怕、高等数学
2022-06-25 09:35:07 0 举报AI智能生成
高数框架
作者其他创作
大纲/内容
四、不定积分
不定积分的概念与性质
1、定义
2、原函数
存在定理
若f(x)在区间I上连续，则一定存在原函数
相关定理
由注意第二点
3、与微分的关系
直接积分法
注意事项
最后结果记得加后缀C
幂函数的定积分的分母(u+1)转上来时，记得是倒数
基本积分公式表中的易错负号别给我整错喽
换元积分法
1、第一类换元法（凑微分）
线性凑微分
非线性凑微分
蓝框的不太熟练，多注意，红色的前缀不要漏了
换元法总结1
绝对值符号不能少
换元法总结2
三角函数的不定积分
sinx与cosx
奇数次型
将奇数的三角函数甩一个到后面
偶数次型------降次、化成多项式
注意sin2xdx=1/2*sin2xd2x的系数变化
系数在这里还是很容易出错的！多多注意！
系数型
变形后化成多项式
不要学了难的，忘了简单的怎么做哦
secx与tanx
都是偶数次,或仅secx是偶数次，提去secx^2甩成tanx
两个都是奇数次，或仅有tanx是奇数次，提取tanxsecx甩成secx
如果tanx为奇次，secx为偶次，则以上两种方法都可以
如果是其他情况，就用分部积分法
2.第二类换元法
1.三角代换法
记得最后要把t换回来
要作图辅助
子主题
2.倒代换法
子主题
3.简单无理数代换法
最后要把t换回来
第二点P是n和m的最小公倍数
对应第一点
对应第二点（此题的公倍数是·6）
对应第三点
4.指数代换
分部积分法
前者为u后者为v
2、适用范围
指数函数与正/余弦函数一起会产生循环
被积函数中出现两个基本函数，则考虑用分部积分法
有理函数的积分
1、真分式的化假分式
利用多项式除法（加减一个），化成多项式与真分式之和的形式
2.真分式化简
分母因式分解/裂项
分子通分，去分母，求ABC
待定系数法解方程组，即两边系数一致
赋值法，带特殊值，使之为零的值
五、定积分
定积分的概念与性质
1、定义
定积分与不定积分不同，它不是函数，是和式的极限，是一个数
有关无关
和[a,b]的分割方式、x的取法、积分变量用什么字母无关
与被积函数和积分区间有关
可积的条件
f(x)在[a,b]上连续，则可积；
f(x)在[a,b]有界且有有限个间断点，则可积
f(x)有界是可积的必要条件，非充分条件
几何意义
f(x)<0，定积分等于梯形面积相反数
几何意义
f(x)有正有负，定积分等于面积代数和
2、性质
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5：可加性
应用于求分段函数的定积分，如y=|x|
性质6：当f(x)=1时
性质7
比较定理，当f(x)<=g(x)时
比较积分函数时，可用做差法，通过单调性判断函数大小
性质8：估值定理，最大/小值为M和m
中值定理
中值定理的几何意义
应用于求定积分的极限
微积分基本公式
1、积分上限函数
概念
积分上限函数的计算
求积分上限函数的导数
求导数公式
求积分上限函数的极限
求极限时会用到（洛必达·）
2、定积分计算 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本公式）
定积分的基本积分方法
1.换元法
注意与不定积分换元法的不同
周期函数的定积分
周期函数 的定积分 f(x)在[0,1]连续
奇偶函数的定积分 f(x)在[-a,a]上连续
2.分部积分法 反、对、幂、三、指
广义积分
1、无限区间/无穷限的反常积分
2、无界函数的反常积分
定积分的应用
几何应用
求平面图形面积
1.先画图
2.求交点（作为后面的积分区间）
3.根据图形写出定积分函数，并计算
根据实际图形选择用y或x当自变量
经济应用
六、微分方程
微分方程的基本概念
定义
含有未知函数的导数或微分的方程
常微分：未知函数是一元函数的，例：式中只有一个导数y'
偏微分：未知函数是多元函数的，例式中有两个或以上的导数y'、z'等
阶
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数
解
注意
微分方程的解是函数，而非常数
通解
解中含有任意常数，且任意函数的个数与微分方程的阶数相同
特解
确定了通解中任意常数以后的解
定解条件
初值条件
边值条件
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式
可分离变量微分方程
先分离变量，再两端积分得隐式通解
齐次微分方程
x和y的次数是相等的，可化成y/x的形式
1.化成齐次方程2.变量代换成u3.分离变量4.最后把变量换回来
一阶线性微分方程
一阶线性齐次微分方程
该方程是可分离变量的方程，直接分离变量即可
一阶线性非齐次微分方程
常数变易法
通解公式
先把方程变换成齐次方程的形式，找出Q(x),P(x)
再代入公式计算
可降阶的二阶微分方程
连续两次积分达到降阶的效果
先变量代换，再分离变量，最后两端连续两次积分
先变量代换，再分离变量，最后两端连续两次积分
一、函数与极限
函数
函数
1、定义
2、特性
a、有界性
b、单调性
c、奇偶性
d、周期性
3、反函数与复合函数
4、函数的运算
5、初等函数
数列的极限
1、定义
2、性质
唯一性
有界性
保号性
函数的极限
1、定义
2、性质
唯一性
局部有界性
局部保号性
无穷大与无穷小
1、无穷小
2、无穷大
3、无穷小与无穷大的关系
极限运算法则
1、四则运算法则
2、复合函数运算
极限存在准则&两个重要极限
1、存在准则
夹逼准则
单调有界准则
2、重要极限
两个重要极限
无穷小的比较
定义
定理1
定理2
函数的连续性与间断点
定义
间断点分类
第一类间断点
第二类间断点
连续函数的运算与初等函数的连续性
闭区间上连续函数的性质
1、有界性与最大值最小值定理
2、零点定理
3、介值定理
二、导数与微分
导数概念
1、定义
2、几何意义
求斜率
求切线方程和法线方程
3、可导一定连续，连续不一定可导
导数的求导法则
1、四则法则
2、反函数求导法则
3、复合函数求导法则
4、常用导数公式
高阶导数
1、几个重要结论
2、莱布尼茨公式
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
函数的微分
1、定义
2、几何意义
切线上点的纵坐标的相应增量
3、微分公式&微分运算法则
三、微分中值定理与导数的应用
微分中值定理
1、罗尔定理
2、拉格朗日中值定理
3、柯西中值定理
洛必达法则
泰勒公式
1、泰勒中值定理1
2、泰勒中值定理2
函数的单调性与曲线的凹凸性
1、单调性（驻点）
2、凹凸性（拐点）
函数的极值与最大值最小值
函数的描绘
步骤
齐次线性微分方程的概念
九、多元函数微积分
多元函数
点集的基本知识
多元函数的概念
定义
一元函数只有一个自变量，多元函数有多个自变量
以上是二元函数的定义，二元函数记为z=f(x,y)
二元及二元以上的统称多元函数
二元函数定义域
包括平面点集、平面区域（开区域、闭区域）
二元函数的几何意义
是空间中的一个曲面
八个卦限（由上至下逆时针记忆），z为竖坐标
偏导数
子主题
二阶偏导数
混合偏导数，分母中那个自变量在前，就先对它求导
全微分
子主题
子主题
二重积分
性质
性质1：常数分子可以提到积分号前面
性质2：函数和的·二重积分等于函数二重积分的和
性质3：若区域D被分成两个闭区域D1和D2，则
性质4：若在D上，f(x，y)=1，a为D的面积为
计算
常规运算
几何运算
1.画图，找域
2.找到在x/y轴上的投影范围[ ，]
3.根据图形的函数化成实际需要的形式（投影在什么轴上，就以其为自变量）
4.投影范围作为第二重积分的上下限，函数作为第一重积分的上下限，写出二重积分的式子并计算
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