一元函数微分学的概念
2020-08-07 10:56:38 17 举报AI智能生成
一元函数微分学
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大纲/内容
微分等式和不等式问题
微分等式问题的通常形式
证明函数的零点个数
证明恒等式
方程列问题
区间列问题
微分不等式的通常形式
构造辅助函数
用单调性
用极值
用凹凸性
用拉格朗日中值定理
用柯西中值定理
用泰勒中值定理
一元函数微分学的概念
微分
微分的定义
常通过“正方形及其增加量”的模型来理解
如果题目让计算微分，即是计算dy，与求导相似，只需要在后面加上dx即可
搞清楚线性主部，增量等几个概念
导数
导数的定义式
导数的存在性
左导数=右导数
常研究存在性的点
分段函数的分段点
抽象函数的特指点
抽象函数的泛指点
四则运算中的特殊点
常见的几个不存在点
需要特殊注意分段点和带绝对值符号时候的0点
导数中有无定义点时，该点要通过定义法单独计算
一元函数微分学的计算
几个基本求导公式要背熟
微分dy=导数*dx
几种特殊式子的求导计算
隐函数
两边同时求导
反函数
一阶反函数求导简单，要记好二阶反函数求导的公式
多项相乘除
变成对数的加法好解
参数求导
用公式即可
幂指函数
高阶求导
数学归纳法
把高阶求导的十个常见展开式背下来
把自己归纳总结的分式高阶求导背下来
熟练掌握高阶求导三部曲
先写通式
再写对应题目函数的具体展开式
消除掉对应项
剩下的即是其高阶求导的结果
一元函数微分学的应用
几何应用
通过“祖孙三代”来研究函数图像的问题
极值问题
单调性问题和连续问题
切线、法线、截距
凹凸性和拐点问题
渐近线的求法
垂直渐近线
水平渐近线
斜渐近线
k如何求
b如何求
曲率和曲率半径
相关变化率问题
通过中间量来传递变化路径
通常研究的函数有
直角坐标系函数
参数方程
极坐标方程
极坐标通常转换为参数方程来进行处理
分段函数
隐函数
物理应用
通常为求A对B的变化率问题，然后我们需要从A到B研究出一条可导路径
中值定理
常见的中值定理
连续函数的存在性定理
零点定理
介值定理
费马定理
通常作为小定理与其他的搭配使用
罗尔定理
通常等式较多，且给了函数值
拉格朗日中值定理
见到研究f和f`关系以及f-f的时候要考虑
柯西中值定理
通常会明显出现ln和分式
泰勒中值定理
研究的跨度较大时候，考虑泰勒
中值定理证明题的准备工作
确定好“可疑点”
构造好辅助函数
其他几种较为复杂较为难的综合性问题
通常为压轴题，最后再考虑
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