第九章重积分
2021-02-06 19:12:28 0 举报AI智能生成
交大高数课2
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大纲/内容
9.3 三重积分的计算
9.3.1 三重积分在直角坐标系下的计算
1) 柱线法
xy正则区域
柱线法计算公式
先“定积分” 后“二重积分”
2) 截面法
z型空间区域
截面法计算公式
截面法适用情况
被积函数只是z的函数、且平行xoy面的截面面积容易计算时，一定要用截面法！
直角坐标系下三重积分计算总结
三重积分的轮换性
球体区域
椭球体区域
直角坐标系下，三重积分的对称性
直角坐标系下，三重积分的难点——画立体图形
只要知道交线就可以了！
画出一个柱面，然后画出最后一个曲面与它的交线
画交线即画两个交点！
没有z的方程就是一个垂直xoy平面的柱面！
易错：锥面于球面的交线是否超过赤道
求多重积分比什么的极限
化多重积分为一重积分然后求导，注意导数定义的运用
f（x）在x=0处可导与f（x）在0处导数连续的区别
9.3.2 三重积分变量代换
三重积分变量代换的定理
常见适用情况
椭圆区域
被积函数中有诸如x^2+y^2+(z+2)^2的形式
算重积分的时候雅可比行列式别忘了！
9.3.3 三重积分在柱面坐标系下的计算法
本质
本质上就是柱线法或者截面法，然后其中的二重积分再用极坐标
柱面坐标系中r，θ，z的几何意义
柱面坐标变换
柱面坐标系的两种计算方法
柱线法+极坐标
截面法+极坐标
适用条件之一即可
被积函数含有x^2+y^2
投影区域是圆域或扇形或扇环
9.3.4 三重积分在球面坐标系下的计算法
球面坐标
球面坐标变换
Jacobi行列式
广义球面坐标变换
换椭圆
三重积分的雅可比行列式同样有倒数性质
9.4 重积分的应用
前三节中涉及的重积分应用
平面图形的面积
空间立体的体积
空间物体的质量
9.4.1 曲面面积
二重积分的微元法
先找
进而得到
注意
两个曲面联立消去 z，得到的就是两个曲面的交线在 xoy 平面上的投影
求一部分圆柱面的面积
9.4.2 重积分的物理应用
物体的质心
本章总结
二重积分计算题目
特点总结
超级易错！
开偶次方一定要加绝对值！！！
半径是右边开平方！
不能看到2就写半径为2
一元函数积分与二重积分的综合（计算题或证明题）
如变量代换的证明题
poisson积分的计算
计算方法
x、y型区域
交换积分顺序
极坐标变换
变量代换
利用区域对称性和函数奇偶性
特殊题型
利用定义
密度函数*面积元的求和
三重积分计算题目
计算方法
柱线法
截面法
球坐标代换
变量代换
区域对称性和函数奇偶性
9.1 重积分的概念和性质
9.1.1 二重积分和三重积分的概念
物理意义
平面薄板的质量
几何意义
曲顶柱体的体积
平面图形的面积
被积函数为1
二重积分定义
二重积分的存在性和极限值与区域D的分划方式及每个小区域中点的取法无关
不存在时可通过取不同点得到不同值来体现
三重积分定义
可积的充分条件
有界闭区域上连续则可积
初等多元函数在定义域上都连续，连续必可积
有界闭区域上有界，且只有有限条光滑曲线上不连续
9.1.2 重积分的性质
如果能计算直接面积的话，会方便很多！！
9.2 二重积分的计算
9.2.1 直角坐标系下的计算公式
正则区域
交换x，y的积分次序
以累次积分形式给出的二重积分计算困难时, 可以考虑交换积分次序
利用被积函数和区域的对称性计算二重积分
固定 y，z 时，如果关于 x 是奇函数且有对应的对称性，则积分就为 0！
直角坐标下，画不出区域时求二重积分的方法
求一个不知名曲线围成的面积——先求一个变量的范围（用另一个表示上下限），然后根据其有意义的条件得另一个的具体范围
求两个带 z 的平面在某一范围内所夹出的立体的体积——关键：找出积分区域，判断两个z的相对大小（直接绝对值也可）
x 与 y “记号”变换凑二重积分法
典例—— Poisson 积分的计算
9.2.2 极坐标系下的计算公式
适用极坐标计算的情况
区域是圆域, 扇形域
被积函数有 x方+y方 的形式
θ型正则区域
θ型区域的具体计算类型
极点在区域外部
正常
极点在区域边界上（也有可能同时满足3）
此时θ的范围可以由r>=0解出
极点在区域内部（是指被包围了，
即一圈的任意射线都与区域相交，并不一定在区域内部
即一圈的任意射线都与区域相交，并不一定在区域内部
r型区域
圆弧线划过去必须满足：与非区域边界最多有两个交点
画圆弧找出最近的r和最远的r（常数），然后逆时针找θ(r)的上下限
极坐标下，画不出积分区域的积分计算
根据已知的式子挖掘出
所有的不等式确定范围即可积分
所有的不等式确定范围即可积分
不仅有r>=0，更有r大于等于二分之一！
9.2.3 二重积分的变量代换
定理
变量代换是高级方法，合理利用会大大简化！一定要注意公式中是雅克比行列式的绝对值！！！别忘了绝对值！
变量代换的常见情况
不过原点的圆域，化到标准圆域
经常会遇到变换之后到圆域上，再用极坐标代换
任意正或斜椭圆区域，化成标准圆域
两条直线与两条双曲线相交而成的区域，化成矩形区域
边界映到边界（边界曲线方程的变换）
区域变换以后形成的域的原象，可能有两块
雅克比行列式的倒数关系
常常令 u=x,y 的函数，此时所需雅克比行列式的倒数易求！
变量代换时范围的确定
边界映到边界
一个有确切范围，第二个需要用第一个表示出来
第二个需要解出原有的表达式
坐标变换时如果已经写成了累次积分的形式，那么一定要注意不能只改变上下限，因为上下限等于的还是原来的变量！
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