考研高等_一元函数积分学
2020-03-17 18:00:55 2 举报AI智能生成
考研高数_一元函数积分学
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大纲/内容
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更新记录
2020.3.10 开坑
概念
不定积分
原函数为F(x) 满足F'(x)=f(x) ∫f(x)dx=F(x)+C
定积分
存在定理
f(x)在[a,b] 连续 or 单调 or 有界且只有有限个间断点 → 积分存在
f(x)在[a,b] 可积 → f(x)有界
定义
几何定义
①与区间[a,b]和ξi无关 ②λ→0,则n→∞
精确定义
基本性质
± 可拆
∫dx=b-a=L 为区间[b-a]长度
保号
若f(x)≤g(x) 则∫f(x)≤∫g(x)
|∫f(x)|=∫|f(x)|
x∈(a,b) 若 m≤f(x)≤M 则m(b-a)≤f(x)≤M(b-a)
积分中值
牛顿-莱布尼兹公式
特殊性质
变限积分
积分表达式的x与上下限的x不同
性质
可积→连续→可导
求解
积分函数中不能有上下限x
换元法
等价替换
反常/广义积分
f(x) 无穷小程度越小 反常积分越容易收敛
上下限均∞ → 上述两条件均存在极限 则收敛
反常积分 是一个无界函数也可能存在积分
伽马函数
特殊技巧和细节
f(x)连续或振荡间断点 必有原函数 F(x)
正常积分
积分区间有限
连续 or 只有有限个第一列间断点(跳跃 可去)
广义积分∫∞ f(x)dx 发散 则不能使用奇偶性
可积 → 有界
sin-cos对换法
常用换元法
n≥(b-a)/x+∞（λ→0）
定积分与自变量无关 故换元法后不代回定积分中
计算方法
基本积分公式
凑微分法
拿出一部分放到d后面 f'(x)dx=df(x)
换元法
记得结果代回去
含根式、反三角等时，从d后面拿出一部分放在前面 f'(x)dx=df(x)
分部积分法
由(uv)'=u'v+v'u 推导而来
∫udv=uv-∫vdu
微分简单 u 反 对 幂 指 三 v 积分简单
推广技巧
有理函数积分
解法
①假分式→R(x)=多项式+真分式
②两个例子
特殊技巧和细节
f'(x)=df(x)/dx →f'(x)dx=df(x)
不定积分易错点
不定积分计算技巧
拆成基本公式或者+-式子
二次函数化顶点式
du 可拿出一部分放在前面
低次→高次
cosx+1=2cos²x/2
1+tan²x=sec²x
sin²和cos²x 同时出现 → 同除以cos²x
x×根号* →三角替换
分母拆看成a²+b²
分子+狗-狗 化简按a²+b²约分
几何应用
图形的面积
旋转体的体积
曲线的弧长
函数的平均值
积分中值定理的f(ξ)
特殊技巧和细节
章节技巧
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