考研高等_极限与连续
2020-03-16 18:00:18 2 举报AI智能生成
考研高等数学_极限与连续
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更新记录
2020.2.24 开坑
数列极限
求极限、证明极限存在
用定义
ε-N 语言
无限趋近的过程
数列与子数列
对于数列，若一个子列发散，则原数列发散
偶与奇极限相等
用性质
唯一性
极限值a是唯一的
有界性
若极限值a存在，则有界
保号性
用运算规则
+-×/
用夹逼准则
不验证等号 也可一边等一边不等
动分母放缩
用单调有界性准则
单调且有界，则极限存在
特殊技巧和细节
递推迭代式证明极限
要证 lim a=0 转化为证 lim|a|=0
由于|a|>0，则使用夹逼证明|a|≤0即可
函数极限
计算函数极限
领域
一个局部位置 点x附近
定义
ε-δ语言
分Xo左右 左- (<Xo） 右 +
ε-X语言
无穷极限 ① -∞ 当x<-X ②+∞ 当x>X
极限脱帽法
左右极限相等 <==> 极限存在
性质
唯一性
极限值a是唯一的 分左右极限存在
局部有界性
若极限值a存在，当0<|X-Xo|<δ,有|f(x)|≤M，反之不一定
局部保号性(导数几何的应用)
X->Xo时，极限＞b，则函数＞b
X->Xo时，极限存在，函数≥b，则极限≥b
运算规则
+-×/
lim x^n=(lim x)^n n∈Z+
夹逼准则
不验证等号 也可一边等一边不等
不可用lim[h(x)-f(x)]=A代替
动分母放缩
A=+∞ A= -∞ 可以
洛必达法则
必须是∞/∞ 0/0 型 ，且使用后极限不一定存在
分母更复杂次数高 分子简单次数低 不适用
泰勒公式
公式
A/B 和 A×B=A/(1/B) 型
上下同次方
A-B 和 A+B=A-(-B) 型
系数不相等的x的最低次幂
海涅/归结 定理
联系数列极限与函数极限
无穷量
趋向过程 0（无穷小量）
无穷大与无穷小关系
倒数转换
无穷小运算法则
有限个+× 仍是无穷小
×有界函数 仍是无穷小
无穷小运算(抽象符号运算） ——①加减=高阶 ② 乘法=阶数累加 ③非零×不影响阶数
无穷小比阶
=0 则α是β的高阶 记为α(x)=o(β(x))
α趋向速度比β慢
=∞ 低阶
=c≠0 同阶
=1 等价
α~β 充分必要条件β=α+o(α）
α是β的k阶无穷小
特殊技巧和细节
极限是过程，点无定义也可
七种未定式计算
分子分母各齐，相互之间不齐 用定积分定理 求极限
单调有界 证明极限存在
连续与间断
极限应用
连续点(逐点）
函数值=极限值
间断点
前提
f(X)在Xo的某个去心领域内有定义 即Xo左右领域有定义
分段点和无定义点
分类
第一类间断点
可去间断点
函数值≠极限值 or f(Xo)处没定义
跳跃间断点
左极限≠右极限
第二类间断点
无穷间断点
极限值=∞
振荡间断点
极限值不存在
特殊技巧和细节
绝对值运算 对连续行无影响
章节技巧
加减不能用无穷小，由于剩余o(x)
左极限- (<Xo） 右极限 +
当x趋向-∞时，分子分母除以x需要添加负号
当x趋向-∞时，分子分母除以x需要添加负号
有定义 → 可导 → 连续 → 有界
存在极限 → 有界
存在极限 → 有界
局部保号性 → 导数几何应用
lnx<sinx<x<tanx
极限计算过程中的化简之道
根号有理化
a²-b²公式
同型换元
次方拆开凑同型
可代值 直接代值算数
分子分母同除公因式 代值
sin■ 偶数次变为 -+cos■ 可代值
arctan0=0
arctan∞=π/2
tan0=0
sec0=0
恒等补充
1×■=■
0×■=0
+1-1=0
★×1/★=1
+▲-▲=0
代换变量 ▲改为▼
三角函数(●▲) = 三角函数[●+●(▲-1)]
sin▲/▲=1
0×■=0
+1-1=0
★×1/★=1
+▲-▲=0
代换变量 ▲改为▼
三角函数(●▲) = 三角函数[●+●(▲-1)]
sin▲/▲=1
常用等价无穷小总汇
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