考研数一概率论
2020-06-17 04:37:40 22 举报AI智能生成
考研数一概率论
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大纲/内容
第一章 随机事件和概率 的计算
1和0 的定义
P(A) = 1 ，不代表 A = U 【样本空间】；P(B) = 0 ，不代表 B = 空集合：
例如，在一个以面积为样本空间的集合里，一个点的概率为0，但不为空集
分箱的事件处理
关于此题不能直接用贝叶斯公式求证，需要分别讨论三个地区的概率
硬币的事件处理
先求导硬币正面向上次数与反面向上系数相同，在除2，即刻得此题解
第二章 随机变量及其概率分布 的计算
概率密度的证明
证明概率密度的充要条件
所有项都大于0
所有项之和为1
概率密度的求导
由此题可得，分布函数的求导会更加方便一些
求导概率密度的方法
通过求导分布函数，然后求导来求导
直接求导
概率密度的指数求导
两种求导方法
使用基本公式
利用正态分布求导
混合函数的概率密度求导
第一步求导X的概率密度求导
第二步通过定义法对Y的概率密度求导
第三章 多维随机变量及其概率分布 的计算
二维随机变量的边缘函数求导
求导边缘函数：分布函数直接代值求导.。求导边缘函数还可以通过概率密度的积分求导
n重伯努利二维随机变量
关于n重伯努利的使用需要注意其实验次数n不为0
求概率分布时需要考虑所有情况，当然也包括等于0的情况。
范围性随机变量概率密度的求导
由题目中的范围只能得出范围内的概率密度，所以还要单独考虑其他范围的概率密度
第一步，求出范围内的概率密度
第二步，求出范围外的概率密度
综合表示
概率变量的一些常用性质
最大值处理，前提条件是X,Y相互独立
最小值处理 ，前提条件X,Y 相互独立。
均匀分布的二维随机变量求导
一般关于均匀分布的概率变量，一般采用作图分析法，会更加直接。概率密度的求导可以使用分布函数的性质
离散随机变量与连续随机变量的二维随机变量求导
当X,Y相互独立时，一般采用全概率法求导。
当X,Y不独立时，需要分范围单独考虑分布函数
第四章 随机变量的数字特征 的计算
利用期望的性质求导问题
重要的积分公式：
应用题
定义一个合理的变量可以让结题更加方便
对概率变量的和，求导方差
对于此类的方差共有三种求导方式
第一种，利用方差的公式求导
第二种，直接求导随机变量U=x+y的概率密度
第三种，通过期望的定义直接进行求导
相关系数的求导例程
先求导X,Y的期望和方差，然后通过相关系数的定义直接求导
平均值的相关系数求导
先求导Y1,Yn的期望在通过协方差的定义求导， 由于其中的变量相互独立， 分别求导平均值与随机变量的乘积
正态分布的协方差求导
求导正态分布，可以直接用二维正态分布的相关系数求导
直接求导变量变换之间的协方差
在利用协方差定义求导时，可以用X代替Y进行直接求导
求导分布函数时，也可以用X代替Y进行直接求导
第五章 大数定律和中心极限定理 的计算
中心极限定理的使用
第一步求导概率变量的期望和方差
第六章 数理统计的基本概念 的计算
离散变量样本概率分布的求导
先求出总体的样本分布，不过关于离散概率的分布为本题的重点，以及关于样本的概率分布的理解
求出泊松概率总体的样本分布，此题对于泊松分布的分布概率求导,重点在于考查泊松分布的性质
正态分布的最值的求导
先求出X均值的分布函数，在求导函数P的分布
求导标准正态函数P的导数
求证样本方差的期望等于总体的方差值
求导样本方差的期望
求导样本二阶中心距的期望
样本二阶中心距可以用样本方差的期望求导
第七章 参数估计 的计算
中心距的无偏估计量求导
利用中心距的期望求导，此题的无偏估计量
利用x分布求导样本方差的方差
样本均值平方的x分布的变换
最大似然估计法
当求得最大似然公式为单调函数时，不能通过极值来确定参数，但可以通过参数的范围来确定函数
对于概率收敛的处理
第一题是求导指数积分的两种方式的掌握，第二题是求导最大似然估计量的掌握，第三题是对概率收敛的理解
第一题，利用正态的分布来求导指数的积分，
利用积分的性质求导
第二题，求导最大似然估计值
第三题，利用二阶矩阵的收敛性求导
第八章 假设检验 的计算
假设检验的应用
第一章 随机事件和概率
事件、样本空间、事件间的关系与运算
样本空间：
随机试验的每一种可能的结果称为样本点，所有样本点的集合称为样本空间U
互斥事件与对立事件：
互斥事件是指AB= 0 ，对立事件是指 AB=0 ，A U B = 1.【对立事件的证明】
在等式两边与同一事件相交或者相并，其结果等式保持不变，反之则不成立。
概率、条件概率、独立性和五大公式
条件概率：
事件独立性：
p(AB)=P(A)P(B)
n个事件相互独立需要2^n-n-1个等式成立
A与B相互独立，则 ~A 与B 等也相互独立
A1,A2，A3,,,An 相互独立,则A1,A2,A3,,,,An 两两独立，反之，不一定成立
加法公式：
贝叶斯公式：
条件概率的公式
独立计算时的基本公式：
古典概型与伯努利概型
n重伯努利公式：
第二章 随机变量及其概率分布
随机变量及其分布函数
分布函数：
分布函数的性质：
分布函数是单调非减函数
右连续性
点连续的计算
如果点连续，则点概率的概率为0
离散型随机变量和连续型随机变量
离散型随机变量的分布律：
连续型随机变量：
连续型随机变量F(x)必连续，但f(x)不一定连续
常用分布
二项分布：
分布律
重点记录
几何分布：
超几何分布：
抽取次品的概率计算
泊松分布：
分布律：
均匀分布：
概率密度：
指数分布：
概率密度：
分布函数：
正态分布：
概率密度：
分布函数：
第三章 多维随机变量及其概率分布
二维随机变量及其分布
离散型随机变量的分布律：
连续型随机变量的边缘分布：
一般需结合其范围写出完整的边缘分布
连续型随机变量的条件分布：
重点注意，该函数的前提条件
随机变量的独立性
随机变量的独立性：
离散型随机变量的独立性：
连续型随机变量的独立性：
二维正态分布
二维正态分布：
表示方式：
性质：
前提条件是（X,Y）服从二维正态分布
如果X,Y均服从一维正态，且相互独立，则aX+bY 必正态分布。
两个随机变量函数的分布
Z=X + Y 的概率分布
当 X,Y 概念独立时
第四章 随机变量的数字特征
随机变量的数学期望和方差
数学期望与独立性的关系：
方差
定义：
计算公式：
性质：
特殊公式：
了解各个公式的求导过程
矩、协方差和相关系数
协方程
定义：
性质：
相关系数：
第五章 大数定律和中心极限定理
切比雪夫不等式：
切比雪夫大数定理：
伯努利大数定理：
辛钦大数定理：
中心极限定理：
第六章 数理统计的基本概念
总体、样本、统计量和样本数字特征
样本数字特征的性质
样本均值期望
样本均值方差
样本方差期望
样本数字特征
样本均值
样本方差
常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布
X分布：
定义
上a分位点：
性质：
关于X的期望与方差
t分布：
定义：
t分布为偶函数
上a分位点：
性质：
F分布：
定义：
性质：
一个正态总体的抽样分布：
性质：
归一化为标准正态分布以方便计算
在计算样本方差的期望和方差时，可以用x分布的性质求导
在计算样本均值平方的期望和方差时，可以用x分布的性质求导
第七章 参数估计
点估计
无偏估计量：
求证无偏估计量
中心距的两大公式：
第一个公式，用于求导中心距的期望，第二个公式，用于将中心距转换为总体方差
估计量的求导和区间估计
矩估计：
最大似然估计量：
最大似然方程：
计算：
置信区间：
第八章 假设检验
两类错误：
拒绝实际真的假设H0（弃真）称为第一类错误
接受实际不真的假设H0（ 纳伪）称为第二类错误
显著性水平：
在假设检验中允许犯第一类错误的概率a称为显著水平，它表现了对H0的弃真的控制程度。
显著性检验的步：
正态分布的假设检验：
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