考研数一线性代数
2020-05-29 12:01:25 2 举报AI智能生成
考研数一线性代数
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大纲/内容
第一章 行列式 的计算
行列式
数学归纳法
本题设计到n+1,n,n-1,三项，所以使用第二种形式
行列式的和裂项
注意本题的裂项是有前提条件的，要注意
行列式积的使用
首先根据题目要求列出行列式的等式
然后根据行列式积的关系将右侧华为k*{a1, a2, a3 } 的形式
第一种方法，利用行列式的性质消除项
第二种方法 ，直接转换为两个举阵的乘积
行列式相似的使用
转换为 由特征值构成的最简式子
行列式的余子式相加的求解
第一种方法：利用行列式的行展开公式求解
第二种方法 :求出伴随矩阵
第二章 矩阵 的计算
AB = 0 ， 可能 A ！= 0 且 B！+ 0
矩阵的迹，为 对角元素 之和
反对称矩阵的证明 ：
矩阵相关系数的关系： a11 =a22 =ann =0,a12+a21 =0 等
证明A 为零矩阵
AtA =0 则 A =0 【At 为A 的转置】
r ( AtA) = r(A)
r (A) =0 ,则 A 为零矩阵
求 矩阵 A 的n 次方
A 的秩 为 1
A 为 三角矩阵，可分离求n次方
伴随矩阵 的秩
伴随矩阵 由 余子式组成 ，
证明 r (A) = n-1
由余子式得，r (A) >=1
可逆的求导
证明 AB = E，则 ，A B 可逆，
求秩相加的处理
AB =0 ，r（A）+r（B）<= n
r（A）+r（B）>= r（AB）
第三章 向量 的计算
向量的线性表示
对于线性相关的理解
a,b,c,线性相关，不等于 a,可以用b,c线性表示，例如在本题中，a,不一定可以用b,c 代替
线性无关的证明
定义法证明
正交向量的线性相关证明
利用正交的性质和线性无关的定义来证明线性相关性
极大证明无关组证明
极大无关组的表出，在举阵基础变换后可以直接替代，
向量组正交求导
列方程然后结合线性无关的定义求导
矩阵正交的证明
At = A -1【A的倒置等于A的逆】
过渡矩阵求导
过渡矩阵的求导
证明相同坐标
第四章 线性方程组 的计算
判断方程组 是否有解
求证 r ( A ) = r （A | b）
余子式的使用
余子式 的秩非常特殊 ，在题目中合理的利用，可以方便解题
由基础解系判段解向量
求证基础解系
l利用基础解析的性质，求解
求导两个方程的公共解
1 ，求导两个方程的基础解
2 ， 求导两个基础解得公共解
A， B 分别为 方程的基础解
同解的证明
1 ， 证明A方程组的解满足B方程组的解
2 ， 证明B方程组的解满足A方程组的解
第二题 ， 利用 同解方程组的性质求解
线性相关的证明
第五章 特征方程 的计算
特征向量的求导
在求导特征值的过程中，可以通过特征值的性质来求导特征值，在本题中，1 + （-2） +（-1） = y1 + y2 + y3;
在对特征向量的描述时，不要忘记变量不能为0这一条
特征值 的变换
特征值的取值范围
定义法求特征值取值范围 ， 但不能得出特征值。
特征值相同的证明
本题也是，比较有用的公式，做题中可以直接用到
证明 特征方程相同即可证明具有相同的特征值。
再用定义法证明特征值相同时，需考虑特征向量为0的情况。
当A,B相似时，A,B 有相同的特征值，反之不成立。若A,B有相同且单根的特征值时，A,,B相似。
相似对角矩阵的证明
相似对角阵 ， 线性无关特征向量等于对应特征值的重数。
本题也可以作为比较有用的公式，可以直接用到
分别求出特征值，以及特征向量，就可以看出是否相似对角阵
a1,a2,a3,a4,为特征向量 ，
由矩阵秩，可以得到一部分的线性无关解向量的组成，
利用实对称矩阵的性质来反求矩阵
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交
P 为3种特征向量 表示
将P 正交标准化 为Q后 ，可以减少求逆的计算
利用相似的性质，求导
特征值相同
利用特征方程求A的n次方
第一步， 分块
利用实对称矩阵方程
第六章 二次型 的计算
标准型的转换
1，求特征值
2，求特征向量
3，求标准型
特征向量正交化，当遇到n重根时，求出一个特征向量a后，可以先使第二向量b先正交a,在带入方程求向量b
正交变换化只能化二次型为标准型
配方法的使用
有平方项
此题为配方法的基本应用
可逆线性变换
即使项不够，也要写上，不然变换是不可逆的
没有平方项
利用中间变量求导 ， 得出平方项
标准形转规范性
次序变换
变换特征向量的位置，即可变换标准矩阵的特征值次序
正定矩阵的判断
定义法证明
矩阵求正定阵 ，首先求导矩阵对称， 然后利用正定矩阵的性质证明正定性
求导，矩阵的对称性
i不等与j的处理
将所有项放在一起 ， 讨论j不等于i 与 j 等于i 两种情况。
第一章 行列式
行列式
n阶行列式
行列式的性质：
经过转置，行列式的值不变，即 |At|=|A|。
两行互换位置，行列式的值变号。
若某行有公因式k，可以把k直接提出行列式外
若某两行的元素成比例，则行列式值为0。
行列式之和：
把某行的K倍加到另一行上，行列式值不变。
行列式按行展开：
用代数余子式表示
a(i,j)的余子式
代数余子式与余子式
特殊式子展开
对角线行列式展开
拉普拉斯展开
范德蒙列展开式：
行列式计算公式
|kA| = kn|A| 【k的n次方】
|A B| = |A| * |B|
|A*| = |A|(n-1) 【|A|的n-1 次方】
A 的逆矩阵 的行列式 等于 A 行列式的倒数
A 的行列式 等于 A 的特征值 之积
伴随矩阵的公式：
第二章 矩阵
矩阵的概念
矩阵的式子：
矩阵的基本运算：
矩阵相加：
矩阵相乘：
常数相乘
矩阵相乘
左乘与右乘的区别
矩阵转置公式：
伴随矩阵与求逆的公式：
正交阵：
可逆矩阵
证明可逆的条件
可逆矩阵的求导
可逆矩阵倒置
初等变换
用初等矩阵P左乘A，作了一次矩阵P的行变换，右乘相当于矩阵P的列变换
矩阵A的等价标准型：
矩阵的秩
矩阵秩的公式
假如A可逆则，
分块矩阵的倒置
第三章 向量
向量内积
线性等价
设有两个n维向量组，（1）a1,a2,....,an ；（2）b1,b2,b3,...,bn ： 若B组向量都可以让A组向量线性线性表出，则称B可以由A表出
如果 A 、B 可以相互线性表出，则这两个向量组等价
只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组
向量的正交化
如果A是正交矩阵
At = A -1【A的倒置等于A的逆】
行列式等于-1或1
第四章 线性方程组
克莫拉法则
基础解系
1 ，a1,a2,a3,a4,..,an ,都是方程组的解向量
2 ，a1,a2,a3,a4,..,an ,线性无关
3 ，a1,a2,a3,a4,..,an 可以线性表出任何解向量
齐次线性方程组求解
化简方程组，构建方程组
赋值求解
第五章 特征方程
特征值 特征向量;
y 为特征值 ， a 为 特征向量
特征值性质：
特征向量求导方法：
n阶方程组 A 可对角化 的 充分必要条件 ：
A 有 n 个 线性无关的特征向量
如 y1 != y2 是A 的特征值 ：
A 对应的 的特征向量 a1,a2 线性无关
如 y1 是 A 的 r重特征值：
其对应的线性无关特征向量个数小于等于r
第六章 二次型
二次型概念：
二次型的标准型：
二次型的规范型：
当d1,d2,d3,d4,...,dn ,为1，-1，0，则为规范型
正交变换法：
合同：
二次型其标准中正平方项的项数p, 负平方项数的项数q ， P 称为正惯系数，q 称为负惯系数， p+q =r 是二次型矩阵的秩。
正定举证：
只有平方项的二次型正定，则其系数di > 0 ,
则一般二次项可以通过可逆线性变换变成标准型，通过判断系数是否全大于0，来判断正定矩阵
充分必要条件：
A 的正惯系数为n
存在可逆矩阵使得，CT A C = E 【CT 为 C 的倒置 】
A = DT D 【DT 为 D 的倒置】， D 的可逆矩阵
A 的特征值 全大于0
A 的全部顺序主子式大于0
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