《高等数学》读书笔记
2021-10-11 15:21:25 47 举报AI智能生成
《高等数学》学习笔记是一份记录了高等数学学习过程中的重要知识点、公式、定理和解题方法的笔记。它通常包括以下几个方面的内容：1. 基本概念和定义，如极限、导数、积分等；2. 重要公式和定理，如洛必达法则、泰勒公式等；3. 解题方法和技巧，如换元法、分部积分法等；4. 例题和习题，用于巩固所学知识。这些内容可以通过手写或电子文档的形式记录下来，方便随时查阅和复习。总之，《高等数学》学习笔记是一份非常有用的学习资料，能够帮助我们更好地掌握高等数学的知识。
作者其他创作
大纲/内容
微积分
函数
常用性质
绝对值的性质
子主题
函数的定义域
子主题
积化和差
子主题
二倍角公式
子主题
指数函数和幂函数
子主题
均值不等式
子主题
极限与连续函数
2.1 数列极限
定义
板书
子主题
理解
理解ε-N语言
知道了极限L，任意设置一个大于零的特别小的数，看能不能找到N
正确的L
如果L是错的？
错误的L，假定ε=0.01234，当N>n=1.01，第二项就不成立了。
数列极限的性质
子主题
四个重要数列的极限
子主题
数列极限的应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
2.2 函数极限
函数极限的定义
函数和数列极限的差异
板书
子主题
数列极限是正方向的，任给一个数ε（ε>0）,存在一个L，总能找到N，当n>N是，|an-L|<ε 恒成立。
函数极限是所有方向的【也可以是一个点】。任给一个数ε（ε>0），存在一个L，总能找到X，当x>|X|时，|f(x) - L| <ε 恒成立
x也趋于不同点的情况
趋于某一点
子主题
趋于无穷
子主题
函数极限的性质
板书
子主题
函数极限的应用例题
例题1
子主题
例题2
子主题
2.3 夹逼定理
板书
子主题
应用例题
例题1
子主题
例题2
子主题
例题3
子主题
2.4 单调有界定理
描述
子主题
例题
例题1
子主题
例题2
子主题
子主题
子主题
2.5 两个重要极限
描述
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
2.6 无穷小的比较
无穷小量的定义和性质
子主题
无穷小量的比阶
子主题
常用的等价无穷小
子主题
注：幂函数的极限算法
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
例题四
子主题
例题五
子主题
例题六
子主题
2.7 函数的连续性
函数连续的条件
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
2.8 函数的间断点
间断点的类型
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
例题四
子主题
2.9 闭区间连续函数的性质
性质
子主题
零点定理
f(x) 在 [a,b]上连续，如果f(a) * f(b) <0 则在(a,b) 内至少可以找到一个点 ε 使得 f(ε) = 0
注意端点值
介值定理
f(x) 在[a,b]上连续，则必定存在最小值m 和最大值M,任取一个常数c, m ≤ c ≤ M,则在[a,b]内,至少存在一个点 ε 使得，f(ε) = c
应用例题
第一题
子主题
第二题
子主题
2.10 函数极限的常用方法
连续函数直接代值【加减不可部分代值】
子主题
根式有理化
子主题
无穷小量 * 有界函数 = 0
两个重要极限
多项式相加，同除以最高次幂
子主题
等价无穷小量
注意事项：加减不可部分使用等价无穷小
子主题
等价无穷小的拓展理解
子主题
子主题
例题
例题一
子主题
例题二
如果拆极限，一定要注意，拆后的两个极限都存在，如果不存在不能拆极限
例题三
子主题
例题四
子主题
例题五
子主题
导数和微分
导数基础
导数的定义
子主题
左右导数
子主题
是否可导的判断
关于连续和可导的简单图形判别：连续是一笔画，可导是光滑的一笔画。
x0处的左右极限用于判断该点是否连续。
左右导数用于判断函数在该点是否可导。
应用例题
子主题
子主题
子主题
导数的运算法则
导数乘法口诀：前导后不导，前不导后导。多个函数相乘，从前往后传递。（xyz）' = x'yz + xy'z + xyz'
微分基础
子主题
复合函数求导
链式法则
应用例题
子主题
子主题
隐函数求导
子主题
应用例题
子主题
子主题
反函数求导
反函数的导数等于原函数导数的倒数。
例题
子主题
参数函数求导
子主题
应用例题
子主题
高阶导数
高阶导数定义和解题方法
关于(uv)的高阶导数的求导规律，可以使用杨辉三角
杨辉三角求高阶导数
应用例题
例题一
子主题
例题二
另外一种方法，也可以化简
例题三
子主题
微分中值定理和应用
罗尔定理
费尔马引理：
如果x0处导数存在。
而且在x0的领域内，x0的函数值要么最大，要么最小。
f(x) ≥ f(x0) 最小
或者
f(x) ≤ f(x0) 最大
则有
f'(x0) 的导数等于0
如果x0处导数存在。
而且在x0的领域内，x0的函数值要么最大，要么最小。
f(x) ≥ f(x0) 最小
或者
f(x) ≤ f(x0) 最大
则有
f'(x0) 的导数等于0
子主题
罗尔定理:
[a,b]连续，（a,b）可导，
如果两个端点值相等，
至少会有一个点使得该点的导数为零
[a,b]连续，（a,b）可导，
如果两个端点值相等，
至少会有一个点使得该点的导数为零
子主题
应用例题
例题一
罗尔定理的应用思路：构造一个函数F(X) 是的这个函数在两个端点的函数值相等 F(a) = F(b)
则根据定理，至少存在一点 ε，F'(ε) = 0
又，F(X)与f(x) 有关系，所以就可以得出 f(x)。
则根据定理，至少存在一点 ε，F'(ε) = 0
又，F(X)与f(x) 有关系，所以就可以得出 f(x)。
两个平面垂直：A1*A2 + B1*B2 + C1*C2 = 0
例题二
零点定理：f(a)*f(b) <0 肯定存在一点η 使得f(η) = 0
两个平面垂直：A1*A2 + B1*B2 + C1*C2 = 0
例题三
技巧点：如何构建F(x)
拉格朗日中值定理
定理和几何意义
子主题
推论
子主题
例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
例题四
子主题
例题五
子主题
柯西定理
洛必达法则
泰勒展开式
定义
关注：泰勒中值定理、皮亚诺余项
记忆口诀：x0处的n阶导数除以n阶乘，乘上差值的n次方。
记忆口诀：x0处的n阶导数除以n阶乘，乘上差值的n次方。
常见函数的泰勒展开
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
注意的问题：几次方的高阶无穷小/x的几次方 极限问题。比x三次方的高阶无穷小闭上x三次方的极限为0
例题四
泰勒展开的求解思路：
分子分母展开不能出现等于0的情况
分子分母的展开幂次要匹配。比如分子是4次方，分母四次方
两个高阶无穷小加减法遵从 从低原则：X²的高阶无穷小 X³的高阶无穷小相加 = X²的高阶无穷小。
分子分母展开不能出现等于0的情况
分子分母的展开幂次要匹配。比如分子是4次方，分母四次方
两个高阶无穷小加减法遵从 从低原则：X²的高阶无穷小 X³的高阶无穷小相加 = X²的高阶无穷小。
两个平面垂直：A1*A2 + B1*B2 + C1*C2 = 0
例题五
皮亚诺余项：最后一项n之后的所有项，可以表示成(x-x0)**n 次方的高阶无穷小。
泰勒中值定理：最后一项n之后的所有项可以表示成 f(ε)的n+1阶导数值 除以 n+1的阶乘 * x - x0 的n+1次方。其中ε肯定位于 x-x0之间。
泰勒中值定理：最后一项n之后的所有项可以表示成 f(ε)的n+1阶导数值 除以 n+1的阶乘 * x - x0 的n+1次方。其中ε肯定位于 x-x0之间。
函数的单调性、极值、最值
函数的凹凸性、拐点
函数的渐近线
不定积分
5.1 不定积分的定义和基本性质
定积分
6.1 定积分的定义及基本性质
定积分的定义
子主题
定积分的几何意义
板书
定积分的几点说明
定积分的几点说明
总结
子主题
定积分的性质
子主题
定积分定义和性质的例题
第一题
子主题
第二题
子主题
6.2 积分上限函数
积分上限函数的定义
子主题
积分上限函数的几何意义、求导法则、特点
子主题
积分上限函数的例题
第一题
子主题
第二题
子主题
第三题
子主题
第四题
子主题
第五题
子主题
第六题
子主题
6.3 积分中值定理
积分中值定理的推导
如果是闭区间，可使用介值定理证明
如果是开区间，可使用微分中值定理中拉格朗日中值定理证明
积分中值定理的一个推论
积分第二中值定理
子主题
积分中值定理的例题
第一题
子主题
第二题
子主题
6.4 定积分运算方法
常用方法
子主题
周期函数、wallish公式、翻转公式
子主题
定积分的例题
第一题
子主题
第二题
子主题
第三题
子主题
第四题
子主题
第五题
子主题
6.5 定积分的几何应用
面积公式
子主题
体积公式
子主题
弧长公式
子主题
弧长的计算原理
子主题
旋转体侧面积的计算
子主题
几何应用的例题
第一题
子主题
第二题
子主题
第三题
子主题
6.6 反常积分的计算
无限反常积分的定义
子主题
上下限为无穷的反常积分及其性质
子主题
无穷限反常积分的计算
子主题
无穷限反常积分例题
例题一
子主题
例题二
子主题
无界函数的反常积分【瑕积分】
定义
注意
综合例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
例题四
子主题
例题五
子主题
例题六
子主题
6.7 通过定积分定义计算极限
思路
子主题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
例题四
子主题
例题五
子主题
6.8 有关定积分的证明
利用估值定理证明思路
子主题
构造积分上限函数证明积分不等式
例题一
子主题
例题二
子主题
柯西施瓦茨不等式
证明方法一
子主题
证明方法二
子主题
证明方法三
子主题
例题
子主题
拓展：闵可夫斯基不等式
子主题
周期性证明
例题
子主题
积分中值定理证明
子主题
向量和空间解析几何
向量
向量的概念
向量、自由向量、向量相等
向量的模
子主题
向量的夹角
子主题
共线
两个平行向量，如果起点相同，则两个向量共线
向量的加减
向量的加法
平行四边形原则
子主题
三角形原则
子主题
向量的减法
等同于 a + (-b)
子主题
数乘
子主题
向量运算规律
子主题
向量的方向角
向量{a,b,c} 分别于x轴 y轴 z轴 的夹角
其中 e 表示 向量OM的单位向量。
习题
子主题
向量的积
数量积【点乘】【内积】
注意：数量积的结果是一个数
数量积也可以解释为 向量a 在 向量b上的投影和向量b的乘积。
数量积的运算律
子主题
衍生的特性：如果向量a和向量b垂直 则两个向量的数量积为零
子主题
应用例题：证明余弦定理
子主题
数量积的坐标表示
子主题
空间坐标系中两个向量的余弦值
应用例题
子主题
向量积 【X乘】【外积】
注意：向量积的结果是一个向量
向量的大小【模】 |axb| = |a|*|b|*sin(θ)
向量的方向：与向量a,b垂直，方向则通过右手定则确定
通过右手，四指方向是向量夹角的方向【如a-->b】，大拇指指向的是axb的方向
特性
子主题
1 如果有一个向量l 既和向量a垂直 又和b垂直，则 这个向量 l 与 aXb 平行
2 一个向量与自身的向量积为0向量
3 a 向量和 b向量 平行的充要条件是【向量积为0】 a X b = 0
a 向量与 b 向量垂直的充要条件是【数量积为0】 a · b = 0
运算律
向量积的坐标表达式
坐标表达式
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
平面
平面方程
点法式：平面上两点M1:（xo,y0,z0）,M2:(x,y,z) 和垂直平面的法向量（A,B,C）构造平面方程
子主题
应用例题：利用平面三点，计算该平面的法向量（A,B,C）
原理，三个点构成两个向量AB,BC, 法向量与向量AB 和 BC 垂直，所以可以使用向量积，算出法向量
平面的一般方程
Ax + By + Cz + D = 0
子主题
应用例题
子主题
两个平面的夹角
两个平面的法向量的夹角（0,90°）：cos(n1,n2) = |n1 * n2| / |n1| * |n2|
子主题
特殊情况：假定两个平面的法向量分别为 n1 = （A1,B1,C1）和 n2 = （A2,B2,C2）
两个平面平行: n2 = λn1
A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 = λ
两个平面垂直：n1*n2 = 0
A1*A2 + B1*B2 + C1*C2 = 0
点到平面的距离
先求该平面的法向量
将该点M（x0,y0,z0）分别做垂直于平面的线和斜线。这两条线的夹角为θ
平面直线
平面直线方程
构建方法
一般方程：两个平面的相交，即可构建一个直线方程
实际上过直线l 可以有无限个平面，所以直线的一般方程并不唯一
对称式方程和参数方程
对称式方程的思路：直线L上任意构建两点，P0:（X0,Y0,Z0）,P1:(X,Y,Z)，向量P0P与直线方向向量（m,n,p）平行。则根据向量平行的充要条件。各分量成比例，即可得。
构建直线方程的条件
直线上已知点A
这个直线平行的平行向量S
这个方程的构建方法称之为——点向式方程
【已知点、和法向量n】构建平面方程的 点法式相对应
参数方程
子主题
应用例题
例题一
对称式方程转化为一般方程
例题二
将一般方程转化为对称式方程
两个平面法向量的向量积=相交直线的方向向量
两个直线的夹角：先求两个直线的方向向量，再使用数量积的公式，求出向量余弦。
子主题
直线与平面的夹角思路：设直线的方向向量S,与平面的法向量N的夹角α，则直线与平面的夹角 = π/2 - α
子主题
平面束方程
子主题
应用例题
子主题
思路：直线l的方向向量S 与平面法向量N 平行。有过点（-1,2，0）。则可有点向式构建直线方程，代入即可求得
思路一：假设有一平面过点P,并与直线L垂直,L的方向向量等于平面的法向量，通过点法式构建这个平面的方程。
连立三个方程，即可得到平面与直线L的交点P0，通过两点之间的距离公式，算出PP0的距离
连立三个方程，即可得到平面与直线L的交点P0，通过两点之间的距离公式，算出PP0的距离
空间投影的计算
向量之间的投影
子主题
点到面的投影
计算思路：直线的方向向量与平面的法向量平行，通过点向式创建直线方程，并与平面方程组方程组，即可求得点到平面的投影点。
子主题
应用例题
子主题
点到直线的投影
计算思路：创建一个经过该点的平面方程，该方程的法向量与直线的方向向量平行，则可以通过点法式创建该平面方程，连立平面方程和直线方程的方程组，即可求得点在直线上的投影点。
子主题
直线到平面的投影
计算思路：创建经过该直线的平面束方程，找到一个平面与原平面垂直，充要条件：两个平面的法向量垂直，即两个法向量的数量积为0，则可以计算lambda的值。连立这个平面方程和原平面方程即可求得直线到平面的投影线。
子主题
空间曲线在坐标面上的投影
思路：两个空间曲面方程：F(x,y,z), G(x,y,z)，会得到一个空间曲线，
可以先将两个方程中的z 约去，得到了一个新的方程 H(x,y)，
这个方程表示的是经过空间曲线，与z轴平行的投影柱面。
投影柱面与（xoy）坐标面相交的所呈现出的曲线，就是空间曲线在坐标面（xoy）上的投影。
方程由 H（x,y）=0 和 Z(z) = 0 连立成的方程组。
示意图
子主题
相应的可以算出在(xoz)、(yoz)坐标面上的投影
子主题
应用例题
思路：连立方程消去（x,y,z）即可。对于z,要先求出z,然后再将z代入到1式或者2式中，即可。
距离的计算
点到点的距离
点到平面的距离
子主题
平行平面之间的距离
思路，先在平面1上找一点（不妨设，x=0,y=0,计算z） 即可得出这点，再计算该点到平面2的距离=abs(D2 - D1)/sqrt(A**2 + B**2 + C**2)
点到空间直线的距离
方法一：求过点并与直线垂直的平面方程【方程的法向量与直线的方向向量相同】。连立三个方程，求垂足的坐标，再用距离公式
方法二：在空间直线上任意找一点M 在找一点N 与直线外一点P 连接成一个三角形
根据三角形公式 S = 1/2 * |MN| * |MP| * sin(θ) = 1/2 * |MN| * d
根据向量积公式 s X MP = |s| * |MP| * sin(θ) s是直线l的方向向量。
由以上两个方程可得出 d = |s X MP| / |s|
根据三角形公式 S = 1/2 * |MN| * |MP| * sin(θ) = 1/2 * |MN| * d
根据向量积公式 s X MP = |s| * |MP| * sin(θ) s是直线l的方向向量。
由以上两个方程可得出 d = |s X MP| / |s|
子主题
练习题
子主题
异面直线之间的距离
思路：
先导计算：判断异面直线是否共面，如果共面距离为0。如果不是，则开始计算。
第一步：现在直线L1上找一个方面计算的点P。创建一个过点P，方向向量是L2 的空间直线方程：L2'。
第二步：在L1上找一点便于计算的一点M，
第三步：计算点M 到直线L2' 的距离。点到空间直线的距离可参照上一条。
先导计算：判断异面直线是否共面，如果共面距离为0。如果不是，则开始计算。
第一步：现在直线L1上找一个方面计算的点P。创建一个过点P，方向向量是L2 的空间直线方程：L2'。
第二步：在L1上找一点便于计算的一点M，
第三步：计算点M 到直线L2' 的距离。点到空间直线的距离可参照上一条。
子主题
曲面方程
球面方程
例：球心在M（X0,Y0,Z0）, 半径为R 的球面方程
思路：球面上任意一点到M的距离相等 则（X - X0）**2 + (Y - Y0)**2 + (Z-Z0)**2 = R**2
如果给方程，推出曲面的形状
子主题
球面方程的特点
子主题
旋转曲面
定义：
子主题
几种曲面方程的形式
球面方程 x² + y² + z² = R²
锥面方程 【yoz平面方程z = k*y】
z² = k² *(x² + y²)
上锥面方程 z = k * sqrt(x² + y²)
下锥面方程 z = - k * sqrt(x²+y²)
曲面方程【yoz平面方程z = k*y²】
z = k * (x² + y²)
双曲面方程【yoz平面方程 y²/a - z²/b = 1】
(x² + y²)/a - z²/b =1
柱面方程【yoz平面方程：y² + z² = R²
y² + z² = R²
柱面的说明
子主题
子主题
几种方程的推导
推导过程
推导过程：找M0（x0,y0,z0）和 M（x,y,z）之间的关系。
1、 假设在yoz坐标面上的曲线方程为F(y,z) = 0 ,假设曲线绕z轴旋转。
2、因为绕z轴 所以。z = z0
3、 M点到z轴（0,0,z）的距离。根据距离公式，可得。d1 = ±sqrt(x² + y²)
4、M到轴距离和M0到z轴距离相等。M0到z轴距离为：d2 = y0 = d1 =±sqrt(x² + y²)
5、M0点符合方程，F(Y0,Z0) = 0 .将Y0 和 Z0的值，代入该方程。即可得到：
F(±sqrt(x² + y²), z) = 0
1、 假设在yoz坐标面上的曲线方程为F(y,z) = 0 ,假设曲线绕z轴旋转。
2、因为绕z轴 所以。z = z0
3、 M点到z轴（0,0,z）的距离。根据距离公式，可得。d1 = ±sqrt(x² + y²)
4、M到轴距离和M0到z轴距离相等。M0到z轴距离为：d2 = y0 = d1 =±sqrt(x² + y²)
5、M0点符合方程，F(Y0,Z0) = 0 .将Y0 和 Z0的值，代入该方程。即可得到：
F(±sqrt(x² + y²), z) = 0
同理可推导出平面曲线绕其他轴旋转的曲面方程。
锥面方程
锥面的构成：顶点、准线【由空间曲线方程确定】、母线（顶点到准线上任意一点的连线）所围成的锥面
锥面方程的求解思路：假定绕Z轴旋转。已知母线方程 F(x,y,z） = 0。顶点坐标P（a,b,c）
在准线上任取一点 M（x0,y0,z0）在对应的锥面上取N（x,y,z）寻找x0,y0,z0 和 x,y,z之间的关系。
根据PMN为共线关系。则有：X-a/X0-a = Y-b/Y0 - b = Z-c/Z0-c 的关系。
连立：z = z0, F(X0,Y0,Z) = 0 和上面的方程，即可就得 xyz的方程。
在准线上任取一点 M（x0,y0,z0）在对应的锥面上取N（x,y,z）寻找x0,y0,z0 和 x,y,z之间的关系。
根据PMN为共线关系。则有：X-a/X0-a = Y-b/Y0 - b = Z-c/Z0-c 的关系。
连立：z = z0, F(X0,Y0,Z) = 0 和上面的方程，即可就得 xyz的方程。
备注：如果两个向量共线，则两个向量的向量积为0，可以得出，a1/a2 = b1/b2 = c1/c2
应用例题：
子主题
柱面方程
子主题
复杂的旋转曲面的方程
- 思路: 找（x0,y0,z0）和 （x,y,z）之间的关系
- 直线L上某一点(x0,y0,z0) 对应到旋转曲面上一点(x,y,z)
- 已知L绕z轴旋转，所以两点距离z轴的距离是相等的。根据距离公式可得 sqrt(x0² + y0²) = sqrt(x² + y²) 记方程1
- 只要求x0、y0、z0 和x、y, z的关系就可以了。
- 已知：z=z0 又 z0在直线l上，故满足方程 y0= (z0-1)/2 ==> y0 = (z -1)/2 x0 = 1 记方程2
- 将x0 和 y0 的值 代入方程1 两面同时平方得。 1 + （z-1）²/4 = x² + y²
二次曲面：三元二次方程围成的曲面
椭球面
分别沿着平行于x/y/z平面的界面都是椭圆。
抛物面、马鞍面
沿着x/y截，是抛物面，沿着z截是椭圆面。马鞍面，沿着xy是抛物面，沿着x是双曲面。
单叶双曲面
双叶双曲面
子主题
曲线方程
思路：两个曲面的交线构成了空间曲线方程
一般方程
与空间直线由两个平面相交得到的一样，空间曲线有两个曲面相交得到。
参数方程
参数方程，可通过通分化简得出。
例如
子主题
空间曲线在坐标面上的投影
方法：
1、在某个坐标面上的投影，消去与坐标面垂直的坐标参数即可。
2、如 xoy平面 则消去z
3、消去后，图形反应的实际是与xoy平面平行的投影柱面方程。
4、严谨角度，方程中需要让 z = 0
1、在某个坐标面上的投影，消去与坐标面垂直的坐标参数即可。
2、如 xoy平面 则消去z
3、消去后，图形反应的实际是与xoy平面平行的投影柱面方程。
4、严谨角度，方程中需要让 z = 0
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
多元函数微分
复习
子主题
二元函数的极限与连续性
二元函数极限的定义
子主题
二元函数极限的计算方法
子主题
二元函数连续的判定
判定思路：反向思路，看能不能找出不同的点趋于该点的极限值不同，则该点不连续
应用例题
二重极限与二次极限
二次极限
二重极限与二次极限的关系
二次极限是先固定y,x向x0逼近。再固定x,y向y0逼近。从方向上，二次极限的逼近是在直线上的。
二重极限是xy同时向（x0,y0）逼近。二重极限是所有方向上的。
关系
二重极限存在，二次极限也存在，那么三者的值必定相等
二重极限存在，其中一个二次极限也存在，其值必相等
若两个二次极限存在但不相等，二重极限必不存在。
板书
子主题
应用例题
子主题
偏导数
偏导数的定义
子主题
高阶偏导数
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
全微分
全微分的概念
判断是否可微，可以通过定义判断上面的极限是否为0，如果不为零，则不可微
在（x0,y0）处是否可微的判断
子主题
应用例题
应用例题一
子主题
应用例题二
子主题
例题三：利用全微分的定义证明某一点是否可微
子主题
多元复合函数求微分
注意：偏导和导数的表示方法
应用例题
例题一
子主题
例题二
多元隐函数的求微分
一元隐函数存在定理
子主题
隐函数求导的三种方法：
- 复合函数法：xyz 求dz 可将z看成z(x,y)
- 全微分法：xyz各变量对等，分别求微分。的dx,dy,dz。得出dz = ____dx + ___dy 的表达式。
- 公式法：dy/dz = - F'z/F'y
复合隐函数方程组，可使用雅克比行列式求解
备注：求dz/dx
1、复合函数，遇到xz 则要认为是 x*z(x,y) = z(x,y) + x* z'x
1、复合函数，遇到xz 则要认为是 x*z(x,y) = z(x,y) + x* z'x
注：如果有四个变量（x,y,u,v），两个方程组F,G
第一步：通过连立方程组，可解得由两个自变量（x,y）和两个因变量(u,v)的方程组。即： u= u(x,y) v= v(x,y)
第二步：然后套用公式，先求J。第一行为F,第二行为G。第一列为因变量u，第二列为因变量v组合，分别对uv,求偏导，代入行列式。
第三步：如果求，du/dx 的偏导数。将J行列式的u列，全部变为x，求F和G对x的偏导，导入这个新行列式。再除以J，即可得出。”
第一步：通过连立方程组，可解得由两个自变量（x,y）和两个因变量(u,v)的方程组。即： u= u(x,y) v= v(x,y)
第二步：然后套用公式，先求J。第一行为F,第二行为G。第一列为因变量u，第二列为因变量v组合，分别对uv,求偏导，代入行列式。
第三步：如果求，du/dx 的偏导数。将J行列式的u列，全部变为x，求F和G对x的偏导，导入这个新行列式。再除以J，即可得出。”
例题
用全微分法同样也可以求出。
但是雅克比行列式求解要简单一点，特别是涉及多个变量求解是，使用雅克比行列式要方便许多。
但是雅克比行列式求解要简单一点，特别是涉及多个变量求解是，使用雅克比行列式要方便许多。
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
使用雅克比行列式比其他方法要容易。
例题四
迷惑点：求F(x，y)，y=y(x)的二阶导数需要注意，F-y-x 自变量和因变量的关系。F对x求导，
实际上包含了F-x,F-y-x 的过程。
实际上包含了F-x,F-y-x 的过程。
原理
方向导数
方向导数的概念：
- 一元函数求导，只会从一个方向逼近一点。
- 多元函数求导，会从多个方向逼近该点。
- 偏导数只是定义从特定的方向逼近该点（沿着x轴或者y轴方向）
- 方向导数的意义则更为普遍，定义是从任意方向逼近该点。
t*cosα 可以看成向量t在x轴上的投影。这样就可以将t*cosα 看成是Δx。 Δy 也一样
两个平面垂直：A1*A2 + B1*B2 + C1*C2 = 0
方向导数与偏导数的关系：方向导数是普遍描述。偏导只是方向导数的特例
子主题
梯度
方向导数 = 梯度 · 单位向量 = |梯度| * |单位向量| * cosθ 其中θ是梯度和单位向量间的夹角。
由此可以算方向导数的最大值和最小值。
由此可以算方向导数的最大值和最小值。
梯度
方向导数 = 梯度 · 单位向量 = |梯度| * |单位向量| * cosθ 其中θ是梯度和单位向量间的夹角。
由此可以算方向导数的最大值和最小值。
由此可以算方向导数的最大值和最小值。
方向导数 = 梯度 · 单位向量 = |梯度| * |单位向量| * cosθ 其中θ是梯度和单位向量间的夹角。
由此可以算方向导数的最大值和最小值。
由此可以算方向导数的最大值和最小值。
单位向量：{cosα，cosβ}的可参考向量章节中的方向夹角
梯度：在xoy平面上的向量。
方向导数 = 梯度 · 单位向量 的数量积。这个值=梯度的模 * 单位向量的模 * 两个向量的夹角θ的余弦
梯度：在xoy平面上的向量。
方向导数 = 梯度 · 单位向量 的数量积。这个值=梯度的模 * 单位向量的模 * 两个向量的夹角θ的余弦
其中 e 表示 向量OM的单位向量。
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
思路：
如果函数可微，可根据函数表达式，求出梯度，即：gradv = V'x * i + V'y * j + V'z * k
因为梯度本身就是一个向量。所以可以使用坐标表示 {V'x,V'y,V'z}
根据这个坐标可以计算出，这个向量的单位向量的坐标{V'x/A, V'y / A,V'z/A} 其中A=这个向量的模。
将这个单位向量代入方向导数方程。即可得梯度方向上的方向导数。
快捷思路：梯度方向的方向导数 = 梯度的模
如果函数可微，可根据函数表达式，求出梯度，即：gradv = V'x * i + V'y * j + V'z * k
因为梯度本身就是一个向量。所以可以使用坐标表示 {V'x,V'y,V'z}
根据这个坐标可以计算出，这个向量的单位向量的坐标{V'x/A, V'y / A,V'z/A} 其中A=这个向量的模。
将这个单位向量代入方向导数方程。即可得梯度方向上的方向导数。
快捷思路：梯度方向的方向导数 = 梯度的模
多元微分函数的几何应用
空间曲线的切线和法平面
子主题
曲面的切平面和法线
子主题
应用例题
例题一
例题二
子主题
例题三
子主题
例题四
子主题
多元函数的无条件极值点
一阶偏导等于0的点，
二阶偏导要判断B-AC的值。B = F'xy A= F'xx C=F'yy
==> B²-AC< 0 A>0 极小值
==> B²-AC < 0 A<0 极大值
==> B²-AC >0 无极值
==> B²-AC = 0 根据定义判断
二阶偏导要判断B-AC的值。B = F'xy A= F'xx C=F'yy
==> B²-AC< 0 A>0 极小值
==> B²-AC < 0 A<0 极大值
==> B²-AC >0 无极值
==> B²-AC = 0 根据定义判断
子主题
应用例题
例题1
子主题
例题2
子主题
多元函数的条件极值点
无条件极值通过判断一阶偏导和二阶导数的特定关系来判断
子主题
条件极值的极值判断，需要满足某个条件
构造拉格朗日函数L（x,y,λ） = 原函数 + λ * 限制条件函数
L'x=0、L'y=0、L'λ=0。分别求出x,y,λ。
所以会得到限制条件函数上可能取得最值的点。
分别讨论这些点，比较，得出最值点和最值。
L'x=0、L'y=0、L'λ=0。分别求出x,y,λ。
所以会得到限制条件函数上可能取得最值的点。
分别讨论这些点，比较，得出最值点和最值。
应用例题
例题一
子主题
例题二
解题思路：
柱面和平面截成的椭圆，椭圆中心一定在旋转轴z上，所以xy=0,z≠0.代入方程 中心点为（0,0,1）
长半轴和短半轴的距离，实际上是中心点到椭圆方程的距离的最大值和最小值。f(xyz) = d
限定条件为 椭圆方程组的两个方程 。
利用拉格朗日乘数法构建方程组。
由两个限定条件 L(x,y,z,λ1,λ2) = d + λ1 * 条件函数一 + λ2 * 条件函数二
柱面和平面截成的椭圆，椭圆中心一定在旋转轴z上，所以xy=0,z≠0.代入方程 中心点为（0,0,1）
长半轴和短半轴的距离，实际上是中心点到椭圆方程的距离的最大值和最小值。f(xyz) = d
限定条件为 椭圆方程组的两个方程 。
利用拉格朗日乘数法构建方程组。
由两个限定条件 L(x,y,z,λ1,λ2) = d + λ1 * 条件函数一 + λ2 * 条件函数二
例题三
思路：注意切向量的求法。
二元函数的泰勒展开
一元函数的泰勒展开式
子主题
二元函数的泰勒公式
简单展开
子主题
一般展开
每一阶的展开
一阶
通用表达式：一阶
二阶
通用表达式：二阶
三阶
通用表达式：三阶
总结
满足杨辉三角的关系
也可以使用通用表达式
子主题
二元函数泰勒公式展开的误差估计
思路：
一元泰勒展开式的误差估计——利用泰勒中值定理，将余项的高阶无穷小，转换成为一个确定的数。通过这个数来估计误差。
二元泰勒展开式的误差估计与一元思路相同。
一元泰勒展开式的误差估计——利用泰勒中值定理，将余项的高阶无穷小，转换成为一个确定的数。通过这个数来估计误差。
二元泰勒展开式的误差估计与一元思路相同。
二元函数的麦克劳林展开式
子主题
用一元函数的泰勒展开式推导二元函数的泰勒展开
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
二重积分
二重积分的概念和性质
思路：有一块区域，面积为D,在这块区域上任意一点的密度，满足函数ρ（x,y）。
如果不计这块面积的厚度，计算这块区域薄片的重量。
如果不计这块面积的厚度，计算这块区域薄片的重量。
分割：先将这一块区域，分割成n 个小区域。每个小区域的面积为Δδ1，Δδ2……Δδn
近似【重点理解】：在每一块小区域上任意选一点（xi,yi）,假定这一块小区域的平均密度=ρ（xi,yi）
求和：那么可以计算第i块小区域的质量为= ρ（xi,yi）* Δδi。将这些小区域的质量加起来，就可以得出这一块区域D的近似质量
取极限：假设d为小区域Δδi中任意两点的最大距离。当取d趋于0时，上面求和的极限
即为重积分
板书
子主题
类似的思路曲顶柱体的体积
得出一些性质
子主题
二重积分的一些性质
子主题
应用例题
例题一
底面积区域面积相同，所以，要比较这个柱体的体积，只需要比较这两个柱体柱顶的高度。
只要比较两个被积函数的大小关系即可。
只要比较两个被积函数的大小关系即可。
二重积分的计算——直角坐标系下的方法
对二重积分定义的理解和转换
子主题
方法一：D区域，先确定x的范围【a≤x≤b】，再根据x确定y【使用穿针法】
子主题
方法二：D区域，先确定y的范围，再根据y确定x
子主题
应用例题：
例题一：合理选择不同穿针方式，节省计算量
子主题
例题二：穿针方式不合理，可能会出现无法计算的情况
子主题
例题三：转换穿针方式的计算
子主题
二重积分的计算——极坐标系下的方法
同样使用穿针法，不同的是穿针所碰到的积分上下限要用极坐标表示
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
例题四
子主题
二重积分的对称性问题
关注：积分区域的对称性和被积函数的对称性
可以通过直角坐标系计算二重积分来推断出对称关系
关于y=x 对称。技巧是 y与x互换。
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
例题四
子主题
例题五
子主题
例题六
子主题
二重积分的几何应用
求平面图形的面积
子主题
空间曲面的面积
立体体积
计算思路
找投影 D
找被积函数
体积 f(x,y)
曲面的表面积
求二重积分
例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
三重积分的计算
三重积分的运算性质
运算性质
子主题
直角坐标系下的方法
方法一：先定积分后二重积分
子主题
方法二：先二重积分再定积分
子主题
应用例题
例题一
子主题
截面的面积如何计算？
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
柱坐标的计算方法
同直角坐标系的穿针法，不同的是，投影的计算使用极坐标。
子主题
例题的比较
柱坐标
直角坐标
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
另外两种解法
子主题
使用截面法，也可以方便的得出结果
球坐标计算方法
将（x,y,z）转换成
z = r * cosφ
x = r * sinφ * cosθ
y = r * sinφ * sinθ
z = r * cosφ
x = r * sinφ * cosθ
y = r * sinφ * sinθ
投影法确定θ的范围
子主题
计算思路：
使用投影法，确定投影到xoy平面上的θ角度的变化范围
固定θ角。确定与z轴夹角的范围。
从原点发出射线，穿过积分区域，确定传入下限r1（φ，θ）和上限r2(φ，θ)
使用投影法，确定投影到xoy平面上的θ角度的变化范围
固定θ角。确定与z轴夹角的范围。
从原点发出射线，穿过积分区域，确定传入下限r1（φ，θ）和上限r2(φ，θ)
例题
子主题
应用例题
例题一
子主题
直角坐标系解题方法
柱坐标解题方法
三重积分的对称性
投影面的对称
轮换对称性
轮换对称性
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
利用对称性和球坐标
其他解题思路
柱坐标
直角坐标
三重积分的换元法
雅克比行列式的应用
广义二重积分换元
广义三重积分换元
三重积分换元的雅克比行列式
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
例题四
子主题
三重积分的几何应用
求体积
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
多重积分的中值定理
回忆定积分的估值定理，中值定理
多重积分的估值定理和中值定理
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
第一型曲线和曲面积分
第一型曲线积分
概念和性质
子主题
关于第一型曲线积分
定义
根据定积分的定义，可得出第一型曲线积分表达式
ds 表示弧长。【参数表示】
带入原式
如果曲线是二维平面的曲线，y = y(x) 则也可以表示成
以x为参变量，也可以以y为参变量。可以方便的讨论曲线积分的对称性
如何计算
子主题
参考例题
子主题
曲线积分的对称性
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
第一型曲面积分
概念和性质
子主题
第一型曲面积分的推导
△Si 如何求？
△Si * cosθ =△x * △y
根据dSi在xoy平面上的投影，可得出△Si = △x * △y / cosθ
根据dSi在xoy平面上的投影，可得出△Si = △x * △y / cosθ
则有
cosθ 可由 z轴的向量{0,0,1} 和 曲面的梯度{Zx',Zy',1} 两个向量得出。
代入可得
R表示曲面投影在xoy坐标面上的投影区域。也是二重积分的积分区域
这样就可以把曲面积分，转换为二重积分求解。
对称性
- 如果曲面关于xoy左边面对称，曲面积分 = 2 * ∫∫ [ f(x,y,z) + f(x,y,-z)]dS 。
- 如果f(x,y,z)关于z为奇函数，则 f(x,y,z) = - f(x,y,-z)
- 则曲面积分 I = 0
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
上半球曲面关于 xoz 和 yoz 面对称。
xoz面对称 ，关于y是奇函数，曲面积分1=0
yoz面对称，关于x是奇函数，曲面积分2 = 0
xoz面对称 ，关于y是奇函数，曲面积分1=0
yoz面对称，关于x是奇函数，曲面积分2 = 0
例题四
子主题
第二型曲线和曲面积分
第二型曲线积分
概念和计算
子主题
例题
子主题
第二型曲线积分和第一型曲线积分的关系
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
第二型曲面积分
第二型曲面积分的定义
子主题
第二型曲面积分的性质
子主题
第二型曲面积分的计算方法一
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系
子主题
子主题
第二型曲面积分计算的第二种方法
子主题
例题
例题一
子主题
例题二
思路：
- 利用以上关系，将被积函数中多个投影面，转换到同一个投影面计算。
- 最终转换为二重积分计算
- 例如，将dxdz-->dxdy ,dydz-->dxdy
- 求，dxdy就可以了。
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式
前置知识
向量场
向量场
环量面密度
概念引入：微小矩形的做功的计算
j假定这个小矩形的边长分别为2a、2b
W1 + W2 + W3 + W4
[W1 + W3] = [P(x,y-b) - P(x,y+b)]2a
根据偏导的定义：
环量面密度
那么对整个区域积分
环量面密度的表示
旋度的概念
对于一个空间中的点，考虑平行于三个坐标平面的环量面密度：
旋度
旋度的表示
计算方法
散度的概念
梯度、散度、旋度的概念
散度的推导，见高斯公式的推导
格林公式：将曲线积分L与面积积分D联系到了一起
公式如何推导
计算一个点在一个圆环路径上做的功
对向量进行化简
一种假设：在L围城区域内做的功 = 沿着L做的功是相等的。
沿着路径的做功情况
分成九个小区域，做功与沿路径做功的结果是一样的
所以可以推出：任意的路径边界上的功，等于路径围成的区域内的所有微分矩形（矩形也符合“以直代曲”的微积分思想）的边界上的功之和
微小矩形的做功的计算
j假定这个小矩形的边长分别为2a、2b
W1 + W2 + W3 + W4
[W1 + W3] = [P(x,y-b) - P(x,y+b)]2a
根据偏导的定义：
子主题
那么对整个区域积分
将所有的小矩形相加即可得公式
描述
子主题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
例题四
子主题
高斯公式：将面积积分Σ与体积积分Ω联系到了一起
公式如何推导
场景
有一个装满水的封闭游泳池，底部有个水龙头不断往这个装满水的水池中注水
则：每秒钟，从加水孔流入的水的体积，一定等于每秒钟从顶部溢出去的水的体积。
则：每秒钟，从加水孔流入的水的体积，一定等于每秒钟从顶部溢出去的水的体积。
① 表示把游泳池分成无数个无限小的区域，每个区域向外释放出的水的体积。
② 是一个体积分，对象为 Ω ，即整个游泳池，表示的意义就是把泳池中无数个无限小的区域向外释放的水的体积给全部加起来。
等式左边代表的是泳池内部总的进水量。
③ 是一个封闭曲面积分，对象为 [公式] ，即泳池的六个边界。表示的物理意义是，泳池通过边界向外泄露的水量。
泳池内部总的进水量 = 泳池通过边界向外泄露的水量
② 是一个体积分，对象为 Ω ，即整个游泳池，表示的意义就是把泳池中无数个无限小的区域向外释放的水的体积给全部加起来。
等式左边代表的是泳池内部总的进水量。
③ 是一个封闭曲面积分，对象为 [公式] ，即泳池的六个边界。表示的物理意义是，泳池通过边界向外泄露的水量。
泳池内部总的进水量 = 泳池通过边界向外泄露的水量
③式的推导
左边公式的推导：体积积分。将泳池划分成无数个微小的小立方体。计算单位时间体积的变化率。
以X分量为例。
X分量上的速度 U 在x轴方向上做偏导，可得到X分量上速度的变化率
算得速度
速度 * 时间，可得出 X 边长的变化率
加上原来的小正方体边长的长度，两外两根方向计算方式一样
则体积在t时间内的变化
体积的变化率为
单位时间的体积变化率为，
当△t -->0 时，这表示单位时间微小体积单元流量的变化率。
散度的概念
梯度、散度、旋度的概念
使用体积积分即可得，单位时间内泳池流出的水量
③式的推导
二维通量的计算
水的流速为U，单位时间内通过截面积S的体积为 U * S
微分形式：U * dS
水的流速为U，单位时间内通过截面积S的体积为 U * S
微分形式：U * dS
三维通量的计算：水在XYZ三个方向上都有流速，
对应的分量分别为 U、V、W。根据向量数量积的计算。
则三维流量 = XYZ三个方向上流量的分量UVW 和三个方向上对应的面积的分量
利用微分的思想
对应的分量分别为 U、V、W。根据向量数量积的计算。
则三维流量 = XYZ三个方向上流量的分量UVW 和三个方向上对应的面积的分量
利用微分的思想
- X方向上 U * dydz
- Y方向上 V * dxdz
- Z方向上 W * dxdy
速度三个分量和三个方向的面积 既是单位时间的通过三维空间的流量
积分后，便可以得到通过边界Σ的总流量
描述
子主题
应用例题
例题一
- 原题也可以用第二型曲面积分进行化简，成投影面的二重积分计算，但是计算量较大。
- 如果使用高斯公式，则瞬间秒杀
- 计算三重积分是需要注意，积分区域和被积函数是两回事，不能直接带入化简
例题二
子主题
例题三
高斯公式的核心体积的通量等于所有面通量的和。如果不是封闭的空间，则会少一个面，计算不准确。
此时如果想用高斯公式，则需要将少的那一个面加上去，然后再带入高斯公式
此时如果想用高斯公式，则需要将少的那一个面加上去，然后再带入高斯公式
斯托克斯公式：；格林公式的拓展，将一个曲面的做功，分别投影到xoy,xoz,yoz面上
公式的推导
描述
子主题
应用例题
子主题
梯度、散度、旋度
图所示：【梯度算子】计算梯度、散度、旋度的基本算子
图所示：【梯度算子】计算梯度、散度、旋度的基本算子
描述
子主题
梯度、散度、旋度和向量场、梯度算子的关系
向量场
梯度算子
梯度gradient = 梯度算子 * f(x,y,z)
梯度算子与向量场的数量积【点乘法】 = 散度
梯度算计与向量场的向量积【叉乘】 = 旋度
应用例题
例题一
子主题
级数
常数项级数
常数级数的基本概念
注意区分基本概念：Un Sn
Un 是一般项
Sn 是有限个[n]一般项的和
级数：无限个一般项Un相加
如果Sn 的极限存在，则级数收敛。
如果极限不存在，则该级数发散
Un 是一般项
Sn 是有限个[n]一般项的和
级数：无限个一般项Un相加
如果Sn 的极限存在，则级数收敛。
如果极限不存在，则该级数发散
级数
级数的余项
常数项级数的性质
- 级数A 收敛，则 k * 级数A 也收敛
- 级数A收敛，级数B收敛，则 级数A + 级数B 也收敛
- 级数A收敛 ，级数B发散，则 级数A + 级数B 一定是发散的
- 级数A发散、级数B发散，则级数A + 级数B 敛散性未知
子主题
- 如果 级数收敛，则该级数常数项 Un 当n趋于正无穷时，Un 极限一定为0
- 如果 极限不为0 ，则级数发散
- 逆命题不成立-----当Un的极限为0时，不能推出级数收敛！！！！！
关于括号敛散性的探讨
如果级数收敛，一般项任意加括号后，形成的新技术，其敛散性并不会发生改变
但是，反之不成立，加括号后，新的级数如果收敛，原级数并不一定收敛
判断敛散性的常用思路
判断Sn的极限是否存在
调和级数
等比级数。判断等比q的值，如果绝对值小于1，收敛。大于等于1，发散
比较两个部分和极限存在是否相等
子主题
减少有限项，增加有限项，改变有限项，新级数的敛散性不发生改变
例题
子主题
子主题
子主题
柯西收敛准则
子主题
数列极限收敛的理解
子主题
任意指定一个ε，相当于做了一套夹板
总能找到一个N，使数列后所有项的值都落在夹板之间。
如果夹板变窄，还是能找到N，使得其后所有的数列全在夹板内
不管夹板有多窄，都能找到N
极限的概念
柯西收敛的理解
选择数列中的某一项，比如说 xN ，过xN作一根平行于横轴的直线，以 ε 为距离，上面各作一根平行于横轴的线
如果xN后的数列的振幅，不会超过夹板
不断让夹板变窄，还是会找到新的xN项，使得后面所有项的振幅，在新的夹板范围内
继续变窄，还是能找到xN，使后面的振幅仍在夹板范围内，则该数列收敛
柯西收敛定理
例题
极限收敛的例题
例题一
子主题
柯西收敛的例题
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
正项级数
正向级数的概念和性质
子主题
正项级数敛散性的判别方法
通过两个级数进行比较判别法
条件，可以拿敛散性未知的级数与敛散性已知的级数进行比较。比如调和级数和等比级数
- 大级数如果收敛，则比大级数小的级数一定收敛
- 如果小级数发散，则比该级数大的级数一定发散
An/Bn 的极限值如果趋于0，则An比Bn小。大Bn都收敛了，比Bn小的An自然收敛
An/Bn的极限值如果趋于∞，则An比Bn大，小Bn都发散了，比Bn大的An自然发散
An/Bn的极限值如果趋于∞，则An比Bn大，小Bn都发散了，比Bn大的An自然发散
使用等比级数和p级数的特性判断
p级数是发散级数，如果某个级数的一般项与p 级数的一般项，比值取极限 Un / (1/n) ，
如果极限值等于∞，则Un 与 级数1/n比，是大级数。1/n 是发散级数，则Un一定是发散级数
如果极限值等于∞，则Un 与 级数1/n比，是大级数。1/n 是发散级数，则Un一定是发散级数
一般项*n 的极限如果是 ∞，则Un 一定发散
原理：Un 和调和级数的关系，Un比调和级数（1/n）大，Un / (1/n)的极限为无穷大
1/n 是已知的发散级数，比Un小的级数都发散了，大的Un级数肯定发散
Un一般项与等比级数一般项 (1/n)**p ,取极限，
如果极限值等于0，则Un级数比等比级数小，
如果等比级数收敛，
则Un级数一定收敛。
如果极限值等于0，则Un级数比等比级数小，
如果等比级数收敛，
则Un级数一定收敛。
一般项 * n的p次方，如果极限为0，则Un 一定收敛
原理：Un 和 等比级数 1/n**p 比较，如果极限为0， 则说明，Un比 等比级数 1/n**p 还要小。
已知等比级数收敛，Un 比等比级数还要小，则 Un 一定收敛
级数一般项的判别方法
一般项的判别方法 An+1 / An 的极限值
一般项后项与前项的比值，
- 趋于无穷如果大于1，说明一般项的振幅是越来越大的，所以级数发散，
- 趋于无穷如果小于1，说明一般项的振幅是越来越小的，所以级数收敛。
一般项开n次方的极限值
一般项开n次方后，如果小于1，则一般项会越来越小，级数收敛
一般项开n次方后，如果大于1，则一般项会越来越大，级数发散
一般项开n次方后，如果大于1，则一般项会越来越大，级数发散
描述
子主题
证明
ρ <1 的情况
ρ > 1的情况
ρ = 1 的情况
习题
子主题
柯西积分判别法
如果某级数一般项符合f(x)，则f(x)的广义积分与级数有相同的敛散性
应用例题
例题一：正项级数敛散性和部分和数列有界性质的关系
子主题
例题二：出现阶乘敛散性判断的常用套路【比值判别Un+1 / Un】【比较判别】
子主题
例题三：常见级数敛散性的判别
子主题
例题四
子主题
例题五：柯西积分判别法的应用
子主题
任意项级数
绝对收敛与条件收敛
注意：比值和根值判断
- 一般项的绝对值，通过比值判别法是发散的，说明数列越往后一般项绝对值的振幅是变大的。
所以也可以得出，原级数的振幅也是变大的，所以原级数也是发散的。 - 一般项的绝对值，如果不是由比值判别法或者根式判别法，判断的敛散性，则不能判别原级数的敛散性。
因为可以通过变换项，原级数也有可能收敛。
绝对收敛。一般项绝对值是 公比为1/2等比数列，q <1 所以|Un|收敛。
条件收敛，原级数 = ln2 是收敛的。但是一般项的绝对值，是调和级数，调和级数是发散的。
Un+Vn 收敛关系：
Un 绝对收敛
Vn 绝对收敛
Un ± Vn 绝对收敛
Un 条件收敛
Vn 绝对收敛
Un ± Vn 条件收敛
Un 条件收敛
Vn条件收敛
Un ± Vn 收敛，但无法判断是条件收敛还是绝对收敛
|Un| 和 Un 的关系
|Un| 收敛 Un 一定收敛
|Un| 全部是正向都收敛，Un 含有负向，肯定收敛
|Un| 发散 Un 可能收敛
如果Un收敛【可能会出现正负抵消的情况。如ln2 的展开。】
条件收敛
如果Un 发散，则发散
Un 收敛 |Un| 不一定收敛
原因同上，Un 可能出现正负抵消的情况
Un 发散 |Un| 一定发散
Un 含有负向都发散，|Un| 全都是正向，肯定发散
交错级数莱布尼茨判别法
交错级数【去掉-1的n次方后】一般项单调减，且趋于0，则交错级数一定收敛。
根据以上三个条件判断交错级数是否收敛。
如果满足以上条件，则说明交错级数收敛【等同于|Un|收敛，需继续判断Un的敛散性】
如果Un 收敛
绝对收敛
莱布尼茨判别收敛，去掉-号后，一般项序列也收敛，所以该级数为绝对收敛
如果Un 发散
条件收敛
莱布尼茨判别，该级数收敛，但去掉-号后An是调和级数，是发散的。所以该级数为条件级数
如果不满足以上条件，并不能说明级数发散
交错级数的几何意义
S1 = a1
S2 = a1 - a2
S2 = a1 - a2
S3 = a1 - a2 + a3
S4 = a1 - a2 + a3 - a4
S4 = a1 - a2 + a3 - a4
会发现两边的箭头越来越往极限S逼近
应用例题
例题一
例题一
子主题
例题二
子主题
练习题
子主题
答案
子主题
子主题
子主题
子主题
子主题
例题三
子主题
函数项级数
函数项级数的概念
定义在区间I的函数数列
这些数列的和，称为函数项级数
如果 x 的值确定，则函数项级数就变成了常数项级数
收敛点和发散点
所有的收敛点，构成了收敛域，所有的发散点，构成了发散域
和函数，x在收敛域内，所有函数的和。
例如，x取具体值的时候，就是常数项等比级数，|x| < 1时，这些等比级数都是收敛的。
|x| ≥ 1 是发散的
所以，以上函数项级数的和函数为
一致收敛性
思考：
函数项级数的一般项 函数Un(x) 连续 ，且函数项级数收敛。
那么？ 和函数是否连续？
不能说明！！！！
函数项级数的一般项 函数Un(x) 连续 ，且函数项级数收敛。
那么？ 和函数是否连续？
不能说明！！！！
一致收敛准则
很明显，该函数项数列的收敛依赖于X值的范围
柯西一致性收敛准则：收敛与x的取值无关，与函数的规则有关。
在某一种函数规则下，不管x取什么样的值，任意指定一个ε，总能找到一个N，当n > N 时，
后面所有项的振幅在±ε 范围内。
在某一种函数规则下，不管x取什么样的值，任意指定一个ε，总能找到一个N，当n > N 时，
后面所有项的振幅在±ε 范围内。
M判别法，能不能找到一个数列M，函数项级数中所有项都小于对应位置的Mn，
如果这个Mn 正项级数收敛，在函数项级数在I区间上也收敛
如果这个Mn 正项级数收敛，在函数项级数在I区间上也收敛
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三：M判别法
子主题
幂级数
形式如上，中心点在0点的带有幂次规律的函数项级数
中心点在a点的幂级数
阿贝尔第一定理
子主题
阿贝尔第一定理的理解
阿贝尔第一定理：X取一值x0（x0不能为0），代入幂级数，则会生成一个常数项级数，如果这个常数项级数收敛，
则可以推出，以0为中心，半径为 |x0| 做一个夹板，如果x取值在这个夹板内，生成的幂级数都收敛
则可以推出，以0为中心，半径为 |x0| 做一个夹板，如果x取值在这个夹板内，生成的幂级数都收敛
中心点在a的情况，以a为中心，半径为|x0-a|的夹板
阿贝尔第二定理
如果给x指定一个值，如果这个值R，生成的常数项级数收敛，则可以保证的，R半径内所有的幂级数收敛，
但是不包括另一个端点 -R。
如果给定一个收敛半径，则两个端点的收敛情况则需要拎出来单独讨论
但是不包括另一个端点 -R。
如果给定一个收敛半径，则两个端点的收敛情况则需要拎出来单独讨论
两个极端情况，
- 所有点都收敛
- 只有一个点收敛
幂级数收敛半径的计算
幂级数不缺项的情况
使用比值审敛法，判断幂级数的敛散性，找出敛散性与x取值的关系
比值审敛法，前项/后项 可得
取极限
ρ≠0时，当满足 ρ|x| < 1 时，幂级数的绝对级数收敛
则幂级数一定收敛
则x需满足
如果ρ = 0，除 x ≠ 0 外的所有值，幂级数都收敛
x = ∞
如果ρ = ∞
幂级数的绝对值级数，发散
幂级数发散
x = 0
如果使用比值审敛法，不容易找出敛散性与x的关系，可尝试使用根式判别法
如果不是标准幂级数，可回归定义
应用例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
例题四
子主题
和函数
描述：将幂级数转换成初等函数的方法
- 如果幂级数的一般项只有x，没有n，则可以通过等比数列求和计算
- 如果幂级数的一般项有x 和 n , 可以通过逐项积分和逐项求导的方法，消去n，消去n后，x可以用等比级数算出
逐项积分和逐项求导的性质
计算方法：
常见幂级数求和函数的套路
n 在分子上，逐项积分
出现n(n-1) 考虑二阶导数
n在分母上，逐项求导，根据求得的已知导数，根据牛顿莱布尼茨公式，再反推原函数。
例题
例题一
子主题
例题二
子主题
例题三
子主题
初等函数的幂级数展开
子主题
傅里叶级数
线性代数
导入：线性方程组
如何求Sn：
寻找关系
构造函数关系
构造f(n)函数
求a、b、c
子主题
联立方程组
子主题
分别求出a,b,c即可
同样的方法可以求出
相同的方法得到如下方程组
线性方程组的同解变形
例题【插值问题】
方程组化简
同解变形的方式
两行互换位置
一行乘以非零常数λ
某一行乘以非零常数k，加到另一行
矩阵消元法就可以很方便得出方程组的解
子主题
如何判断方程组解的情况
空间平面方程的理解：x+2y+3z=4
解x,然后用向量表示
理解：先找到{4,0,0}这个向量，这个向量分别加上y*{-2,1,0}，z*{-3,0,1}两个向量
B、C向量分别延伸任意y倍和z倍，得到的结果，都是方程的解。
这个解的特点，都会在落在ABC三个向量所构成的平面中
空间直线方程组的理解，根据前面向量知识，可知这个直线是连个平面的交线
子主题
方程组的解分布在两个平面的交线上
一般线性方程的解情况
唯一解
子主题
高斯消元后，x1,x2,x3,x4 均受约束，只有唯一解
无穷解
子主题
消元后，出现了 0*x1 + 0*x2 + 0*x3 + 0*x4 = 0的情况，显然x1,x2,x3,x4 取任何值，等式均成立。方程有无穷解
无解
子主题
消元后，出现了，0*x1 + 0*x2 + 0*x3 + 0*x4 = 1 的情况，很显然，x1,x2,x3,x4取任何值，等式均不成立，方程无解
特殊的情况：齐次方程组
肯定有零解，主要探讨是否有非零解
如果 n>m 一定有非零解。【未知数比方程多】
向量
线性无关和线性相关
问题：线性方程组唯一解的条件是什么？
上一节：方程组系数的矩阵通过消元，u1,u2,u3 ≠0时。方程有唯一解
提取方程组的系数，得到以上向量方程。
根据上面的结论，该方程组有唯一解的条件是：不共面
三种颜色分别代表三个向量。很明显三个面不共面
注意：这是共面的条件，上面讨论方程唯一解的条件是不共面，即λ1=λ2=λ3=0【只有零解】
如果a1,a2,a3共面【λ1，λ2，λ3有非零解】，则要么有无穷解，要么无解
一般性讨论
是否有解？
判断系数向量是否共面，如果不共面【λ1，λ2，λ3，λ4】只能等于0，解以上方程组的唯一解 λ1=λ2=λ3=λ4=0
原方程组有解，且只有唯一解
证明
先证明方程组有解
子主题
再证明方程组有唯一解
子主题
一些基本概念
向量组
概念
RGB的例子
如 RGB
注意：向量组中每个向量的维度必须是一样的，不一样，不能称之为向量组
这个就不是向量组
这个就不是向量组
线性组合
概念
RGB的例子
如 颜色的混合：
海棠红是向量组RGB的线性组合
海棠红是向量组RGB的线性组合
零向量
任何同纬度向量组的线性组合。零向量能有任何同纬度向量组线性表示
线性无关
概念
例子
RGB中红色不能由绿色和蓝色混合
如 RGB，很明显，红色不可能由绿色和蓝色混合而得
无论k1,k2取何值，等式都不可能成立
下图中两个不同方向的向量
再比如平面坐标系中的两个向量
不管b怎么收缩放大，都不可能得到a
线性相关
向量组A中任意向量都可以由另外三个向量线性表示
此时红色，就可以用绿色、蓝色、海棠红来表示
平面坐标系中，如果两个向量共线，则一个向量可以由另一个向量线性表示，则向量组中两个向量线性相关
线性相关和线性无关的完整表述
线性相关和线性无关
存在不全为零的实数————线性相关
只有全为零的实数————线性无关
练习
线性无关，除0外，无论k取何值，kv1 ≠ 0
v1 = k v2 v3 = k * v4 看k值是否能求出
从图像可以轻易看出
线性相关
零向量可以由任意同维向量线性表示，所以向量组中有零向量，则向量组一定线性相关
子主题
答案A
最大线性无关组
概念
子主题
推导
思路：根据齐次方程组的相关性质
对应的有m个未知数，n个方程
方程组的个数n=向量的维度n。未知数的个数m=向量组中向量的个数。m > n 齐次方程组一定有非零解
那么n维向量组中最多有多少个向量，使得这些向量线性无关呢？
等于n的情况
向量个数和向量维度相等，刚好可以构造这样的向量，λ只有零解。
小于n的情况
可能线性无关
向量个数大于n的情况
肯定线性相关
下面海棠红的例子
性质
不唯一
子主题
只包含零向量的没有最大无关组
子主题
向量组中任意一个向量都可以用最大线性无关组线性表示
子主题
一些例子
以三维为例，最多三个三维向量才能线性无关
四个就线性相关了
最大线性无关组的算法
将向量组中所有向量按照行或者列构建矩阵，通过矩阵的初等变换成 阶梯矩阵，每个阶梯的第一个非零元素对应的向量，就构成了最大线性无关组
秩
某一个向量组S中最大线性无关组，向量的个数 记作 rankS
对一个矩阵来说，行向量组的秩称之为行秩，列向量组为列秩
子主题
如何计算A的行秩
思路：将A的各行向量，写成列向量，再通过初等行变换，得到转换后列的最大线性无关组，也就是原来A行的最大线性无关组，即，第1,2行。行秩为2
性质：任意矩阵的行秩和列秩相等
基
概念
基的概念
基的理解
如何在向量空间中给某个向量定位
所以需要对向量进行定位，得到该向量的坐标
问题：如何得到坐标？
所以需要指定一个基准
通过这个基准，向量空间中的任何向量都可以得到一个线性组合。
这个线性组合实际上就是基于基准的坐标。
一些例子
如平面直角坐标系
如平面直角坐标系中，坐标平面中任意一个向量都可以用向量组{（1,0）（1,0）}来确定
三维空间
三维空间中，任意向量a 可以由向量组{(1,0,0),(0,1,0).(0,0,1)}
扩展到n维
子主题
坐标的理解
坐标的概念
子主题
如何描述坐标
子主题
一些例子
同一种颜色在基为RGB和基为CMY的坐标
二维平面中的坐标
自然基下，基的下标可以不用标
基的一些性质
基并不唯一
可以是这样
也可以是这样
RGB是色彩空间的基，CMYK也是
基与坐标系
不同的基，构建了不同的坐标系，以二维坐标系为例。
特殊的基
自然基
二维的自然基，构建了直角坐标系
n维的自然基
零向量空间，没有基
子主题
向量空间
向量空间
一维、二维、三维空间
联想宇宙空间，所有的物质能量、运动都发生在这个空间内
向量空间必须满足两个条件
包含所有向量
向量组，这个空间里的向量的维度是一样的。
所有向量的运动，依然在该向量空间内
向量的加减法、数乘运算后的结果仍然在该空间内
严格定义
子主题
n维向量空间
子主题
特殊的向量空间
直线
二维平面
注意二维平面和平面的区别。上图所示，虽然是平面，但是是三维的
三维立方体
子空间
这些都是R³的子集。
记作
升维与降维
原三维向量组，如果线性无关 升维后的四维向量组依然线性无关
原向量组线性无关，升维后，除0外，无论k1,k2,k3取何值，红色部分无法全部为0
同理，原四维向量组线性相关，降维后的三维向量组依然线性相关
张成空间
概念
体会与向量空间的差异
向量空间：向量组中任意向量，无论如何变化【加减运算和数乘运算】结果依然在该空间中
张成空间：某向量组中所有向量的线性组合构成的集合。
这些线性组合的集合仍然是向量空间
张成空间是一种特殊的向量空间
向量的运动需符合一定的规则：线性相关
向量空间中的向量运动，则没哟具体要求
一些例子
这一组向量的张成空间
三维空间
示意图
思考 {(1,0,0),(0,1,0)}的张成空间。
三维空间中，xoy平面上两个向量（1,0,0）(0,1,0) 无线扩展构成的平面。
RGB 色彩空间
所有颜色都可以用RGB 线性表示
用RGB的线性表示
色彩空间：RGB向量组的张成
等价向量组
概念
两个向量组中的任意一个向量都可以有对方的向量组线性表示
一些例子
RGB 和 CMYK
RGB 和CMYK 可以互相转化
相互转换的公式
平面的两组向量
向量组{a,b} {c,d}
向量a 可以由{c,d} 线性表示，向量b也可以
向量c可以由{a,b}线性表示，向量d也可以
性质：
等价向量组的张成空间是相等的
证明
因为等价，则向量A中每个向量可以由向量b线性表示
将这些向量汇总，则有s1,s2,...sm 是任意实数
对 span(A)的讨论。
不知实数取何值，但根据张成空间的定义，span(A)只有两种情况
同理可得
子主题
所以：
子主题
A的张成空间既是span(B) 也是 span(A)，同理 B 的张成空间既是span(A)也是span(B)。
子主题
RGB 和 CMYK 的色彩空间是相等的
向量组等价具有传递性
证明
S1,S2是向量组S的两个最大线性无关组，那么S1,S2等价
向量的点积【数量积】
点积的概念
点积的结果，是一个具体的数【标量而非向量】
点积的思考
通过点积，可以知道向量的长度和两个向量的角度
与微积分中的向量数量积类似，在线性代数中，可以拓展至多维
计算方式||a|| 向量a的模。即向量a的长度。
注意1：有时向量a的模，也可以表示成|a|
线性代数中，便于和绝对值、行列式区别，可以用双竖线表示模
注意2：量个向量角度的计算，一定要在自然基下。
自然基的情况下
非自然基的情况下
点积的运算性质
子主题
正交
在自然基下，正交的意义是两个向量垂直
子主题
行列式
问题的导入
线性方程组有唯一解的条件：系数构成的向量不共面
子主题
也可以转换为：三维空间中三个从原点出发的向量，0A1,OA2,OA3 为棱所构成的平行六面体的体积问题
三个向量共面，则会变成二维平面，体积为0
三个向量不共面，这个体积一定不为0
问题就转换为，这三个向量的体积怎么计算的问题
为方便计算，可将问题简化为二元一次方程组的求解问题。
子主题
先解x
需要消去y
找到（b1,b2）的正交矩阵（b2,-b1）方程两边同点乘这个正交矩阵可得
正交矩阵点乘为0，消去y 可得
用几何的方式，还原该过程
消去y后，用向量表示
得到
转换到坐标系中
OA·OB' = |OA||OB'|cosα = |OA||OB|cos(π/2 - β) = |OA||OB|sinβ = 平行四边形的面积 = OA × OB 【向量积】
根据几何解释，来推导行列式的性质
行列式两列互换 行列式变号
有向面积的问题
行列式两列相等（λ=1）或两列成比例时，行列式等于0
向量共线的问题
行列式某一列成比例，可提取某一列公因子，多列成比例，可逐列提取公因子
向量的数乘
对角线行列式的值=对角线上所有数的乘积
对角线行列式的问题【单位正方形的面积】
行列式中一列的常数倍加减到另一列中，行列式的值不变
图形变换的问题1【平行四边形 OABP 变换为 平行四边形 OA1B1P后，面积不变】
行列式计算满足交换律
面积的变换问题2【平行四边形 OA1PB + 平行四边形A1PP1A1 = 平行四边形OAPB】
行列式的性质
行列式两列互换 行列式变号
行列式描述
几何描述：有向面积的问题
行列式两列相等（λ=1）或两列成比例时，行列式等于0
行列式描述
几何描述：向量共线的问题
行列式某一列成比例，可提取某一列公因子，多列成比例，可逐列提取公因子
行列式描述
几何描述：向量的数乘
对角线行列式的值=对角线上所有数的乘积
行列式描述
几何描述：对角线行列式的问题【单位正方形的面积】
单位正方形
行列式中一列的常数倍加减到另一列中，行列式的值不变
行列式描述
几何解释：图形变换的问题1【平行四边形 OABP 变换为 平行四边形 OA1B1P后，面积不变】
行列式计算满足交换律
行列式描述
面积的变换问题2【平行四边形 OA1PB + 平行四边形A1PP1A1 = 平行四边形OAPB】
行列式展开
二阶行列式展开推导过程
如图
同样的思路可以推导三阶行列式的展开
行列式展开的算法
子主题
推广至n阶行列式
锁定列标顺序，遍历行标的所有可能【全排列】。
并根据列的顺序，提取对应的行标。提取的行标组合成一组数，
计算这这一组数的逆序数。
并根据列的顺序，提取对应的行标。提取的行标组合成一组数，
计算这这一组数的逆序数。
行列式初等变换
常见的初等变换
根据行列式的性质，将其转换为上三角或下三角行列式
范德蒙行列式
范德蒙行列式的特点
用递归的思想解行列式
第一步：从x1开始，倒数第二行*(-x1) + 最后一行
重复以上步骤
根据拉普拉斯展开
逐列提取公因子
发现递推的规律。相同方法处理
继续处理
处理至最后一行
结果
使用连乘公式
例子
子主题
范德蒙行列式的应用
拉普拉斯展开【余子式和代数余子式】
以三阶行列式为例
根据第一列展开=第一列每个元素 与对应的代数余子式乘积 之和
n阶行列式
拉普拉斯展开，可以按行，也可以按列，技巧，找0元素最多的行或者列展开
很明显 按照第2列，展开最简单
如图
一个推论【以按行展开为例】：某一行元素与其他行的代数余子式相乘，行列式的值为0
原因：将该展开再逆向还原行列式，会出现相同的两行，根据行列式性质，两行相同，行列式为0
一个例子
观察行列式，找规律
出现了第三行与第一行的代数余子式乘积和。故等于0
行列式的应用
判断线性方程组是否有唯一解 |A| ≠0
求解方程组之克拉默法则
回顾二元一次方程组
方程组用向量表示
先求x 的值，方程组两边各乘上y系数矩阵b的正交矩阵
y消去得到
转换为行列式
得x的值
n组线性方程组的求解
方程组
提取系数行列式|A| |A|≠0 有唯一解
因为|A| ≠0 可以构建这样的等式
分子项展开
根据行列式性质，可以将x1作为系数带入第一列
根据行列式初等变换的性质，某一列乘以常数项加到另一列，行列式的值不变
a11x1+ a12x2 + ....+ a1nxn = b1
可得出x1的解
同样的方法可解出其他解
以4元一次方程为例
线性方程组的解集
问题的导入：未知数的个数 n 和 方程个数m的问题
一般情况：方程个数的增多，未知数的自由度会下降，解的范围会缩小
2个未知数【2维平面】，2个方程【2个直线方程】，有解的情况下，解的范围限制在两条直线的交点上
3个未知数【3维空间】，2个方程【2个三维平面】，有解的情况下，解的范围限制在了两个平面的的交线上了
特殊情况
方程的个数增多，未知数的自由度并未下降【方程组存在某个方程会被其他方程组线性表示的问题】
二维为例
该齐次方程组 第三个系数向量 可以由前面两个线性表示。第三个方程并未起到限制未知数的功能
引出的问题：线性方程组中有多少个方程是有效的？
思路：
- 在当前方程组中找到一个方程，如果这个方程能够被其他方程组线性表示，则这个方程就是无效的。
- 删掉这个方程，再从剩下的线性方程组中寻找，
- 如果还能够找到一个方程，能够被其他方程组线性表示，则继续删除这个方程
- 直至找不到为止。
引出了两个概念
此时提取方程组的系数向量，这些向量构成了——极大线性无关组
原向量组S【原线性方程组的向量组】,极大线性无关组M，中向量的个数——向量组S的秩【rank S】
也就是方程真正的个数
极大线性无关向量组
某个向量组S，最大线性无关组M的个数——秩
同一个向量组S，最大线性无关组可以有很多组
这些向量组的向量个数是一致的。【向量组S的秩是唯一的】
如何证明？
假定向量组S的两个最大线性无关组
用线性方程表示M_1
M_2 也属于向量组S，根据最大线性无关组的定义，向量组M_2里所有元素，都可以由向量组M_1 线性表示
再转化为线性方程组证明
引出的概念
最大线性无关组
子主题
几何解释
这个三维平面上有三个向量{u,v,w}张成
实际上只需要两个向量u、v就可以确定这个平面，可以将w去掉
那么 {u,v} 就称为该向量组的最大线性无关组
向量组的秩
子主题
最大线性无关组和向量组秩的算法
例：求该向量组的最大线性无关组和向量组的秩
方法：通过矩阵的初等变换
可得：u1,u2,u4是一组最大线性无关组。该向量组的秩为3
线性方程组的矩阵形式
线性方程组可以转换为向量形式
简化为
线性方程组解集的讨论
基本概念
矩阵
n维向量，n维向量空间
2维向量空间
3维向量空间
等价向量组和等价矩阵
初等行变换
通过案例分析
例子
系数矩阵
例子2
根据矩阵行变换，
齐次线性方程组
解
无解的情况
初等行变换
一般线性方程组的高斯消元法
思想
第一步：通过行变换，找一个首项系数非0，易于消去其他行的位于首行
第二步：通过第一行首项乘上相应的系数，消去其他行的首项
第三步：第二行的非零首项，乘以系数，消去剩下行的非零首项
特殊情况：
重复上面两步，直至，最后一列只有一个非零项。再用最后一列的非零项乘上某个系数，消去上一行的对应列的非零项。
特殊情况
继续往上
最终可得线性方程的解
归纳总结
高斯消元的目的，按照约定好的规则，将线性方程组的系数矩阵变换为阶梯形矩阵
这也是阶梯型矩阵
继续按照规则，往上消元，最后除以系数，可得行最简形矩阵【条件】：
- 非零行的先导元素为1
- 先导元素所在的列的其它元素均为0
通过消元后的讨论
无解！如果消元后的阶梯型矩阵，出现系数矩阵第r行全为0，常数项第r行后不为全为0的情形
系数矩阵阶梯型矩阵第r行后，全为0，第r行后的常数项不全为0,会出现
线性方程组无解
无穷多解：消元后的阶梯矩阵，出现系数矩阵第r行后，系数和常数项全为0。
前r个未知数，收到阶梯矩阵对应行的主元【非零】和常数项控制，不自由。—— 非独立未知数
后面的所有未知数，所在阶梯形矩阵所在行均为0，没有主元和常数项控制，自由——独立未知数。
通过代入，所有的非独立未知数可以由自由未知数线性表示
如：x1,x3 是非自由未知数，x_2,x_4 自由未知数。x_1和x_3 可以由x_2,x_4线性表示。
从而可以得出线性方程组的基础解系。也可以用解空间表示
解空间的维数 = 自由未知数的个数 = 未知数的个数 - 系数矩阵的秩
唯一解：消元后的阶梯矩阵，出现了对角矩阵【注意：一定要是方阵，即未知数和线性方程的个数是相等的。】
此时：通过消元，没有独立未知数，全部是非独立未知数，这些非独立未知数只受到常数项的影响
只需将系数矩阵变换成单位矩阵，即可得到方程组的解。且解唯一
只需将系数矩阵变换成单位矩阵，即可得到方程组的解。且解唯一
齐次线性方程组的解讨论
X：由n个未知数构成的一个向量。以及由所有这些向量构成的n维向量空间F
解释：以上面方程为例
系数矩阵A，以及系数矩阵A的秩 ：rankA = r
解释：以上面方程为例
系数矩阵A的几何意义
在数的世界中 看方程 ax =b
在向量的世界中的运算规则
在向量的世界中，看方程AX=B
已知B如何求X
矩阵视角
方程视角
几何视角
齐次方程组的解：由自由未知数决定的一组向量
如：x1,x3 是非自由未知数，x_2,x_4 自由未知数。x_1和x_3 可以由x_2,x_4线性表示。
这一组向量可以通过张成构成：解向量空间
很方便得知：齐次方程组的解向量在加减，数乘上封闭
以上面齐次方程为例，这一组向量是通解，x2,x4取任意值
假定：x2,x4分别取两组值(0,1)，(1,0)，则两组通解(-2,1,0,0),(5,0,-3,1)都可以使齐次方程组成立
两组解的和(3,1,-3,1) = (-2,1,0,0) + (5,0,-3,1)带入齐次方程组同样成立
将一组通解乘以2，得到（-4,2,0,0）依然成立
解向量空间的维数=未知数的个数 - rankA
易得知：解向量空间是由n个未知数构成的n维向量空间的子空间
例子：3个未知数构成的3维空间
rankA = 1
3-1 =2
解空间为一个空间平面（2维）。
是由两个自由向量【自由未知数】张成的平面
rankA = 2
3-2=1
解空间为一条空间直线（1维）
由一个自由向量【自由未知数】张成的直线
rankA =3
3-3 =0
解空间为一个点（0维）
即0向量
基础解系
选取解向量空间中的一组基——基础解系
作用：选一组齐次线性方程组的基础解系，逆推导出齐次线性方程组【求系数矩阵】
例子
某齐次线性方程组的基础解系
将基础解系带入齐次线性方程组
分别求系数向量
对上面的新的齐次方程组进行消元
则有
可知：ai3,ai4,ai5由自由未知数构成的自由向量，提取自然基。
代入上面方程组。可以得到。这样的向量组。这个向量组就是原齐次方程组系数矩阵
将系数矩阵代入齐次线性方程组可得到一组齐次线性方程组
非齐次线性方程组解的讨论
系数矩阵（coefficient matrix）和带有常数项的增广矩阵(augmented matrix)
判断非齐次线性方程组是否有解
系数矩阵的秩和增广矩阵的秩是否相等
讨论一个无解的例子，增广矩阵的秩为4，系数矩阵的秩为3
方程组的秩为4 ，意味着以上4个向量线性无关，所以方程组无解
解集的分析
将非齐次线性方程组用向量表示
如果通过前面判断，该方程组有解。假定向量η是该方程组的某一解。
将上面两个方程连立相减，非齐次线性方程的问题，就转化为齐次方程组的解问题
令
只需要求出齐次方程组的解，y就可以解出。
原方程的解：一组特解+对应齐次线性方程组的基础解系
非齐次线性方程组的解为：
η为非齐次方程组的一组特解。
Y 是齐次方程组的通解
也可以表示为：
其中解向量i的个数，看原齐次方程组自由未知数的个数。即：未知数的个数 - 系数矩阵的秩
解题方法：
对线性方程组消元
消元后可以设自由未知数全为0，可得到一组特解η
再求对应齐次线性方程组的基础解系Y
两者相加，就是非齐次线性方程组的解。
例题
子主题
消元
自由未知数为x_2,x_4，令其等于0，可得方程组一个特解η
对应齐次线性方程组的基础解系
两者相加可得通解为：
不分步骤，可直接得出，分别令自由未知数x_2=t_1, x_4=t_2
通解的几何意义
以三维为例
方程组的通解：
齐次方程组的解向量：原点-->A 张成的一条直线。
非齐次线性方程组的解：通过D点（特解η）与齐次方程组解向量平行的一条直线
非齐次线性方程组的解：通过D点（特解η）与齐次方程组解向量平行的一条直线
同理：如果方程组的解向量是2维的
则：齐次方程组的解是由这两个向量张成的二维平面
原方程的解，经过η点，与齐次方程组张成平面平行的一个二维平面
从线性方程组到线性空间
矩阵的代数运算
线性映射
思考一：数列 {1,2,3,4.....99,2020} 的通项公式怎么求？
之前的思路：构建多项式函数
多项式函数
判断线性方程组是否有唯一解。根据范德蒙行列式可知，有唯一解。
但是，计算量太大
新思路：根据数列规律，构造一个数列函数
构造函数
推导过程
引出一个概念：映射σ
映射：当知道一个通项公式，输入一个数列，根据这个通项公式【规则】就可以推导出另一个数列
容易推导一个特征
本质上σ就是一种映射规则，输入一个数列经过这个规则转换变成另一个数列。
补充：集合映射（mapping）的基本概念
基本概念
映射中的像和原像
还有一种常见的映射形式：AX=B
定义域和值域
定义域
值域
理解一：集合S1的所有元素经过规则转换后在S2中能找到唯一一个元素与之对应
正确的映射：输入端S1在输出端S2都能找到唯一的元素与之对应
错误的映射：S1中所有元素，经过规则σ转换后，在S2中有多个元素与之对应，不符合映射规则
理解二：集合S1和S2的关系
用韦恩图表示
单射
图示
满射
图示
双射
图示
思考二：任意数列前三项的通项公式
之前的思路：构造多项式函数
构造多项式函数
新思路：自然基数乘
指定一系列规则σ，给每个规则σ输入数列(1,2,3)，依次输出(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)
分别代入值，求得λ，f(n)，σ
以上映射满足乘法规则和加法规则
线性映射的概念引入
假定某个数列的通项公式为
给定一个数列，如：（1,2,3,....,n）利用一个规则σ(f)，生成一个新的数列
如果这个规则满足两个条件
定义
第一个例子：V:(1,2,3,....99,100)-->W(1,2,3,4....99.2020)
保加法
第二个例子V:(1,2,3)-->W:(u1,u2,u3)
第一步：理思路
第二步：简化问题，寻找通项公式
第三步：数乘
第四步：加法
完成线性映射
第二个例子的扩展：拉格朗日插值公式
问题：
传统思路：构建多项式函数，将所有点代入函数，构建线性方程组，求系数。
注意：x,y是已知的。a0,a1,....,an是未知数。根据线性方程组求系数a0,a1,a2,a3....an
判断线性方程组是否有唯一解。根据系数行列式
根据范德蒙行列式可知，系数行列式≠0
暴力求解线性方程组的解，复杂度太高。采用线性映射的思路
线性映射的思路：构建一个数列的通项公式，构建映射规则σ。
推导过程
构建映射思维的通项公式
把问题拆分，构建函数，以第一个为例
将输入代入，输出已知，求λ
得λ
得公式
总结规律得任意项公式
得到通项公式后，再将问题整合
scipy中调用拉格朗日插值
子主题
线性变换
思考一：平面上一点P(x,y) 饶原点旋转至另一点P'(x',y')
先讨论简单情况，旋转90°
构建一个映射规则使得。
根据线性映射的性质，可以进一步简化问题
此时，只需要考虑两个自然基，旋转90°后的变化
虽然不知道函数，但是已经知道平面上任意一点逆时针旋转90°后，坐标的变化。
如果是任意角度α呢？
同样的思路，当自然基，逆时针旋转α角度后
根据图形，当两个自然基逆时针旋转α后，坐标变为
那么，根据上面的推导，很容易得出。
行向量表示，看不清楚，可以使用列向量表示
进一步简化
更广泛的
几何意义:自然基的变换
平面直角坐标系，可以认为是自然基张成形成的平面
如果经过一定的规则σ，转换后，基发生了改变。
变换的过程
缩放的效果
旋转缩放的效果
矩阵乘法的实质
应用
平面上任意一点p(x,y)，变换至与OA对称的位置，已知OA与x的夹角为α
前提：在(x,y)没有变换前的是自然基(e1,e2)，对应的自然向量为OE1,OE2
思路：创建一个规则σ，使自然基转换为新的基，这个基要与OA对称，通过图形可以很方便的找到这个规则
将(x,y)代入新的基，就可以得出新的位置
矩阵乘法的理解
更近一步，这一点p通过变换至p'点，在变换至与OB对称的位置。
方法一：新基作用新坐标
计算过程
计算可得
方法二：新基B作用老基A，生成基C，再将基C作用原坐标(x,y)
基C作用于原坐标
得出的规律
列向量空间的线性映射
原理图
原理图
解释1：因变量Y中的每个分量y_i，都是自变量X所有分量(x_1,x_2,x_3,....,x_n)的函数。
解释2：m个函数，生成了m个y
解释3：如果这m个函数，都是线性函数
判断线性函数的条件
保加法
解释4：每个线性函数，对应一组坐标
线性方程组实际上是这一组坐标在向量空间中的张成，x_i是张成的系数
解释5：将所有坐标组合成一个矩阵
这个矩阵可以称之为旋转矩阵
旋转矩阵的作用：创建了一个新基，X向量的坐标，在新基下发生了改变
疑问：旋转矩阵的维度要和X向量的维度必须要一样吗？
答：维度必须一样，但是旋转矩阵可以是原向量空间的子空间。即维度一样，维数可以比维度小。
图1：旋转矩阵是维数为3的矩阵【有三个线性方程】，新基三个维度受到约束【三个平面方程确定一个点】，
原来三维空间中一个点，经过旋转矩阵变换后，仍然是一个点。
原来三维空间中一个点，经过旋转矩阵变换后，仍然是一个点。
图2：旋转矩阵是一个维数为2的矩阵【有两个线性方程】，新基有两个维度受到约束【两个平面方程，确定一条空间直线】，
原空间X中的任意坐标，经过旋转矩阵变换后，所有点会限制在一条空间直线中。
原空间X中的任意坐标，经过旋转矩阵变换后，所有点会限制在一条空间直线中。
图3：旋转矩阵是一个维数为1的矩阵【一个线性方程】，新基中只有一个维度受到约束【一个平面方程，确定一个平面】
原空间中X的任意坐标，经过矩阵转换后，所有点限制在这个平面内。
原空间中X的任意坐标，经过矩阵转换后，所有点限制在这个平面内。
复合映射：两种思路
思路一：X向量经过旋转矩阵A的作用，形成新的向量Y。旋转矩阵B又作用于向量Y，生成新坐标Z
思路二：旋转矩阵B作用旋转矩阵A，生成新的旋转矩阵C,旋转矩阵C作用于X,生成新坐标Z
矩阵乘法的规则理解：
符合两个向量数量积的前提条件
B矩阵所有行向量与A的第一列向量数量积的结果
如果A有多个列向量的话，规则依然遵循B的行向量与A的列向量数量积
在平面直角坐标系的一个有用的性质
ABC三个矩阵，对应在平面坐标系中：
A将基逆时针旋转了α度
B将基逆时针旋转了β度
A'将基顺时针旋转了α度
A将基逆时针旋转了α度
B将基逆时针旋转了β度
A'将基顺时针旋转了α度
在直角坐标系下，先将自然基先旋转β度，在旋转α度。共旋转了（β+α）度。
结果
自然基一共旋转了n次α角度。
结果
自然基先是逆时针旋转了α度，后又顺时针旋转了α度。基没发生改变
矩阵运算
矩阵的加法
两个矩阵的形状相同才可以执行加法
算法：对应位置相加
算法：对应位置相加
性质
交换律
结合律
关于矩阵的减法
矩阵的数乘
数乘
性质
1
2
3
4
矩阵的乘法
矩阵乘法的理解【见列向量空间线性映射】
需要理解的是，矩阵运算的基础运算单元:【m维行向量与m维列向量的数量积】,运算结果为一个数。
如果有n个m维行向量与p个m维列向量相乘=n×p个数
n个m维行向量构成矩阵A(nm)
p个m维列向量构成的矩阵B(mp)
矩阵乘法的算法流程
A的第一个行向量与分别于B的列向量相乘
A的第一个行向量与B的第一个列向量相乘，得到一个数
A的第一个行向量与B的最后一个列向量相乘，得到一个数
同样的步骤，A的第二个，第三个行向量，分别于B的列向量相乘
A最后一个行向量与B的列向量相乘
A最后一个行向量【第n个】与B向量的第一个列向量相乘
A最后一个行向量与B向量最后一个列向量相乘，乘法结束
最终的结果，取决于A有多少个行向量和B有多少个列向量
矩阵乘法的几何解释
矩阵乘法的第二种解释
以例子来说明
矩阵B：可视为旋转矩阵
矩阵A：可以视为多组坐标的组合
矩阵A里的每一个坐标，经过旋转矩阵B的变换，位置发生改变
矩阵A：可以视为多组坐标的组合
矩阵A里的每一个坐标，经过旋转矩阵B的变换，位置发生改变
矩阵乘法的运算律
分配律
A矩阵与两个n维列向量的和的乘积等于A矩阵与两个n维列向量乘积的和
当然也可以是矩阵
结合律
结合律可以从矩阵乘法规则中也可以看出规律
转置
推导过程
AX的结果
将结果转置
分别将X 和A的转置相乘
更广泛的
转置的视觉效果
行列互换
对称方阵和反对称方阵
对称矩阵
反对称矩阵
对称矩阵快捷判断方法
观察对角线两边的数
对称矩阵
反对称矩阵
矩阵乘法不满足交换律
矩阵的幂运算
n阶方阵相乘后的结果仍是n阶方阵
算法：递推
一种特殊的矩阵:Jordan标准型
如图，将其设为N
选择任意矩阵，按照行分成如下子阵
N矩阵与A相乘后，发现有意思的规律
把A换成N本身看看
总结得出规律，类似N的nn矩阵，n次幂后，结果为0矩阵
对角阵的乘法性质
D = diag(λ_1,λ_2,....,λ_n) DX
XD
单位阵
纯量阵
分块矩阵
描述：未计算矩阵方便，可以用一些横线和竖线将矩阵分割成若干区域，然后分别计算
如图
子主题
加法
数乘
乘法：要求两个分块矩阵之间，两个分块矩阵中的子块之间都需要满足矩阵乘法规则
常用的将矩阵按行或者按列划分成分块矩阵
分块对角矩阵
分块对角矩阵
特性：
证明
向量组升维后的秩不变
分块矩阵的乘法
思想：可以将矩阵看成一个数，矩阵乘法依然适用
一些例子
将矩阵A，根据列，拆分成n个子矩阵(A_1,A_2,....,A_n) 可以将这些子矩阵看成一个数，问题就简化成n为行向量A与n为列向量的B的数量积了。
将矩阵B,根据行拆分成n个子矩阵，可以将这些子矩阵看成数，在执行矩阵乘法
AB 将矩阵B按列拆分成子矩阵
可逆矩阵
定义：A可逆(invertible) B称之为A的逆(inverse)
性质：如果A可逆，那么A的逆是唯一的。
将A的逆称之为：
子主题
那些矩阵是可逆的？
零矩阵肯定不可逆
如何判断：
如果A可逆，方程组：AX=Y有唯一解
考虑齐次方程组AX=0的情况
AX=0 有唯一解，X只能是零解
将A按列分块矩阵
该齐次方程只有零解，则有，A的列向量构成的向量组线性无关
结论：矩阵A构成的列向量组，线性无关
可逆矩阵一定是方阵
证明过程
子主题
因为A是方阵，且线性无关，根据行列式性质可知，|A|≠0
结论：0矩阵和矩阵行列式=0的矩阵都不可逆。
可逆矩阵的算法
如何找到B，使得AB=I 且 BA=I
借助一个工具矩阵：
- 矩阵A对应的行列式，提取该行列式中每个元素对应的代数余子式
- 将每个元素代数余子式组建一个新矩阵
- 在将这个新矩阵转置即可得到这个工具矩阵
将工具矩阵左乘原矩阵A。
计算过程
将工具矩阵右乘矩阵A
计算过程
该工具矩阵有个特殊的名称：伴随矩阵（adjoint matrix）
容易得出
缺点：计算伴随矩阵的计算量偏大
方法二：解方程组的思路，增广矩阵的初等行变换
普通线性方程组的解法
普通线性方程组，系数矩阵和常数项构成的增广矩阵，通过一系列的初等行变换，可以化简成如上图所示的结构
那么，D就是线性方程组的解
拓展一下，将常数项拓展为单位矩阵，于是就有上面的线性方程组，与不同方程组不同的是常数项也变成了矩阵
同样的思路，进行初等行变换，求得X=D
可逆矩阵的性质
性质1
性质2
性质3
性质4
矩阵的初等变换
矩阵如何变换？
初始矩阵B，IB=B
第一行和第二行互换
第二行数乘λ
第二行数乘λ后，与第一行相加
思考一下，如何进行多次变换，比如第一行和第二行互换后，再将新的第二行乘上λ与第一行相加。
可以拆解步骤
注意：为了便于分解步骤，每一个步骤都是独立的，且都是在单位阵上进行一次变换，而不是在前一次变化的基础上在变换
很明显，在前一次变换的基础上再变换的思路是错误的。
根据这种算法，理论上可以进行无数次变换。但是类型不外乎三种
互换行
某一行数乘一个数
某一行数乘一个非零实数与另一行相加
初等变换的概念
定理1：对矩阵B进行初等行变换，相当于B左乘对应的初等方阵
有意思的性质：这些变换矩阵都是可逆的。如
两行互换
子主题
某一行乘某个数λ
很方便的知道这个变换矩阵的逆矩阵
某一行乘上λ与另一行相加
子主题
- 定理2：对矩阵A进行初等行变换，左乘初等矩阵，对矩阵A进行列变换，右乘初等矩阵
互换
数乘
相加
综合
A经过第12行互换，第12列互换后
A经过：第12行互换，第2行*λ，第2行*λ+第1行，第2列*β
有意思的初等矩阵
如果以①矩阵为视角，则①矩阵先进行了第2行数乘λ，再 第二行数乘λ+第一行 两次变换
如果以③矩阵为视角，则③先经过了第2列数乘λ，后进行了第12列互换的两次变换
为便于观察，每一个初等矩阵只对应变换的一个动作！
定理3：任意m*n矩阵，经过有限次初等变换，都可以变成
rank(A) = r
推论1：初等变换可以视为左乘有限个初等矩阵【行变换】和右乘有限个初等矩阵【列变换】，
所以定理3，也可以认为是任意m*n矩阵，通过左乘和右乘有限次初等矩阵，得到如图所示的矩阵
所以定理3，也可以认为是任意m*n矩阵，通过左乘和右乘有限次初等矩阵，得到如图所示的矩阵
推论2：如果A是可逆矩阵，那么矩阵A可以看做有限个初等矩阵的乘积
可逆矩阵的秩为n
根据推论1，矩阵A，一定可以经过有限次初等变换【有限个初等矩阵的乘积】变为单位矩阵
所以：可以认为是一系列初等矩阵的乘积
推论3：如果A是可逆矩阵，则一定可以经过有限次初等行变换后变为单位矩阵
可逆矩阵的算法
矩阵A，通过有限次初等行变换P【左乘一系列初等矩阵P】后，变为单位阵。
将同样的变换用在单位阵上，容易看出得到的结果，就是A的逆矩阵
矩阵乘法与行列式
思考三种初等变换和对应的行列式有何种联系？
两行互换
根据行列式性质：互换行，行列式变号
观察初等矩阵
数乘
根据行列式性质：行列式某一列成比例，可提取某一列公因子，多列成比例，可逐列提取公因子
观察初等矩阵
相加
根据行列式性质，某一行常数倍加到另一行，行列式的值不变
观察初等矩阵
总结：矩阵A经过初等矩阵变换后，新矩阵对应的行列式的值等于初等矩阵对应行列式值和原矩阵A对应行列式值的乘积。
找到了一种规律：初等行变换行列式值=有限次初等矩阵行列式值和原矩阵A行列式的乘积
可以扩展到任意n阶矩阵
如果rankA = n
那么根据初等变换的性质，可以将A视为有限个初等矩阵相乘的结果
则有
代入，可知|AB|=|A||B|
如果rankA < n
则意味着，通过初等变换，会出现0行
|A| = 0
所以 |AB|=|A||B|也成立
线性变换进阶
一个例子：一个单位圆上所有坐标，经过矩阵A变换后
子主题
同构与同态
基与坐标
向量组V中存在一组向量M={a1,a2,a3,...,an}，如果该向量组中每个向量a都可以唯一表示成以上形式
那么，向量组M称之为向量组V的一组基
数组x,称之为向量a，在基M下的做坐标
向量是a
向量a唯一对应坐标x
基与坐标的拓展
向量组V中的每个向量a，在不同基下，都会有与之对应的坐标
坐标，也会构成一个向量空间
向量a 和坐标X 是一一对应的关系
向量a 和坐标X 遵循的运算规律都是一样的
加法
数乘
向量a和坐标X，则可以称之为同构
同构的概念
V1,V2是数域F上两个线性空间，如果存在一一对应的映射σ，
使得 V1→V2。且均满足加法和数乘的运算规律，则称线性空间V1,V2同构（isomorphic），
映射σ称之为同构映射(isomorphism)
使得 V1→V2。且均满足加法和数乘的运算规律，则称线性空间V1,V2同构（isomorphic），
映射σ称之为同构映射(isomorphism)
如：RGB→CMYK
如：二进制→十进制
同构的一些性质
a是零向量，那么同构映射也是零向量
a是负向量，那么同构映射也是负向量，σ(-a) = -σ(a)
线性空间V1的一个子空间S
如果S线性无关，则同构映射也线性无关
如果S线性相关，则同构映射也线性相关
证明
子主题
M是V1的基，那么其同构映射的基为σ（M）
同构空间的维数相等
同构性质的一些应用
同构的思想：向量→坐标的映射
应用：坐标转换问题
问题：如 RGB --> HEX 转换问题
推导过程
推导过程：向量a，在基1的坐标，和向量a在基2的坐标，中间只差了一个基2，在基1的坐标矩阵。
另一个问题，如何求M2的基向量，在基M1下的坐标
习惯将这个坐标生成的矩阵，称之为P矩阵
如果M1的基是自然基矩阵，那么P就是M2基向量构成的矩阵
同态的概念
类似向量与坐标这种一一对应的映射关系，称之为同构
我们知道，向量与坐标的能够一一对应的前提是，基向量矩阵必须满秩【n个n维基向量】
如果线性空间的一组基不是满秩【m个n维基向量，,m<n】，那么向量a会有多个坐标与之对应。
像这种，向量与坐标不是一一映射的关系，称之为同态
线性映射
线性映射的扩展案例
最常见的线性映射：两个向量空间U,V 在矩阵A的作用下的线性映射
矩阵A，就是映射
基于坐标也是线性映射。在基已知的情况下，坐标和向量知道任意一个，就可以知道另一个。
同构同态
投影和嵌入
高维线性空间→低维线性空间：投影
二维的圆，投影到1维的直线
低维线性空间→高维线性空间：嵌入
极端：高维线性空间→零维：零映射
线性变换，P和Q 是两个方阵
标量变换
按比例扩展一倍
线性映射的简单性质
先建立一个意识，矩阵的本质就是映射，通过矩阵A，可以实现线性空间V到线性空间U的映射。
思维推导过程
线性空间V中的零向量，经过映射到线性空间U，依然是零向量。
线性空间V中的负向量，经过映射到线性空间U，依然是负向量
线性空间V中的一个向量组，经过映射A到线性空间U，也是一个向量组
线性空间V中的一个线性组合，经过映射A到线性空间U，也是一个线性组合
如果这个线性组合线性相关，则U空间的线性组合也线性相关
如果这个线性组合线性无关，则U空间的线性组合也线性无关
逆命题也成立
线性映射的理论推导，以及映射矩阵A的意义
U线性空间的一个坐标如何实现到V空间坐标的映射？
U空间中任一向量a，的坐标为：
定义一个线性映射，实现U到V的线性映射
A(a) 是U空间中的向量a映射到空间V中的一个向量，那么这个向量的坐标可以记为：
把上面条件联立起来可以得到
U空间的一个基向量aj，经过映射，在V空间中的像A(aj)的坐标
U空间的一组基中的某一个基向量
当这个基向量，映射到V空间后，就变成了
求Aj
可以描述为：U空间一个基向量，映射到V空间后，在基M2下的坐标。
教材的定义
子主题
把求得的A1,A2,A3,....,An组合，就得到了矩阵A
组合上面所有推导，就有公式：Y = AX，
- X代表向量a在原空间的坐标，
- A代表原空间基M1中各基向量，映射到V空间后，在V空间基M2下的坐标。
- Y代表原线性空间U中的一个向量a，映射到 V目标空间中的坐标。
应用例题
（1）的求解：高维度的空间→低维度空间映射
（2）的求解，低维度的空间→高维度空间的映射，方程无解
两个条件：
- 原空间的一组基M是满秩的，即，n维空间，有n个基向量。
- 目标空间的一组向量，刚好有n个。即，原空间的基M的每一个基向量，在目标空间中都能找到与之对应的映射向量
思考：如果原空间的一组基，不是满秩的，又会出现什么情况？
坐标变换
引例：任意基坐标 → 推导自然基坐标
如图所示
已知向量a，在任意基下坐标为：
根据同构映射的性质，以上表达式还可以表达成，σ表示向量a在自然基下向坐标的映射
σ(a) 就是要求的向量a在自然基下的坐标
x,y已知，只需要求出，任意基的两个基向量，在自然基中的坐标
我们将，任意基在自然基中坐标，形成的矩阵，称之为P矩阵（过度矩阵）
那么可知，向量a，在自然基下的坐标
得出一个概念：任意基的各基向量，在自然基下的坐标矩阵，称之为过渡矩阵P
使用方法
正向推导：向量a 在任意基下的坐标X已知 → 向量a在自然基下的坐标Y
反向推导：向量a在自然基下的坐标Y已知→向量a在任意基下的坐标X
将问题扩展一下，同一线性空间中的两组任意基M1,M2，向量a在基M1的坐标为X，在基2的坐标是？
向量a，在基M1中的坐标表达式，(x,y)是向量a在基M1下的坐标
两边同取，向量a，在基M2下的坐标映射
x,y已知，问题转换成，基M1的各基向量，在基M2下的坐标，根据向量→坐标的映射关系
先看一个基向量
将上面两式整合，得出向量a在基M2下的坐标为Y
如果是不同维度的线性空间呢？
回顾一下线性映射的概念，Y=AX
回顾推导过程
思路：
- U空间M1下坐标→【线性映射B】→V空间M2下坐标。
- U空间M1下坐标→【坐标转换P】→U空间自然基下坐标→【线性映射A】→V空间自然基下坐标→【坐标变换Q】→V空间基M2下坐标
- 映射A和映射B有何关系？
U空间基M1→U空间自然基（e1）
U空间自然基（e1）坐标→V空间的自然基（e2）坐标
V空间的自然基（e2）→V空间基M2
将上面公式组合
可得 向量a映射到V空间的坐标
如果直接由由U空间M1映射至V空间M2，则
可知B和A的关系
等价矩阵的概念
矩阵B和矩阵A是等价矩阵
两个不同维度空间映射如何构建？
思路一：直接映射B
思路二：基M1→【坐标变换】→自然基E1→【线性映射】→自然基E2→【坐标变换】→基M2
将A代入上面的公式
子主题
推论
核（ker）与像(Im)
核(Ker)
AX=0 ,所有X构成的集合
线性方程：x+y+z = 0 的解集
映射图示：f = x+y+z 映射
讨论一下映射的类型：
观察可知，映射A目标空间所有点，在原空间中找到一个点与之对应【不止一个】
这种映射称之为：满射
像(Image)
在A的作用下，Y=AX构成的集合
线性方程组，不同x经过映射矩阵A，得到所有y值的集合，称之为像(Image)
映射图示
二维空间里的任意一点(x1, x2)，经过映射A会在（y1, y2, y3）构成的三维空间里，
生成一个平面【图中灰色所示】，这个平面，就是映射A的像。Im A
生成一个平面【图中灰色所示】，这个平面，就是映射A的像。Im A
如果 观察 AX=0 X的解，发现，X只有一个解(0,0)，那么点（0,0）是映射A的核 ，ker A
讨论一下映射A的类型
原空间中所有点，都能在目标空间中找到唯一的点与之对应。
反之，目标空间所有点y，有部分点y'，找不到原空间的点与之对应
将这种映射称之为：单射
如果目标空间和原空间的点经过映射A都是一一对应，称之为双射
维数定理：对于映射A(mn)，则有n = dim(KerA)+ dim(Im A)
从线性方程组的视角，n是未知数x的个数，n个x构成了一个n维原空间。
m是线性方程的个数，即y的个数，m个y构成了m维的目标空间
m是线性方程的个数，即y的个数，m个y构成了m维的目标空间
当AX = 0 时，kerA = X解向量的个数，
如果是一个解向量，在n维空间中，张成了一个一维子空间。dim( Ker A )= 1 核的维数
如果是两个解向量，在n维空间中，张成了一个二维子空间。dim( Ker A )= 2 核的维数
以此类推。
如果是一个解向量，在n维空间中，张成了一个一维子空间。dim( Ker A )= 1 核的维数
如果是两个解向量，在n维空间中，张成了一个二维子空间。dim( Ker A )= 2 核的维数
以此类推。
Y = AX ,Y是指n维X向量，经过映射A后，在m维空间形成像，即 Im A
这个像的空间维度，
这个像的空间维度，
- 如果 只有一组线性方程，m=1，Y的所有集合由一维空间上的一个点。dim (ImA)=1
- 如果 有m组线性方程，Y的所有集合全部落在m维空间：dim (Im A) =m 【满射】
- 也有可能是m维空间的子空间 ：dim（Im A）< m 【非满射】
- 如果m组方程组，比未知数n还多【m>n】，映射到目标空间的维数不会超过未知数X的维度n，
证明：
1、先看核
2、再看像
3、讨论像的原像，可知Ax'=y 成立
4、设x是AX=Y的另一组解。根据映射的性质，有如上的关系
5、根据 AX = 0 可知 (x-x') 在核kerA中，核可由基（u1,u2…uk）线性表示
6、将x'代入上面的等式，可知x可由以上向量组线性表示，只需要证明，线性表示唯一即可
7、由第1步，第2步，可知，且k+r = n
维数定理的升级 ： KerA + rankA = n
LU分解
概念：将矩阵A分解成一个下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积
回顾矩阵初等变换
矩阵A经过一系列初等行变换的过程，实际上是左乘一系列初等矩阵的结果
初等变换的过程
提取所有左乘的初等变换矩阵
结果如图
将左乘的所有初等变换矩阵组合
这些组合的逆，就是矩阵L
上面的例子，可得L矩阵为。
基本算法思想
观察规律
逐步分解
计算可得第一列消元因子
发现规律，将上面计算结果，行列各减一，得到的新矩阵A2，和A的结构一样。继续使用lu分解。
使用递归思路，递归终止条件
遍历所有的l和u，即可得到LU矩阵
numpy实现
lu的分解过程，查看代码
查看过程
lu分解代码的优化
第一次优化，采用递归思路
第二次优化
子主题
第三次优化
代码执行的结果
执行的结果
验证
LU分解的改进：PLU【列主元分解】
PLU分解【列主元LU分解】
LU分解的存在的问题
推导过程>>
根据初等变换的知识，换行只需要左乘初等变换矩阵P。
设每次提取主元，都会左乘初等矩阵P，则有
根据初等矩阵P的性质，改变上面的式子，以4阶矩阵为例。上面两个式子是等价的。
问题转换成，分别求上面两种颜色块
即为 Fk
如图，E表示消元列 A[i+1:,:]/A[i,i]
原理，换行只作用于 消元列。
公式
消元列的顺序，会受到后面列，寻找主元，替换行的影响
由于P只作用于1列，所以只需要使用一个数组储存P的变化就可以了
代码
特殊的矩阵【对称正定矩阵】分解：cholesky分解
什么是对称正定矩阵
性质1：对称正定矩阵与其转置矩阵相同
性质2：对称正定矩阵的主元大于等于0
性质3：对称正定矩阵可以分解成：下三角单位矩阵L 对角阵D 和下三角矩阵的转置L.T
证明过程
性质4：对称正定矩阵可以分解成一个下三角矩阵和下三角矩阵转置
cholesky算法
根据性质4，将A分解成如下形式
得到，可以将n阶矩阵，分解成n-1阶矩阵：A_new
A_new 则继续使用相同的方法继续分解
代码：
cholesky算法只适用于对称正定矩阵，如果对称正定，使用cholesky算法，比LU分解节省时间
cholesky算法的改进，ldl 算法
如果不是对称正定矩阵，不能开根号，所以不能使用cholesky算法
使用，将对称矩阵分解成如图形式
使用分块矩阵
分别得到：将n阶矩阵分解成n-1阶矩阵 A_new
代码
特殊的矩阵2【带状矩阵】分解
什么是带状矩阵？
同样使用LU分解的思路，只是计算不需要计算一整列，计算一个数字就可以了，时间复杂度为O(n)
代码：
使用普通LU分解，和带状分解的耗时比较
应用
求解线性方程组
代码实现
如果反复调用lu的代码实现
求行列式
代码
特征值
问题：设计一个系统，设初始值为x0，每一次输出结果，都会受到前面三次结果的影响，
要求系统经过了多次输出后，结果依然在某个可控的范围内，那么应该如何设计这个系统？
要求系统经过了多次输出后，结果依然在某个可控的范围内，那么应该如何设计这个系统？
思路
子主题
问题就转换成A矩阵的t次方如何求
如何求A的t次幂？
直接求显然不可能，计算量太大，需要转换思路
如果是对角阵，矩阵幂最好求
需要注意，不能通过初等变换，将矩阵A变换为对角陈，这种方式是错误的。
正确的思路，通过坐标变换。找到满足上面条件的 对角矩阵Λ和矩阵P
那么？能找到对角矩阵Λ和矩阵P吗？是不是所有矩阵都能找到P和Λ？
问题再一次转换为，如何求P和Λ
根据坐标变换的原理
为便于表述
Λ：特征值 P：特征向量
用分块矩阵的思维，推导右侧的等式
推导特征值的和特征向量的一些性质
性质1：
- 如果A的特征值中有0，等价于“A是奇异矩阵”，
- A的特征值全不为0，等价于“A是非奇异矩阵，即A可逆”
性质2：对于不为零的实数a，如果p是特征向量，那么ap也是特征向量
性质3：对于某个特征值λ，p是特征向量，q也是特征向量，那么(p+q)也是特征向量
性质4：p是A的特征向量，也是aA的特征向量，a是不为零的实数，相对于的特征值也变为aλ
性质5：p是A的特征向量，也是（A+aI）的特征向量
性质6：p同样是A任意次幂的特征向量
性质7：P也是A逆的特征向量
性质8：对角矩阵的的特征值，即为对角线上元素值，特征向量为自然基
性质9：p,q,r分别是矩阵A,B,C的特征值。则分块矩阵的特征值为：
性质10：上三角、下三角矩阵的特征值，就是对角线上值
计算特征值和特征向量 【Ap = λp】
可以求出，特征值，每个特征值对应的特征向量
p要有非零解，根据齐次线性方程组的性质， 行列式det(λI - A)=0
det(λI - A) 称为特征多项式，det(λI - A)=0 称之为特征方程
如果将特征多项式展开，探讨一下性质
凯莱—哈密顿定理
例子
子主题
a_0 = det(A)
迹（trace）
一些性质
Tr A 等于所有特征值的和。
求解特征值
例1，特征值没有重复
算出验证
例2：特征值有重复，但是特征向量线性无关
三角阵，易得特征值为（3,2,3）
用numpy求特征向量
验证
例3，特征值重复，且求得的特征向量线性相关
特征值依然为（3,2,3）
求得特征向量线性相关，得到的P就无法对角化了
在验证时，会抛出奇异矩阵的异常
Jordan 标准型
问题：特征值和特征向量的作用是，找到矩阵A的相似矩阵，A =PΛP-¹，可以方便的计算出矩阵Aⁿ。
这个过程称之为对角化。但是如果算得的特征向量P线性相关，那么A就无法对角化。Aⁿ还有办法方便求出么？
这个过程称之为对角化。但是如果算得的特征向量P线性相关，那么A就无法对角化。Aⁿ还有办法方便求出么？
有！Jordan标准型 ,J与对角阵相似的矩阵，
注意此时的P不是特征向量。而称之为广义特征向量
注意此时的P不是特征向量。而称之为广义特征向量
Jordan 标准型需要满足何种条件？
正确的Jordan标准型
错误的Jordan标准型：分块后，非对角线矩阵块不为0
错误的Jordan标准型2：矩阵块对角线元素不一致
观察Jordan标准型的特征值、特征向量
从整体看，上图的特征值为 j.k,l
根据特征值j,k,l 计算特征向量
特征值j，对应的特征向量解为：
求解过程：当特征值为j时，方程组的 (A-jI)p = 0 的解为
特征值k，对应的特征向量解为：
特征值l，对应的特征向量解为
故，Jordan标准型矩阵A的特征值对应的特征向量为：（ p1,p2,p3）
很明显，特征矩阵P是奇异矩阵，不存在逆矩阵。
思考一下，如果矩阵A对角线元素都是j会怎样？
Jordan块只有一个，特征值为j，方程组： AP = jp，解集p只有一个。且是1维的
Jordan块 2个，特征值为j，方程组 Ap = jp ,解集有一个，但是是二维的。
观察规律
特征值相同，有几个Jordan块，就有几个线性无关的特征向量
dim [Ker(A-jI)] = n - rank (Ker(A-jI)) = 4-2 =2 特征向量有2个线性无关的特征向量【几何重数】
特征值不同，几个不同的特征值，方程 Ap = jp 就有几个解
2个特征值，2个解，称之为代数重数
如何求Jordan标准型的幂
B = (λI + Z)
Z矩阵的有意思功能：
任意矩阵A右乘一次Z，左移一列
A左乘一次Z，向上移一行
任意矩阵A右乘一次Z，左移一列
A左乘一次Z，向上移一行
右乘Z向右移一行
左乘Z向上移一行
Z的n次幂：Z是n阶方阵，Z的n次方【及以上】都等于0矩阵
子主题
一个Jordan块 Bⁿ的求解
了解二项式定理
一个jordan块的情况
(λI + Z)ⁿ
根据Z的规律，如果Z是m阶方阵,则
m阶Jordan标准块的n次幂
展开可得
多个jordan块的情况
按照分块矩阵的思路
继续讨论Aⁿ 的情况
那么A的幂问题，可以转换成每个Jordan块B的幂问题
由上面讨论一个Jordan块的幂问题。Bⁿ=(λI+Z)ⁿ，已知。
Jⁿ已知
分类讨论
|λ| <1 t→∞ A 收敛
|λ|>1 t→∞ A 发散
|λ| =1 时
只有1个Jordan块
收敛
两个以上Jordan块
发散
接下来讨论P的问题
首先P无法用特征值λ直接计算得出
可根据定义，直接算出P
以该Jordan标准型为例
将P矩阵，按照列向量分成分块矩阵，就有
展开得
如果对每个Jordan块分别讨论，则有
分别求出p
推论：任何方阵都可以化为Jordan标准型
QR分解
圆盘定理：判断特征值大小范围
上图，每一行除主元之外的元素构建了一个圆盘，所有行组成了 gershegroin 圆盘。
每个圆盘的直径为r_i：
那么每个特征值的范围，均在圆盘范围内。
证明：
第一步，在特征向量取中取绝对值最大的那个向量：
最大的那个向量必然满足特征方程 Ax = λx
做个一个变形
取绝对值
约去|x_k|
幂法
任意向量，反复左乘矩阵A，会收敛到一个向量，这个向量是特征向量
代码演示
任意向量，经过3阶方阵，不断迭代后，向量趋于稳定
证明过程
任意向量可由矩阵A特征向量线性表示
两边同时左乘矩阵A可得
又因为x是特征向量，所以有
等式两边不断左乘A
得到两个等式
等式1，当k趋于+∞时
可得出：任意向量不断左乘矩阵A后，结果会趋近于一个向量，这个向量，就是矩阵A最大特征值所对应的特征向量。
等式2：当k趋于+∞时
这个等式称之为Rayleigh商
关于等式2，另一个信息，关于收敛速度
推导过程
两个不同特征值的收敛速度
算法实现
原理算法
代码的改进
算法思想
推导过程
推导过程
子主题
反幂法
简介
反幂法理论上可以计算绝对值最小特征值和特征向量。
幂法和反幂法的算法差异
幂法的思路
反幂法的思路
代码实现过程
直接使用解线性方程组的命令
使用PLU的思路
lu的好处，先对矩阵A进行LU分解，后面迭代矩阵就不需要分解了。
代码
自定义一个lu矩阵解方程函数
子主题
反幂法中，通过lu分解，得到p,l,u 可直接代入函数，简化代码
子主题
反幂法的应用
带位移的反幂法
原理：通过反幂法求出B的最小特征值和对应的特征向量
先求 B = A - μI 最小特征值对应的特征向量x，也就求出了A的特征向量
再根据 Ax = λx 求精确特征值
代码实现
快速收敛的位移算法
算法思路
代码实现
优缺点
优点：收敛非常快
普通位移法迭代了51次，快速收敛的位移算法只用了5次。
缺点：每次迭代，都要进行一次LU分解，相比较普通法，计算的步骤更多。
子主题
Gram-Schmidt正交化
投影的计算
如图所示：向量u,在向量w 上的投影 = （向量u的模长 * cosθ）* w的单位向量
推导过程
正交的概念
向量的数量积为0，即 （u·w）=0
Gram-Schmidt正交化的思路
先将矩阵分块成各个列向量
- 先选取第一个向量a1，然后单位化，记为β1。这个单位化向量令记为q1
- 选取第二个向量a2，计算第二个向量a2，在第一个向量单位化后β1上的投影 ：(a2·β1)*β1
- 第二个向量a2 减去 这个投影，就得到了与第一个向量q1垂直的向量。记作q2
选取第3个向量，分别计算在q1,q2 上的投影。（a3,q1）*q1，（a3,q2）*q2
将这两个投影向量相加，得到一个向量。
用第三个向量a3 减去这个向量，就可以得到与q1,q2垂直的向量q3
将这两个投影向量相加，得到一个向量。
用第三个向量a3 减去这个向量，就可以得到与q1,q2垂直的向量q3
后面依次的向量按照相同的思路，就可以实现正交化。
代码实现
子主题
正交化的一些缺点
不太稳定，遇到特殊矩阵分解的误差较大
Householder变换
选取一个模长为1的列向量，构建这样一个矩阵：H = I - 2*ω * ω.T
任意向量ω【是一个列向量】的性质：ω * ω.T 是一个对称矩阵
如图
这个矩阵称之为反射矩阵。具有两个有意思的性质
验证
证明
关于ω
从原点出发模长为1的向量ω。
可以找到所有与ω垂直的向量x， 这些x，组成了与ω垂直的超平面
通过 ω 和 所有x组成的超平面，所构建的向量空间中，任意一个向量都可以表示成——【x平面内任意一个向量 + ω向量的张成】
尝试一下，用反射矩阵作用到向量z上。
示意图
任给两个模长相等的向量，都存在一个镜面反射矩阵，使得 Hx = y
如何寻找这两个ω
验证
Householder 变换的过程
思路：先构造一个与矩阵列向量模长相等的特殊向量，计算ω，得到第一个反射矩阵H
当第一个反射矩阵H作用到矩阵A，矩阵A的第一列，主元以下元素变为0，出现了上三角矩阵的趋势。
相同的思路，处理低一阶矩阵的第一列。得到新的反射矩阵H2
这个第一阶的矩阵第一列，主元以下元素变为0
将这个反射矩阵H2改造一下。连续左乘H就会得到一个上三角矩阵
相同的迭代思路，矩阵A不断左乘反射矩阵，就会得到一个上三角矩阵
依次左乘反射矩阵。
两个算法技巧
如何计算R,不直接算出反射矩阵，而是将反射矩阵拆开，使用ω计算。节省计算次数，通过不断迭代，得到R
如何计算Q？如果按照以上算法，每一次迭代都要乘一个反射矩阵H，同样矩阵与矩阵相乘过于复杂
技巧：构造一个与A相同的单位阵，
按照相同的迭代思路，对单位阵I进行迭代，最后得到的就是H了，
易得，Q = H^T
按照相同的迭代思路，对单位阵I进行迭代，最后得到的就是H了，
易得，Q = H^T
算法实现：
代码
运算结果
与scipy.linalg.qr算法结果进行比较
householder算法稳定性要好于Gram-schmidt 正交变换
使用施密特正交变换，对希尔伯特的矩阵分解误差较大。
Hessenberg 矩阵
类似于上图,主对角线以下只有一个非零元素的矩阵
使用householder变换，只需要处理主对角线以下一个元素，所以计算复杂度很低O(n²)
同样是1000阶的矩阵，
使用Hessenberg矩阵的household分解算法，耗时406毫秒
和普通household算法，耗时30秒
使用Hessenberg矩阵的household分解算法，耗时406毫秒
和普通household算法，耗时30秒
代码实现
代码
基本QR算法
基本qr算法
推导过程：
QR分解得到Q，是正交矩阵，那么有
如果是正定矩阵，则会收敛成一个对角阵
对角线元素刚好是特征值。
Hessenberg矩阵的QR基本算法
普通矩阵qr分解和Hessenberg矩阵qr分解的差异
普通矩阵的qr迭代【用householder分解】
Hessenberg矩阵的qr迭代
Hessenberg矩阵QR迭代算法注意事项
Hessenberg矩阵的基本算法
推导过程
图示
矩阵会收敛至上三角，对角线上的元素就是特征值。
算法实现
代码实现，输出的是上三角矩阵A_(k+1) 和 hatH
运行结果
验证
特征向量的算法：如果知道了上三角矩阵T，对角线元素是特征值，如何算特征向量。
如何寻找矩阵S
先提取对角线上的元素，np.diagonal(T)
从最后一行的主元开始【上例从5开始】，先按照上方公式处理矩阵
处理后的矩阵，将上方绿色和红色的部分，组建一个方程B[:4,:4]*x = - B[:4,4]，并解方程，得到向量x
一次迭代，当特征值是3时，矩阵B，变为
特征值是2时的矩阵，非零解为
特征值是7时的矩阵，非零解为：
特征值是1时的矩阵，非零解为：
代码
基本QR算法的改进——带位移的QR算法
算法思想
如果A_(k+1)最后一行，倒数第二列为0的话，那么最后一行，最后一列就是特征值
此时可以将矩阵降一阶继续迭代
最终可得出所有特征值,>> 查看运算过程
迭代的过程
特征向量的计算
子主题
SVD分解
SVD分解的前置知识
任意一个m*n的矩阵，都具有以下性质
A.T *A 的特征值都是大于等于零
A.T * A的秩 = A 的秩
证明过程
A=0的充要条件
什么是奇异值？
A.T * A 的特征值为：其中rank(A) =r
例，任意随机矩阵 A.T @ A 的特征值的情况。
则σ即为矩阵A的奇异值
任一m*n，秩为r的矩阵A，可以分解成
证明过程
先看A.T * A 的特征值
用分块矩阵的思路：
观察上面的式子，可以得到：
令：
使用Gram-schmdit正交化方法，扩充U(mr)至U(mm)
用分块矩阵的思路，可以得到
扩展的矩阵也是正交矩阵，U.T * U = I
用扩展矩阵U.T，左乘，矩阵A * V
继续用分块矩阵的思路
得证
求解过程
第一步：求A.T*A的特征值和特征向量V
第二步：求A.T * A的特征值Λ和特征向量V，提取非零的特征值和对应特征向量
第三步：求U
第一步：先求出U(m,r)
第二步：利用正交化，将U(m,r) 扩充为标准正交基U(mm)
第四步：扩展 Σ（mn）
原理代码
运行结果
SVD分解的应用
原理
如图
应用一：压缩图片
概率统计
一些基本概念
随机试验
如果试验满足以下三个条件
试验可以在相同的条件下重复进行
每次试验可能的结果不止一个，并且事先已经知道试验所有可能的结果
抛硬币，每次试验抛一次，看正反，可重复多次
抛硬币，每次试验，抛三次，看正反组合，可重复多次
掷骰子，每次试验投一次，看点数，可重复多次
进行一次试验之前，并不能确定哪一个结果会出现
满足以上三个条件，称之为随机试验，记为E
如，之前的投骰子
记录城市120急救电话一昼夜接到的呼唤次数
在一批灯泡中，任意抽取一只，测试它的寿命
记录某一地区昼夜的最高温度和最低温度
样本空间
随机试验所有可能的结果组成的集合，记为S，或者Ω
抛一次硬币的样本空间
每次试验抛三次硬币，正反面情况的样本空间
120呼叫台接受电话次数的样本空间
样本点：随机试验的每个结果，记为e
样本空间S是由全体样本点e构成的集合
随机事件
样本空间是满足所有结果的集合
如果满足某些条件的样本点的集合就构成了随机事件
容易知道：随机事件是样本空间的子集，一般用大写A,B……表示
事件发生
每次试验中，只有当随机事件里的样本点e发生的时候，称之为事件发生。
如果不是随机事件里的样本点，称之为事件不发生。，
如果不是随机事件里的样本点，称之为事件不发生。，
必然事件
定义一个特殊的随机事件，即每次试验总发生，包含了样本空间S所包含的所有样本点
不可能事件
定义一个特殊的随机事件，并不包含样本空间所有样本点，即每次试验都不会发生，称之为不可能事件
事件的关系和运算规律
随机事件是满足某些条件的样本点，如果有两个以上的随机事件，那么可以从【事件发生】的角度，探索不同事件之间的关系
随机事件之间有哪些关系
包含关系
相等关系
互斥关系
对立关系
集合的运算
和（并）
韦恩图表示
积（交）
韦恩图表示
差
韦恩图表示
补
韦恩图表示
运算律
交换律
结合律
分配律
德摩根定律：长线变短线，符号方向变
对多个随机事件定律同样适用
韦恩图表示
韦恩图
古典概率模型
概率的定义
概率的描述性定义
概率的统计性定义——频率（frequency）
频率的基本性质
子主题
如果一个随机事件A的频率f(A)比较大，
则意味着在n次随机试验中随机事件A发生的次数多，
或者说随机事件A在一次试验中发生的可能性就大
则意味着在n次随机试验中随机事件A发生的次数多，
或者说随机事件A在一次试验中发生的可能性就大
不同次数抛硬币试验，出现随机事件【正面】的频率
概率的公理化定义
定义：E是随机试验，S是样本空间，对E的每一个事件A，赋予一个实数，即为P(A)，
如果这个集合函数，满足以下条件：
如果这个集合函数，满足以下条件：
- 非负性：对于每一个事件A，P(A) ≥ 0
- 规范性：对于必然事件S，P(S) = 1
- 可列可加性[无限]：A1,A2,...,An…是两两互不相容事件。AiAj=∅，i≠j，则有：
性质：
性质1：P(∅) = 0
Latex
性质2：有限可加性：P(A1∪A2∪....∪An) = P(A1) + P(A2) + …+P(An) ,其中AiAj 两两互不相容i≠j
Latex
性质3：【减法公式】任意两个事件AB，P(A-B) = P(A) - P(AB)
性质4：【单调性】任意两个事件AB，如果B 包含与A，则 P(A-B) = P(A) - P(B) ,且P(A) ≥ P(B)
Latex
性质5：任意一个事件 A，P(A) ≤ 1
性质6：任意一个事件A，逆事件的概率
性质7：【加法公式】任意两个事件AB，P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)
扩展：P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) -P(AC) - P(BC) + P(ABC)
古典概率模型
加法定理
乘法定理
排列
排列，有序用排列，元素相同，顺序不同，结果不同。
全排列，n个元素，全部取出排列。一共有 n! 种排法
重复排列，从n个元素中，有放回的取m次，并按照一定顺序排列。
组合
组合，无序用组合，元素相同，顺序不同，结果相同
古典概型
古典概型的定义
样本空间S，只含有有限个样本点。
每个样本点，发生的可能性相同
满足以上两个条件的，随机试验概率模型为等可能模型，也称之为古典概型
古典概型概率的计算
公式
抛硬币的随机试验
取球试验：6只红球，4只篮球
依次取2个球，不放回
2个都是红球的概率
2个球，颜色相同的概率
2个球中，至少有一个球是红球的概率
依次取2个球，放回
2个都是红球的概率
2个球，颜色相同的概率
2个球中，至少有一个球是红球的概率
落盒模型，有N个盒子，n个球(n≤N)，有多少种放法
每个盒子里最多只有1个球的概率
落盒问题的应用
生日问题
访问问题
抽样问题，从N个产品中，有次品D件，随机抽取n个产品，多少种取法
恰好有k次是次品的概率。
抽签模型：袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球。
放回抽样，第k个人取到白球的概率
不放回抽样，第k个人取到白球的概率
关于抽
1-2000数字，不能被6，也不能被8整除的数字的概率是多少？
转化下思路，2000个数能被6整除P(A)，能被8整除P(B)
根据德摩根定律
15名新生随机平均分配到三个班级中取，这15名新生中有3名是优秀生
每个班级分配到一名优秀学生的概率
3名优秀生分配到一个班级的概率
几何概型
古典概型的缺陷
几何概型的概念
若随机试验E满足
例子
在区间（0,1）随机的取两个数，求事件“两数之和小于0.6”的概率
见面问题
条件概率
引例
子主题
概念：A、B两个随机事件，且P(A)>0，随机事件B在随机事件A发生的条件下的概率可以表示成
性质，前提P(A)>0
P(B|A) ≥ 0
P(S|A) = 1 , P(∅|A) = 0
P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)
通过文氏图证明
P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A)
通过文氏图证明
通过文氏图证明
例子
10个产品，其中有8个正品，2个次品，抽2次，不放回，
问，第一次是正品的概率。在第一次是正品的基础上，第二次是正品的概率
问，第一次是正品的概率。在第一次是正品的基础上，第二次是正品的概率
乘法公式
由条件概率公式推导乘法公式
或者
A先发生，如果B事件发生受A事件影响【事件AB并不独立】。
那么，事件AB都发生的概率，适用于乘法公式。P(AB) = P(A)P(B|A)
那么，事件AB都发生的概率，适用于乘法公式。P(AB) = P(A)P(B|A)
推广到多个事件
推导过程
例子：
篮子里有r个红球，t个白球，先抽1个球放回，记住颜色，在放入a个与记住颜色相同的球，再抽一次，
按照此种操作，一共取4次球。问，第1,2次抽到红球，第3,4次抽到白球的概率
按照此种操作，一共取4次球。问，第1,2次抽到红球，第3,4次抽到白球的概率
子主题
一块玻璃，第一跌落破碎的概率为1/2，若第1次未破碎，第二次跌落破碎的概率为7/10，
若第2次仍为打破，第3次跌落破碎的概率为 9/10，问，三次跌落，玻璃没有碎的概率
若第2次仍为打破，第3次跌落破碎的概率为 9/10，问，三次跌落，玻璃没有碎的概率
子主题
全概率公式
曲奇饼模型
工厂抽样问题：计算抽一件产品是次品的概率
曲奇饼模型的拓展：拿了一个香草味的曲奇饼，那么这个曲奇饼是碗1的概率是？--> 贝叶斯公式
贝叶斯公式
曲奇饼问题
解答
M豆问题
思考1：从主观上，黄色、绿色两颗M豆，只有两种取法：
方法a：A 黄色，B绿色
方法b：B 绿色 , A黄色
每一种取法的概率均为 1/2，
这称之为先验概率。P(H)
方法a：A 黄色，B绿色
方法b：B 绿色 , A黄色
每一种取法的概率均为 1/2，
这称之为先验概率。P(H)
思考2：分别计算不同取法下，
取得：A 黄色,B绿色 的概率
取得：A 绿色 B黄色 的概率
在不同取法下，得到两颗M豆的概率，称之为似然度
取得：A 黄色,B绿色 的概率
取得：A 绿色 B黄色 的概率
在不同取法下，得到两颗M豆的概率，称之为似然度
思考3：计算所有取法，得到黄色和绿色M豆的概率：
按照分别在两个袋子里取1个M豆的方式，只有两种取法，方法a和方法b，
根据全概率公式，可以得出，P(D) 称之为标准化常量
按照分别在两个袋子里取1个M豆的方式，只有两种取法，方法a和方法b，
根据全概率公式，可以得出，P(D) 称之为标准化常量
思考4：当看到了取得的M豆，一个是黄色，一个是绿色之后，
那么是方法a和方法b的概率分别为多少。这种概率称之为后验概率
那么是方法a和方法b的概率分别为多少。这种概率称之为后验概率
得到一个黄色，一个绿色，黄色是袋A 绿色是袋B的概率为 ：20/27
得到一个黄色，一个绿色，黄色是袋B，绿色是袋A的概率为：7/27
steven的问题
解答
误诊问题
解决思路
贝叶斯公式的不同解释
假说（Hypothesis）与证据（evidence）解释
第一步：合理设立假设 Hypothesis
第二步：计算，当前假设在没有任何条件限制下的概率 P(H) 先验概率
第三步：计算当提供了一些 evidence 描述后，在符合当前假设H的数据中，符合 evidence 的概率。P(E|H) 似然概率
第四步：思考当前提供的 evidence 对样本空间的影响 P(E) 概率常数
第五步：计算 当前提供的证据 evidence 对支撑假设 Hypothesis 的概率 P(H|E) 后验概率
多路径采样的解释
点击查看图解
解释
第一步：从整体考虑，如果要完成事件D，有哪些途径
第二步：分别计算不同路径下，完成事件D的概率
第三步：计算完成事件D的概率
第四步：计算在完成事件D的前提下，通过不同路径的概率
独立性
问题：数学家带炸弹上飞机，会影响恐怖分子带炸弹上飞机的概率么？明显不会！
独立性的定义
描述性定义：随机事件B的发生概率，不受随机事件A发生与否的影响
数学定义：两个随机事件如果满足上面表达式，则说明随机事件A与随机事件B相互独立
思考,上图所示的随机事件相互独立吗？
必然事件和不可能事件与任意事件相互独立
多个事件的独立性
三个事件的相互独立的讨论
随机事件A，随机事件B，随机事件C，两两独立
随机事件A,随机事件B,随机事件C,相互独立，不仅两两独立，三个事件也要相互独立
独立性的性质
A与B相互独立，A与B的逆事件，A的逆事件与B的逆事件，A的逆事件与B事件均相互独立
A与B的逆事件也相互独立
独立性的判定
直观判定：若试验独立，则两个事件相互独立
随机变量
引入：古典概型中，描述样本空间和样本点，用的是语言化或者是标识化的描述
例如：进行抛一枚硬币三次观察正反面情况的随机试验。
为便于分析，引入随机变量的概念，用X表示随机事件A的不同情况
随机变量X是将数值与随机事件和样本点联系到了一起，在表述和计算概率时引入了数学抽象
另外一些例子：投骰子两次，X表示数字之和
随机变量X可以取：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
例，当X=7时，代表的意义
分别计算不同随机变量对应的概率：P(X=2),P(X=3),.....,P(X=12)
如图
可以画出不同随机变量X，不同取值对应概率的对象
上面例子，也可以改变X的条件，X表示两次点数的绝对值
此时随机变量X可以取，0,1,2,3,4,5
分别计算：P(X=0),P(X=1),P(X=2),...,P(X=5)的概率
画图
通过图像，也可以很方便计算 P(X>1),P(X<4)的概率
随机变量的概念：定义在样本空间上的实值函数，定义域是样本空间，值域随机事件的不同可能所对应的实数
随机变量的取值：X(e)=x 表示满足等式 X(e)=x 所规定条件的所有样本点组成的集合，这个集合是样本空间Ω的一个子集。
随机变量的取值：X(e)=x 表示满足等式 X(e)=x 所规定条件的所有样本点组成的集合，这个集合是样本空间Ω的一个子集。
如
离散型随机变量
X有有限个，或者无限可列个的随机变量
例子
抛三次硬币，正面的次数 X=0,1,2,3
某城市120急救台一昼夜收到呼唤的次数 X=0,1,2,3,……
分布律
如：掷骰子，2次，X两个点数和
分布律的性质
分布律的例题
有一辆汽车通过4个红绿灯，每个红绿灯通过和禁止通过的概率均为0.5,X是在第几个红绿等停下，计算X的分布律
方法
第一步：计算离散型随机变量所有可能的取值
第二步：计算每个取值下的概率P{X=x}
推导过程
离散分布
0-1分布：随机变量只取0和1，其分布律如图，则称：随机变量X，服从参数为p的0-1分布。
应用
出生的性别
产品的是否合格
特点：样本点只有两个，或者样本空间中样本点不止2个，但是某个随机试验只有两种结果，都是服从0-1分布
二项分布，伯努利分布
引例
引例：掷骰子10次，计算出现4次点数为1的概率，根据出现1点的不同次数，计算分布律，如上图所示
伯努利试验：某个随机试验只有两个结果，A发生或者不发生。设A发生的概率为p，P(A) = p
n重伯努利试验：如果将伯努利试验重复进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验
二项分布：以X代表n重伯努利试验，随机事件A发生的次数，那么X的分布律如图，
那么可以称X 满足参数为：n、p 的二项分布。记作 X~b(n,p)
那么可以称X 满足参数为：n、p 的二项分布。记作 X~b(n,p)
例题
某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品，已知某一大批产品一级品率为0.2，
现在从中随机的抽查20只，问20只元件中恰有k只是一级品的概率是多少？
现在从中随机的抽查20只，问20只元件中恰有k只是一级品的概率是多少？
如图，恰好有k只是一级品的概率分布律。发现恰好有4只是一级品的概率最高
某人进行射击，设每次射击命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率
至少击中k次的概率分布，发现命中率为0.02，在400次射击中，至少中5次的概率依然很高，但是至少中15次概率几乎为0
80台同类型的机器，每台机器故障率0.01，一台设备的故障能由1人处理。
有两种分配维修工人的方案：
A方案，配备4人，每人维护20台机器。
B方案，配备3人，每人维护80台机器。
问题：比较上面两种方案当设备发生故障而不能及时维修的概率。
有两种分配维修工人的方案：
A方案，配备4人，每人维护20台机器。
B方案，配备3人，每人维护80台机器。
问题：比较上面两种方案当设备发生故障而不能及时维修的概率。
泊松分布
引例：n重伯努利试验，如果只进行一次，概率分布为0-1分布，如果进行无穷次呢？
对二项分布求极限
验证：
当重复次数足够多，且随机事件发生的概率又很小时，二项分布可以用泊松分布近似
几何分布
引例：某随机事件A发生的概率为p，进行一项重复随机试验，直到随机事件A发生，试验终止。
计算，第k 次终止的概率，此时随机变量X的分布律称之为几何分布
计算，第k 次终止的概率，此时随机变量X的分布律称之为几何分布
例题：某人投篮命中率为0.8，那么他在5次内投篮命中的概率为
例题2：某人投篮命中率为0.1，要问投多少次一定能命中。
超几何分布
引例：N件产品中有M件次品，抽取n个产品。X表示一共抽到k个次品的概率。
此时随机变量X的分布律服从参数为（N,M,n）的超几何分布
此时随机变量X的分布律服从参数为（N,M,n）的超几何分布
解释：
100件产品中，有10件次品，现在抽取10个产品，这个10个产品中有0-10个是次品的概率分布
离散型随机变量分布函数
问题引入：
在讨论概率分布问题时，
离散型随机变量可以用分布律表示，
但连续性随机变量就无法用分布律表示了。
在讨论概率分布问题时，
离散型随机变量可以用分布律表示，
但连续性随机变量就无法用分布律表示了。
随机变量X的分布函数，对于任意实数x，x∈R，定义以上函数，该函数称之为随机变量X的概率分布函数
定义域：R
值域：[0,1]
F(x)是单调不减函数
分布函数的两个极限
分布函数时右连续的
例题
已知分布律，计算推导概率分布函数
已知分布函数，推导分布律
根据分布函数，推导离散随机变量的分布律
连续型随机变量分布函数
引例：一个直径为2米的圆盘，假设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与圆盘面积成正比，
并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。
并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。
讨论
按照离散型随机变量分布函数计算分布律的思路
如果是连续随机变量，根据定积分的定义，上面的式子可以表示成：
根据分布函数，可得
连续型随机变量的定义：对于随机变量X的分布函数F(x)，若存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x，有上式
则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数。
则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数。
概率密度函数f(x)的性质
性质1：f(x)>0
性质2：几何意义，概率密度函数与x轴围成的面积=1
证明
性质3：计算概率P{x1<X≤x2}
离散型的求法：P{x1<X≤x2} = F(x2)-F(x1)=P{X≤x2} - P{X≤x1}
连续型的求法：
性质4：若f(x)在x0处连续，那么F(x)在x0处一定可导
连续型随机变量的性质
性质1：连续型随机变量的分布函数F(x)一定是连续的
从分布函数F(x)的函数图像可以看出是连续的
性质2：若f(x)在x0处连续，那么F(x)在x0处一定可导
性质3：a是常数，P{X=a}=0
证明：
专业优势
专业特色
定位优势
发展前景
团队优势
职业：硕士
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