步骤
复合函数与隐函数求导
复合函数的求导
复合函数的求导法则
全微分形式的不变性
隐函数的求导法则
一元隐函数求导公式
二元隐函数求导公式
偏导数几何应用
空间曲线的切线与法平面
曲线的切平面与法线
二元函数的极值与应用
二元函数的极值与最值
极值
极值存在的必要条件
极值存在的充分条件
函数的条件极值和拉格朗日乘法
极值的应用-最优化问题
方向导数和梯度
方向导数
定义
方向导数存在的条件及计算方法
梯度
题型
二元函数的复合函数
求多元函数的极限
求多元函数的偏导数与全微分
多元复合函数的求导法则
求隐函数的偏导数与全微分
空间曲面的切平面和法线方程
空间曲线的切线和法平面方程
方向导数与梯度
多元函数极值
第七章 多元函数积分学
概念及性质
概念
二重积分的几何意义
二重积分的性质
二重积分的计算
直角坐标系下的计算
极坐标系下的计算
二重积分的应用
平面图形的面积
体积
曲顶柱体的体积
空间域的体积
曲线积分
对弧长的曲线积分
定义
性质
第一类曲线积分的计算
对坐标的曲线积分
第二类曲线积分的定义和性质
第二类曲线积分的计算
格林公式
格林公式
平面上曲线积分与路径无关的条件
题型
二重积分性质
二重积分计算
交换积分次序
两类曲线积分计算
第二类曲线积分计算
平面上曲线积分与路径无关的条件
第八章 无穷级数
数项级数的概念审敛法
数列级数概念
收敛级数的基本性质
调和级数
常数项级数的审敛法则
正项级数及其收敛法则
其收敛的充分必要条件
比较审敛法
比值审敛法
根值审敛法
极限审敛法
交错级数及其审敛法
概念定义
莱布尼茨定理
绝对收敛与条件收敛
幂级数
函数项级数概念
定义
收敛点和发散点
收敛域和发散域
和函数
部分和
余项
幂级数及其收敛性
幂级数概念定义
阿贝尔定理及其推论
幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域
幂级数运算（和函数）
加减法
性质
幂级数的和函数在收敛域上连续
- 幂级数的和函数在收敛域上可积
- 并且有逐项积分公式，
- 逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
- 幂级数的和函数在收半径上可导
- 并且有逐项求导公式，
- 逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
函数展开成幂级数
泰勒级数
麦克劳林级数
常用级数展开式
题型
常数项级数的基本性质（敛散性）
判断级数的敛散性
常用比较级数
绝对收敛和条件收敛
幂级数
幂级数及其收敛性
阿贝尔定理
求收敛半径
幂级数在其收敛区间内的和、差、逐项求导与逐项积分
求和函数
第一章 函数极限与连续
函数
概念定义
性质
有界性
单调性
奇偶性
周期性
初等函数
基本初等函数
复合函数
初等函数
极限
数列极限
定义
函数极限
当X趋于无穷大
当X趋于某一定值
极限运算法则
极限存在准则
夹逼准则
单调有界准则
两个重要极限
无穷大量与无穷小量
无穷大量
无穷小量
定义
与极限的关系
性质
无穷小量阶比较（同一变化过程）
同阶无穷小
之比为不为零常数
等价无穷小
之比为1
常用等价无穷小
子主题
高阶无穷小
之比为零
低阶无穷小
之比为无穷
无穷大量与无穷小量的关系
连续性
在一点连续
左连续右连续
区间上连续性（连续函数）
定义
性质
最值定理
介值定理
推论1零点定理
推论2
初等函数连续性
四则运算
复合函数连续性
初等函数连续性
间断点
概念
分类
第一类
跳跃
可去
第二类
无穷
振荡
题型
求定义域
求表达式
判断函数是否相同
函数奇偶性、有界性判断
求反函数
求极限
四则运算
约分通分有理化
两个重要极限
等价无穷小性质与代换
洛必达法则
无穷小量比较
函数连续性判断
间断点判定
方程根的存在性判定
第二章 一元函数微分学
导数
定义
几何意义
反函数的导数
可导与连续的关系
求导法则
常用求导公式
函数和差积商求导法则
复合函数求导法则
求导方法
高阶导数求导法则
隐函数求导
对数求导法
参数方程所确定的函数求导
函数微分
定义
可微与连续关系
微分法则
微分近似应用
微分中值定理
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
不等式证明
洛必达法则
其他未定式极限计算
导数应用
单调性
极值最值
凹凸性、拐点
渐近线
题型
导数定义
导数几何意义
高阶导数求导
微分及其应用
复合函数、隐函数求导
对数求导法
微分中值定理及其应用
单调区间和极值
凹凸性与拐点
求渐近线
不等式证明
一元函数最值应用
第三章 一元函数积分学
不定积分
概念定义
几何意义
性质
运算法则
原函数存在定理
基本积分公式
计算方法
换元积分法
第一类换元法-凑微分法
第二类换元法
分部积分法
特殊类型函数的积分
题型
不定积分概念与性质
换元法求不定积分
分部积分法求不定积分
定积分
定积分概念与定义
定积分存在定理
性质
定积分计算
变限积分求导
牛顿-莱布尼茨公式
换元和分部积分法
应用
计算面积
旋转体的体积
广义积分
无穷区间上的广义积分
无界函数的反常积分
题型
变限积分及其导数应用
定积分性质
定积分计算
定积分应用
第四章 常微分方程
微分方程基本概念
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
一阶线性微分方程
可降阶的高阶微分方程
y(n)=f(x)型的微分方程
y''=f(x,y')型的微分方程（不含未知函数y）
y''=f(y,y')型的微分方程（不含自变量x）
二阶线性微分方程
解的结构
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程
注意
各类型方程的通解和特解形式
各类方程的解法
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