考研数一第七章
2020-05-22 22:48:30 0 举报
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考研数一第七章
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大纲/内容
第七章 无穷级数
常数级项数 计算
在正项级数计算的一般计算方法总集
判断级数是否在无穷远处为0
可计算出改级数在无穷远处,趋向于1,则该级数发散
最小极限替换
在具体的大题求解时,用泰勒公式会更具有说服力一些
收缩变换
此题需要注意,分子转分母那一步,此为解题关键之一
由这两题可以得到一个处理根号时的基本思想
正项敛散性判断公式应用前需确认是正项级数
交错级数敛散性判断
利用莱布尼茨公式进行判断,此题使用的单调性求解
级数与证明题的综合
得到an收敛后,直接利用an的有界性直接证明anbn绝对收敛
比值法求导正项级数时,需注意这只是充分条件,也就是说正项级数收敛不能得到这个条件
利用上面的不等式用bn来表示an,即可的解
求导证明题中的常见公式
利用莱布尼茨公式,以及此题的基本公式求解
导数与级数的综合
积分中值定理
此题可用之前an+1-an的级数收敛特性来直接求解
泰勒公式
幂级数计算
收敛域计算
变量代换:将复杂的式子转换为t的n次方等形式
将函数展开为幂级数
用微分j积分求导展开式时要注意0点的微分值
例如,本题先用微分化简三角函数,再用积分求原先的值,不过期间要注意0的积分值
sinx+cosx的幂级数之和
此函数直接求导将会有
级数求和
应用泰勒公式时注意级数的下标,泰勒公式一般从0开始,如果下标不一样需要补齐
此题还用到了积分法,来消除n
替换法:将题中常数的n次方替换为x的n次方
这是个常用的级数,注意下角标是1
关于n2*xN的处理:两次导数
当求函数的级数和时:
第一步:求导函数的收敛域
第二步:求导函数收敛域内,无意义点的值
第三步:求导收敛域内函数的级数和
注意,转换过程中的分母,以及指数函数,这两种情况是比较常见会带来无意义点的情况
泰勒公式的使用
三角级数计算
三角级数收敛说明:点的收敛性需依照狄利克雷定理,不能通过点左极限或者右极限存在就只能一边的值
函数傅里叶展开
此题有经典的傅里叶积分式子,建议多多推导
常数级项数
级数性质
改变级数前有限项不影响级数敛散性
收敛级数加括号任收敛
一个级数加括号以后收敛,原级数不一定收敛
一个级数加括号以后发散,原级数一定发散
正项级数的敛散性;判定方法
比较判别法
比值判定法
根值判定法
上面两种判定方法均为充分条件,不为必要条件
交错级数的敛散性判定方法
莱布尼茨判定法
任意项级数的敛散性
绝对收敛的级数一定收敛
条件收敛的级数所有正项构成的函数一定发散
幂级数
幂级数收敛半径
一个幂级数的收敛半径总是存在
阿贝尔定理:
这也是收敛半径求导的一个办法,
求导方法
泰勒级数展开
泰勒级数:
几个常用的麦克劳林公式:
三角级数
傅里叶级数公式
收敛性定理:狄利克雷定理
1,函数除有限第一类间隔点以后都连续
2,只有有限个极值点
周期为2Pi的函数傅里叶展开
周期为2l的函数傅里叶展开
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