线性代数
2020-09-05 10:30:26 40 举报AI智能生成
线性代数是数学的一个分支，主要研究向量、向量空间（也叫线性空间）、线性变换和它们的表示。线性代数是计算机科学、电子工程、经济学、物理学等众多学科的基础。它的核心概念包括矩阵、行列式、特征值和特征向量等。线性代数的理论和应用广泛存在于各种科学和工程领域，如数据分析、信号处理、图像识别等。通过学习线性代数，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题。
作者其他创作
大纲/内容
4.线性方程组
齐次线性方程组
Am×nX=0有解的条件
1、Ax=0至少有一个零解
2、当r(A)=n时，A的列向量组线性无关，Ax=0有唯一零解
3、r(A)<0时Ax=0有非零解
4、当m=n时，|A|!=0则Ax=0有唯一零解，|A|=0，Ax=0有非零解
1、Ax=0至少有一个零解
2、当r(A)=n时，A的列向量组线性无关，Ax=0有唯一零解
3、r(A)<0时Ax=0有非零解
4、当m=n时，|A|!=0则Ax=0有唯一零解，|A|=0，Ax=0有非零解
Am×nX=0的通解的结构
非齐次线性方程组
Am×nX=b有解的条件
1、r(A)=r(A|b)=n有唯一解
2、r(A)=r(A|b) <n有无穷多解
3、r(A)!=r(A|b),无解
4、当m=n时，|A|!=0则Ax=b有唯一解，|A|=0，解不确定
1、r(A)=r(A|b)=n有唯一解
2、r(A)=r(A|b) <n有无穷多解
3、r(A)!=r(A|b),无解
4、当m=n时，|A|!=0则Ax=b有唯一解，|A|=0，解不确定
Am×nX=b通解的结构
齐次方程的通解➕非齐次方程的特解
齐次方程的通解➕非齐次方程的特解
抽象方程组的解与解的判别
基础解系的三个条件：
1、是方程的解
2、解向量线性无关
3、基础解系的个数为s=n-r
1、是方程的解
2、解向量线性无关
3、基础解系的个数为s=n-r
解的性质
克莱默法则
非齐次线性方程组
行列式不得0，唯一解
行列式得0，无解或无穷多解
行列式得0，无解或无穷多解
齐次线性方程组
行列式不得0，唯一零解
行列式得0，无穷多解
行列式得0，无穷多解
线性方程组的公共解、同解
5.特征值与特征向量
向量正交和内积
向量内积(α,β)^2 <=||α||*||β||
α1，α2，α3
β1，β2，β3
正交化：
β1=α1
β2=α2-(α2*β1)β1/(β1*β1)
单位化：
α1=β1/||β1||
β1，β2，β3
正交化：
β1=α1
β2=α2-(α2*β1)β1/(β1*β1)
单位化：
α1=β1/||β1||
A，B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵
A为正交矩阵，则|A|为+1和-1,|A|=+1时A为奇数阶，则A必有特征是为+1
|A|=-1时A必有特征值-1
|A|=-1时A必有特征值-1
实对称矩阵A，λ1，λ2是A的不同的特征值，α1，α2是属于λ1，λ2的特征向量，则α1，α2正交
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的行和为a，则a是矩阵的其中一个特征值
特征值和=tr(A)
|A| = 特征值的积
A可逆则所有特征值都不为0
0是A的特征值<-->|A|=0
A可逆则所有特征值都不为0
0是A的特征值<-->|A|=0
特征值和特征向量的计算
幂等矩阵A^2=A则特征值只有0和1
对合矩阵A^2=E特征值只有1和-1
矩阵相似的必要条件
行列式相等
tr(A)=tr(B)
特征值相同，但特征向量一般不同
秩相同
|λE-A|=|λE-B|
矩阵相似的结论
f(A)~f(B)，A+E~B+E，f函数可以有A逆，A伴随，但是不能是A转置，A转置+E与B转置+E不一定相似
A逆~B逆，A伴随~B伴随，A转置~B转置
相似传递性
矩阵的对角化
1°先看是不是实对bai称矩阵，如果du是可以对角化，如果不是看第二步zhi
2°算矩阵的特征值dao，如果特征值都不同，则可以对角化，若特征值有重根再看第三步
3°算有重根的特征值对应的特征多项式的秩，如果秩等于矩阵的阶数减去重数，也就是这个公式r(λiE-A)＝n-ni，相等则可对角化，不等则可以判断该矩阵不能对角化
2°算矩阵的特征值dao，如果特征值都不同，则可以对角化，若特征值有重根再看第三步
3°算有重根的特征值对应的特征多项式的秩，如果秩等于矩阵的阶数减去重数，也就是这个公式r(λiE-A)＝n-ni，相等则可对角化，不等则可以判断该矩阵不能对角化
|λE-A|有三个单跟，对应三个线性无关的特征向量，则A可以相似对角化
若A的特征方程有三个重跟，A又不是对角矩阵，则A一定不可以相似对角化
成比例的矩阵只有在tr(A)!=0时才能相似对角化
实对称矩阵
6.二次型
二次型与对称矩阵
化二次型为标准型和规范型
配方法
A的主对角线元素aii是平方项的系数，aij是混合项系数的一般
正交变换法
①找矩阵
②ξ1，ξ2，ξ3-->η1，η2，η3正交单位化
③令Q=(η1，η2，η3)-->QTAQ=QTAQ=Λ
④f=XTAX=(QY)T*AQY=YT*QT*AQY=YT*ΛY
②ξ1，ξ2，ξ3-->η1，η2，η3正交单位化
③令Q=(η1，η2，η3)-->QTAQ=QTAQ=Λ
④f=XTAX=(QY)T*AQY=YT*QT*AQY=YT*ΛY
合同
B=CTAC
合同矩阵和合同二次型本质上是一样的，主要掌握判别矩阵合同的方法，也就是二次型的充要条件
合同矩阵和合同二次型本质上是一样的，主要掌握判别矩阵合同的方法，也就是二次型的充要条件
惯性定理
正定二次型与正定矩阵
定义
充要条件
对任意x!=0，有xTAx>0
f的正惯性指数p=n
存在可逆矩阵D使A=DTD
A~=E
A的特征值λi>0
A的全部顺序主子式均大于0
必要条件
aii>0
|A|>0
判定
具体型二次型
抽象型二次型
1.行列式
行列式的性质
交换（负号）
数乘
裂开
倍加（不变）
行列式的展开
余子式、代数余子式的定义
行列式的展开式，及逆运算
行列式的计算
定义法
公式法
展开法
化三角法
递推法
数学归纳法
加边法
特征值法
代数余子式和余子式的计算
具体型行列式计算
抽象行列式计算
特殊行列式计算
爪型：利用主（副）对角线元素消去非零列（行）的n-1个元素，最后化成上（下）三角行列式
类爪型：利用行列式性质，再化成上（下）三角形行列式
两杠一星：定义法和展开法求解
X型：非零元素仅在主副对角线上，主要用定义法，公式法，化三角法
三对角行列式：可以用归纳法：
2.矩阵
矩阵的基本概念
矩阵的运算
加（减）法
行列式
数乘
行列式
转置
性质
相乘的转置
行列式不变
相乘
4个【注】：AB=0，不能推得A=0或B=0
AB=AC且A！=0，不能推得B=C
一般乘法没有交换律，即AB！=BA
A、B为方阵且AB=BA，则称A、B可以交换
AB=AC且A！=0，不能推得B=C
一般乘法没有交换律，即AB！=BA
A、B为方阵且AB=BA，则称A、B可以交换
4种可交换的情形：A与E、kE、A的逆矩阵、A的伴随矩阵
行列式
幂
A与B的平方和、平方差、立方和只在可交换情形下成立
行列式
若r(A) = 1可以分解为一个列向量与一个行向量的乘积，再利用矩阵乘法结合律
若A=B+C，且BC=CB，当B，C中有一个低次幂为0时可以使用
A可相似对角化，P^-1AP=∧，∧是A的特征值为主对角线的对角矩阵，A=P∧P^-1，A^n=P∧^nP^-1
若A能分块为
通过A^2，A^3找规律
矩阵运算常犯错误
逆矩阵
定义：AB=BA=E
判定：行列式不得0
求法
初等行变换
伴随矩阵的核心公式 A* = |A|A^-1=A*A=AA*，|A*| = |A|^(n-1)
(kA)*= k^(n-1)A*
(kA)*= k^(n-1)A*
性质
数乘的逆
证明矩阵可逆
伴随矩阵
定义：代数余子式
伴随矩阵的核心公式
求法
定义
伴随矩阵的核心公式
性质
伴随的伴随、数乘的伴随
行列式
矩阵分块法
定义
运算
加（减）法
数乘
相乘
转置
小块转置+整体转置
分块对角阵
定义
行列式
逆矩阵
分别取逆
n次方
副对角线的逆矩阵
分别取逆，但要逆序
矩阵的初等变换与初等矩阵
初等行列变换的定义
行变换---->左乘
列变换---->右乘
行变换---->左乘
列变换---->右乘
等价关系A~B
等价具有自反性、对称性、传递性
初等矩阵
性质
行列式
对换=-1；数乘=k；倍加=1
逆矩阵
对换相等；数乘1/k；倍加-k（代入）
相关结论（性质）
左行右列
方阵A可逆的充要条件
A=一系列初等矩阵之积，（也即A等价于E）
A等价于E
同型矩阵A与B等价的充要条件
PAQ=B（也即同型矩阵等价的充要条件是秩相等）
矩阵的秩
定义：最高阶非零子式（r阶子式），称数r为矩阵A的秩
性质（5条）
秩的计算方法
行列式
初等行变换
夹逼准则
重要结论（6条）
矩阵的秩相等<-->矩阵等价
3.向量
向量的定义
不全为零的k1，k2....ks
使得k1α1+...ksαs=0
称α1，。。。，αs线性相关
使得k1α1+...ksαs=0
称α1，。。。，αs线性相关
向量的线性相关性
1、线性相关的冲要条件：
Ax=0有非零解
r(A) <s
A=(α1....αs)
2、线性无关的冲要条件：
Ax=0只有零解
r(A)=s
Ax=0有非零解
r(A) <s
A=(α1....αs)
2、线性无关的冲要条件：
Ax=0只有零解
r(A)=s
原向量相关，增加向量个数或减少维数后向量仍然相关
原向量无关，减少向量个数或增加向量维数后向量仍然无关
以少表多，多必相关
n+1个n维列向量必相关
不同特征值对应的特征向量必无关
向量的线性表示与向量组等价
线性表示的冲要条件
1、Ax=b有解
2、r(α1,α2,....αs) = r(α1,α2,....αs,β)
1、Ax=b有解
2、r(α1,α2,....αs) = r(α1,α2,....αs,β)
1、向量组等价的必要条件：
向量组一与向量组二等价--->r(一)=r(二)
2、向量组等价的冲要条件：
向量组一可由向量组二线性表示，且r(一)=r(二) <----> 向量组一与向量组二等价
向量组一与向量组二等价--->r(一)=r(二)
2、向量组等价的冲要条件：
向量组一可由向量组二线性表示，且r(一)=r(二) <----> 向量组一与向量组二等价
线性表示与等价的结论：
设A=(α1,α2,...,αs)n×s，B=(β1,...βs)n×s，向量组一：α1,α2,...αs,向量组二：β1,...βs，则向量组一与向量组二等价 ---->矩阵A与矩阵B等价，反之不行
向量的秩与极大线性无关组
在向量组中，存在部分向量，满足：
1、这一部分向量线性无关
2、向量组中任一向量均可由这个部分向量线性表出，则称这个部分向量是原向量的极大线性无关组
1、这一部分向量线性无关
2、向量组中任一向量均可由这个部分向量线性表出，则称这个部分向量是原向量的极大线性无关组
1、极大线性无关组一般不唯一，但每一个极大线性无关组所含向量个数是一样的
2、只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组
3、一个线性无关组的极大线性无关组就是该向量本身
4、一个向量组的任意两个极大线性无关组都是等价向量组
2、只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组
3、一个线性无关组的极大线性无关组就是该向量本身
4、一个向量组的任意两个极大线性无关组都是等价向量组
行列式不得0，秩满，A可逆
行列式得0，秩不满，A不可逆
行列式得0，秩不满，A不可逆
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