考研线性代数解题方法思维导图模板_ProcessOn思维导图、流程图

4.线性方程组

齐次线性方程组

无穷解

0解

非齐次线性方程组

|A|≠0-》方程恒有解（唯一解）

无穷解

无解

求基础解系

加减消元-》行最简-》或化到有单位矩阵即可

对于齐次方程组只有0解，基础解系不存在

证明α1...αs是AX=0的基础解析

①验证Aαi=0

②证明α1...αs无关

定义法

③说明t=n-r(A)

例a1,a2,a3是齐次方程组AX=0的一个基础解析-》AX=0的解集的秩为3(t=3)

线性方程组的公共解、同解

公共解

α既是方程组1又是方程组2的解

已知两方程求公共解

联立直接求解

通过2方程的通解寻找公共解

把方程1的通解代入方程2得出k1，k2关系求出公共解

已知两方程的基础解系求公共解

设非零公共解为r=x1α1+x2α2=-y1β1-y2β2

即x1α1+x2α2+y1β1+y2β2=0->有非零解<->r(A)<n

求出通解->公共解

r(A)=r(B)

同解

若α是方程组1的解α必是方程组2的解，反过来也一样

同解，则对应的矩阵秩相等r(A)=r(B)

应用

求矩阵

自变量用t，u

直接求得矩阵用t，v表示，不用求基础解系

矩阵的相似等价合同

等价

r(A)=r(B)

相似

A~Λ,B~Λ->A~B

A、B均为实对称矩阵(同阶)

有n个不同的特征值

k重特征值对应k个无关的向量

n-r(λE-A)=k->A可对角化

A的特征值等于对角矩阵的对角线元素(可对角化)
B.............................................................................

满足其中任意一个即不相似

λA≠λB

r(A)≠r(B)

|A|≠|B|

∑aii≠∑bii

A~B

A+kE~B+kE

A^n~B^n

实对称矩阵A，B

A~B<=>λA=λB

合同

AB合同<=>C^TAC=B，C可逆
<=>x^TAx和x^TBx有相同的p、q

A为标准形，通过x^TAx来求得p、q

非标准形则通过特征值

|λE-A|=0

特征值性质+分块

分块：A=C+kE

特征值性质：λA=λC+k

自变量取值

令0，1

计算就基础解系

其余写赋值为1列的相反数

令k

方程组的应用

求矩阵

线性表示

矩阵

分块矩阵

基本运算

转置

n次方

求逆

齐次方程组

非齐次方程组

伴随矩阵

(实)对称矩阵

aij=aji

A=A^T

不同特征值对应的特征向量相互正交

A*，k倍，n次，相加的对称矩阵仍为对称矩阵

反对称矩阵

-A=A^T

aij=-aji

aii=0

正交矩阵

A^TA=E

A^T=A^-1

|A|=1/-1

行/列都为单位向量

每行/列各元素平方和=1

行列向量两两正交(内积=0)

对角矩阵

主对角线元素以为全为0

对角矩阵的逆

对角矩阵的n次

子主题

等价矩阵

初等矩阵

相似矩阵

P^-1AP=B

忆

知识点

公式

转置公式

逆矩阵公式

子主题

行列式公式

矩阵秩公式

r(AA^T)=r(A)

副对角线公式

上下三角

分块的逆

拉普拉斯

特征值特征向量

A，λ，α关系表

对角化
实对称

正交

k重特征值

求A\A^n

已知不同特征值对应的特征向量相互正交
可直接取1（如x1+x3=0）取(1,0,-1)

各矩阵的性质

实对称矩阵

可对角化

可正交对角化

当r(A)=1时

λ以及|λE-A|

A^n

合同相似等价

合同<->C^TAC=B(C可逆）

相似<->P^-1AP=B

等价<->PAQ=B(P,Q可逆)
<->r相同

初等矩阵

左行右列

初等矩阵的逆

倍加

相反数

两行/列互换

本身

倍乘

倒数

向量的性质

αβ关系图

正定

证明正定

1证明实对称

2证明正定

定义法 xTAx>0（任意x≠0）

特征值全大于0

顺序主子式全大于0

正定的可得到哪些性质

判断是否正定

平方项系数有负或0的不正定

无平方项配方

f=x1x2

令x1=y1+y2
x2=y1-y2

深入理解坐标变换

坐标变换x=Q(正交矩阵)y(正交变换)

正交变换为坐标变换的特例

特征值与秩相关

r=1->λ=∑aii,0,0

判断向量组是否为基础解析

满足方程的解

线性无关

n-r个数

求正交矩阵时正交化

对于同一特征值不同的特征向量
若不正交(内积为0)则需施密特正交化

秩

AA*=|A|E

r(A*)

n

r(A)=n

1

r(A)=n-1

0

等于非0特征值个数

因为相似对角矩阵

分块矩阵行列式

拉普拉斯（上下三角）

注意点

求特征向量步骤格式

其中k1，k2是不全为0的常数

求正交矩阵Q(对角化)步骤

求可逆矩阵P(对角化)

求出基础解系即可
各基础解系组成P

通解

唯一解不加k

无穷解加k

特征值和特征向量题求矩阵A

通过A(α1,α2,α3)=(x,x,x)来求

通过P-1AP=对角矩阵

通过QTAQ=对角矩阵

求坐标变换化标准型格式

求出特征值和特征向量后
令x=Qy（写出矩阵形式）
有x^TAx=y^TΛy=标准形(如3y2^2+2y3^2)

矩阵逆

对于方阵来说

标准行

为特征值（平方项系数）

求解方程组的k可为0(k为任意常数)

方程组求出的x为基础解析

求矩阵设自变量为k

AB=0

B的列向量为方程Ax=0的解

r(A)+r(B)<=n

λ=0（若B为非0列向量）
且B为λ=0对应的特征向量

已知一个特征向量，求其他特征值对应的特征向量

通过正交设为(x1,x2,x3)^T

正交化特征向量的时候

β2要提出前面系数再单位化

方便γ3表示

求二次型xTAx

求A

QTAQ=对角矩阵

求特征向量方程加减消元

直接领某行为0

上下三角矩阵

特征值为朱对角线元素

秩

r<n

行列式为0

特征λ一定有0

合同相似

相似

特征值得一样
相似于同一个对角矩阵

合同

通过特征值判断pq是否相同

高阶导数

泰勒+麦克劳林求和公式

有时注意fx的奇偶性

若为偶函数则导函数0点处等于0

多项式行列式的常数项

x为0时

由(A-E)(A-2E)=0

可得λ

由λ可得A是否可逆

特征值特征向量常用的一个结论

n-r(λE-A)=k重

向量组等价

互相线性表表示

r(∂1∂2∂3)=r(∂1∂2∂3ß1ß2ß3)

r(ß1ß2ß3)=r...

一个矩阵乘上一个满秩的方阵秩不变

合同->秩相等

1.行列式

全排列与逆序数

行列式的定义

三阶行列式定义方法计算（暴力计算）

常见行列式的结论

主对角线、副对角线
拉普拉斯展开式
范德蒙行列式
ab主对角线、ab副对角线
爪型行列式
递推

两个数学归纳法

三、四对角线

逐行相加

每行的k倍加到第一行

行列式的性质

交换（负号）

数乘

裂开

倍加（不变）

行列式的展开

余子式、代数余子式的定义

行列式的展开式，及逆运算

展开：任意一行/列的所有元素和对应的代数余子式乘积之和

克莱默法则

非齐次线性方程组

行列式不得0，唯一解
行列式得0，无解或无穷多解

齐次线性方程组

行列式不得0，唯一零解
行列式得0，无穷多解

计算

某列/行的k倍加到其余各列/行

个行/列的k倍加到第一行/列

逐行相加(第一行的k倍加到第二行，第二行的k倍加到第三行)

用相似

求|A|，由P^-1AP=B，即求|B|

证明

反证法

特征值

若|A|等于0，λ=0是A的一个特征值

|A|=λ乘积

2.矩阵

矩阵的基本概念

矩阵的运算

加（减）法

行列式

同类型的矩阵才能相加

数乘

行列式

一个矩阵的行=一个矩阵的列

转置

性质

相乘的转置

行列式不变

相乘

4个【注】：AB=0，不能推得A=0或B=0
AB=AC且A！=0，不能推得B=C
一般乘法没有交换律，即AB！=BA
A、B为方阵且AB=BA，则称A、B可以交换

4种可交换的情形：A与E、kE、A的逆矩阵、A的伴随矩阵

行列式

幂

A与B的平方和、平方差、立方和只在可交换情形下成立

行列式

逆矩阵

定义：AB=BA=E

判定：行列式不得0

求法

初等行变换

伴随矩阵的核心公式

性质

数乘的逆

行列式

证明

线性无关，r<n

|A|≠0

先得确定可逆才能写出-1的形式

重要定理

A=P1P2P3...

A可由单位矩阵经过有限次初等变换得到

0不是矩阵A的特征值

A与单位矩阵等价

伴随矩阵

定义：代数余子式

伴随矩阵的核心公式

求法

定义

伴随矩阵的核心公式

性质

伴随的伴随、数乘的伴随

行列式

矩阵分块法

定义

运算

加（减）法

数乘

相乘

转置

小块转置+整体转置

分块对角阵

定义

行列式

逆矩阵

分别取逆

n次方

副对角线的逆矩阵

分别取逆，但要逆序

矩阵的初等变换与初等矩阵

初等行列变换的定义

对换

数乘

倍加

等价关系A~B

等价具有自反性、对称性、传递性

初等矩阵

定义：单位矩阵经一次初等变换所得的矩阵称为初等矩（方）阵

性质

行列式

对换=-1；数乘=k；倍加=1

逆矩阵

对换相等；数乘1/k；倍加-k（代入）