考研高等_一元函数微分学
2020-03-16 18:00:34 0 举报AI智能生成
考研高等数学_一元函数微分学
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更新记录
2020.3.3 开坑
几何应用
作函数图像
四点
极值
定义
最值点Xo不是区间的端点，而是区间内部的点，那么Xo必是f(x)的一个极值点
判别
必要条件
f(x)在x=Xo 可导且Xo处取极大值，则有f'(Xo)=0
充分条件
f(x)连续且去心邻域可导
左f'(x)<0 右f'(x)>0 极小值
左f'(x)>0 右f'(x)<0 极大值
左右不变 无极值
f(x)在x=Xo二阶可导 且f'(Xo)=0,f''(Xo)≠0
f''(Xo)<0 f(x)极大值
f''(Xo)>0 极小值
f(x)在Xo处n阶可导 且f^m阶(Xo)=0 ，f^n阶(Xo)≠0
m=1,2,3, … n≥2
m=1,2,3, … n≥2
f^偶数阶(Xo)<0 极大值
f^奇数阶(Xo)>0 极小值
最值
驻点
f'(Xo)=0
拐点
(Xo,f(Xo)) 凹凸弧交界点
二阶可导
f''(x)>0 凹
f''(x)<0 凸
判别
必要条件
f''(Xo)存在且(Xo,f(Xo))为拐点，则f''(Xo)=0
充分条件
存在拐点(Xo,f(Xo))
f(x)在x=Xo三阶可导 且f''(Xo)=0,f'''(Xo)≠0
f(x)连续 去心邻域 二阶可导 f''(x)左右变号
f(x)在Xo处n阶可导 且f^m阶(Xo)=0 ，f^n阶(Xo)≠0
m=2,3, … n≥3
m=2,3, … n≥3
n为奇数 存在拐点(Xo,f(Xo))
两线
单调性
判别
f'(x)>0 增
f'(x)<0 减
凹凸性
一线
渐近线
铅垂渐近线
x=Xo且为间断点
lim(x→Xo)=∞
f(a+0)=∞
f(a-o)=∞
(其一满足即可）
水平渐近线
y=A
lim(x→+∞)=lim(x→-∞)=A
斜渐近线
y=ax+b
左右均等
弧线
弧微分
基本公式 (ds)²=(dx)²+(dy)²
曲率与曲率半径
全局的取值范围
比较函数值
f'(x)=0
f'(x) 不存在
端点 或 单侧极限
特殊技巧和细节
端点无极值概念
间断点可以是极值点 极值间断→双侧有定义
极值点与可导性无关，可以是不可导点
拐点存在，不一定Xo导数存在，如y=x^(-1/3)
中值定理
有关f(x)
有界和最值定理
m≤f(x)≤M
介值定理
m≤μ≤M, 存在f(ξ)=μ
平均值定理
零点定理(经过x轴)
f(a)×f(b)<0 存在f(ξ)=0
有关f'(x)
费马定理
Xo处可导且可取极值(区间内部) ,则f'(Xo)=0
f(x)在[a,b]连续可导(ξ不唯一)
罗尔定理
f(a)=f(b) 存在f'(ξ)=0
几何意义:曲线段至少一条切线
拉格朗日中值定理
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)
f(b)-f(a)=f'[a+(b-a)Θ](b-a) Θ∈(0,1)
柯西中值定理
f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f'(ξ)/g'(ξ)
g'(x)≠0 →g(a)≠g(b)
泰勒公式
有关f(x)dx积分
特殊技巧和细节
中值定理使用习惯
f(b)-f(a) →L
f(a),f(b),f(c) →2L
函数值之和 →介值定理和最值有界
只含ξ
还原法
有待补充
分组法
微分法
把ξ=x,去分母整理成g(x)=0,找出φ'(x)=g(x)，φ(x)为辅助函数
含ξ,a和b
只有f'(ξ)和f'(η)
找三点相等 2L
含ξ η 中值复杂度不同
( )' —L
( )'/( )' —C
二阶导数保号性
f''(x)><0
f'(x) 增减
f(x) ≥≤ f(Xo)+f'(Xo)(x-Xo)
f'(x)≠0 →f'(x)保号 →f(x)必有反函数 f(x)必单调
f(x)可导 → f'(x) 可以是连续或者振荡间断点
ξ不唯一 且多个ξ区间不一定相同
微分不等式
零点问题
方程的根 交点问题
证明根的存在
f(a)×f(b)<0 至少存在一根
limf(x)=α limf(x)=β α×β<0 f(x)=0在(a,b)内至少一个根
证明根的唯一
f(x) 在(a,b)单调 【f'(x)存在≠0】 f(x)=0在(a,b)内至多一个根
小工具
f^n阶(x)=0 至多有k个根 则f(x)=0 至多k+n个根
实数 奇次方程 至少有一个实根
微分不等式
单调性、凹凸性和最值等证明
f''(x)>0 ,a<x<b，f(a)=f(b)=0 则f(x)<0
基本不等式
中值定理
章节技巧
有待补充
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