考研线性代数解题方法
2021-03-25 21:34:36 1 举报AI智能生成
2022考研线性代数总结各类知识点题型解法步骤分类
作者其他创作
大纲/内容
4.线性方程组
齐次线性方程组
无穷解
0解
非齐次线性方程组
|A|≠0-》方程恒有解（唯一解）
无解
求基础解系
加减消元-》行最简-》或化到有单位矩阵即可
对于齐次方程组只有0解，基础解系不存在
证明α1...αs是AX=0的基础解析
①验证Aαi=0
②证明α1...αs无关
定义法
③说明t=n-r(A)
线性方程组的公共解、同解
公共解
α既是方程组1又是方程组2的解
已知两方程求公共解
联立直接求解
通过2方程的通解寻找公共解
把方程1的通解代入方程2得出k1，k2关系求出公共解
已知两方程的基础解系求公共解
设非零公共解为r=x1α1+x2α2=-y1β1-y2β2
即x1α1+x2α2+y1β1+y2β2=0->有非零解<->r(A)<n
求出通解->公共解
r(A)=r(B)
同解
若α是方程组1的解α必是方程组2的解，反过来也一样
同解，则对应的矩阵秩相等r(A)=r(B)
应用
求矩阵
自变量用t，u
直接求得矩阵用t，v表示，不用求基础解系
矩阵的相似等价合同
等价
相似
A、B均为实对称矩阵(同阶)
有n个不同的特征值
k重特征值对应k个无关的向量
n-r(λE-A)=k->A可对角化
A的特征值等于对角矩阵的对角线元素(可对角化)B.............................................................................
满足其中任意一个即不相似
λA≠λB
r(A)≠r(B)
|A|≠|B|
∑aii≠∑bii
A~B
A+kE~B+kE
A^n~B^n
实对称矩阵A，B
A~B<=>λA=λB
合同
AB合同<=>C^TAC=B，C可逆<=>x^TAx和x^TBx有相同的p、q
A为标准形，通过x^TAx来求得p、q
非标准形则通过特征值
|λE-A|=0
特征值性质+分块
分块：A=C+kE
特征值性质：λA=λC+k
自变量取值
令0，1
计算就基础解系
其余写赋值为1列的相反数
令k
方程组的应用
线性表示
矩阵
分块矩阵
基本运算
转置
n次方
求逆
齐次方程组
非齐次方程组
伴随矩阵
(实)对称矩阵
aij=aji
A=A^T
不同特征值对应的特征向量相互正交
A*，k倍，n次，相加的对称矩阵仍为对称矩阵
反对称矩阵
-A=A^T
aij=-aji
aii=0
正交矩阵
A^TA=E
A^T=A^-1
|A|=1/-1
行/列都为单位向量
每行/列各元素平方和=1
行列向量两两正交(内积=0)
对角矩阵
主对角线元素以为全为0
对角矩阵的逆
对角矩阵的n次
子主题
等价矩阵
初等矩阵
相似矩阵
P^-1AP=B
忆
知识点
公式
转置公式
逆矩阵公式
行列式公式
矩阵秩公式
r(AA^T)=r(A)
副对角线公式
上下三角
分块的逆
拉普拉斯
特征值特征向量
A，λ，α关系表
对角化实对称
正交
k重特征值
求A\\A^n
各矩阵的性质
实对称矩阵
可对角化
可正交对角化
当r(A)=1时
λ以及|λE-A|
A^n
合同相似等价
合同<->C^TAC=B(C可逆）
相似<->P^-1AP=B
左行右列
初等矩阵的逆
倍加
相反数
两行/列互换
本身
倍乘
倒数
向量的性质
αβ关系图
正定
证明正定
1证明实对称
2证明正定
定义法 xTAx>0（任意x≠0）
特征值全大于0
顺序主子式全大于0
正定的可得到哪些性质
判断是否正定
平方项系数有负或0的不正定
无平方项配方
f=x1x2
令x1=y1+y2 x2=y1-y2
深入理解坐标变换
坐标变换x=Q(正交矩阵)y(正交变换)
正交变换为坐标变换的特例
特征值与秩相关
判断向量组是否为基础解析
满足方程的解
线性无关
n-r个数
求正交矩阵时正交化
对于同一特征值不同的特征向量若不正交(内积为0)则需施密特正交化
秩
AA*=|A|E
r(A*)
n
r(A)=n
1
r(A)=n-1
0
等于非0特征值个数
因为相似对角矩阵
分块矩阵行列式
拉普拉斯（上下三角）
注意点
B站
求特征向量步骤格式
其中k1，k2是不全为0的 常数
求正交矩阵Q(对角化)步骤
求可逆矩阵P(对角化)
求出基础解系即可各基础解系组成P
通解
唯一解不加k
无穷解加k
特征值和特征向量题求矩阵A
通过P-1AP=对角矩阵
通过QTAQ=对角矩阵
求坐标变换化标准型格式
求出特征值和特征向量后令x=Qy（写出矩阵形式）有x^TAx=y^TΛy=标准形(如3y2^2+2y3^2)
矩阵逆
对于方阵来说
标准行
为特征值（平方项系数）
求解方程组的k可为0(k为任意常数)
方程组求出的x为基础解析
求矩阵设自变量为k
AB=0
B的列向量为方程Ax=0的解
r(A)+r(B)<=n
λ=0（若B为非0列向量）且B为λ=0对应的特征向量
已知一个特征向量，求其他特征值对应的特征向量
正交化特征向量的时候
β2要提出前面系数再单位化
方便γ3表示
求二次型xTAx
求A
QTAQ=对角矩阵
求特征向量方程加减消元
直接领某行为0
上下三角矩阵
特征值为朱对角线元素
r<n
行列式为0
特征λ一定有0
合同相似
特征值得一样相似于同一个对角矩阵
通过特征值判断pq是否相同
高阶导数
泰勒+麦克劳林求和公式
有时注意fx的奇偶性
若为偶函数则导函数0点处等于0
多项式行列式的常数项
x为0时
由(A-E)(A-2E)=0
可得λ
由λ可得A是否可逆
特征值特征向量常用的一个结论
n-r(λE-A)=k重
向量组等价
互相线性表表示
r(∂1∂2∂3)=r(∂1∂2∂3ß1ß2ß3)
r(ß1ß2ß3)=r...
一个矩阵乘上一个满秩的方阵秩不变
合同->秩相等
线性代数
1.行列式
全排列与逆序数
行列式的定义
三阶行列式定义方法计算（暴力计算）
常见行列式的结论
主对角线、副对角线拉普拉斯展开式范德蒙行列式ab主对角线、ab副对角线爪型行列式递推
两个数学归纳法
三、四对角线
逐行相加
每行的k倍加到第一行
变上下三角
行列式的性质
交换（负号）
数乘
裂开
倍加（不变）
行列式的展开
余子式、代数余子式的定义
行列式的展开式，及逆运算
展开：任意一行/列的所有元素和对应的代数余子式乘积之和
克莱默法则
行列式不得0，唯一解行列式得0，无解或无穷多解
行列式不得0，唯一零解行列式得0，无穷多解
计算
某列/行的k倍加到其余各列/行
个行/列的k倍加到第一行/列
逐行相加(第一行的k倍加到第二行，第二行的k倍加到第三行)
用相似
求|A|，由P^-1AP=B，即求|B|
证明
反证法
特征值
若|A|等于0，λ=0是A的一个特征值
|A|=λ乘积
2.矩阵
矩阵的基本概念
矩阵的运算
加（减）法
行列式
同类型的矩阵才能相加
一个矩阵的行=一个矩阵的列
性质
相乘的转置
行列式不变
相乘
4个【注】：AB=0，不能推得A=0或B=0 AB=AC且A！=0，不能推得B=C 一般乘法没有交换律，即AB！=BA A、B为方阵且AB=BA，则称A、B可以交换
4种可交换的情形：A与E、kE、A的逆矩阵、A的伴随矩阵
幂
A与B的平方和、平方差、立方和只在可交换情形下成立
逆矩阵
定义：AB=BA=E
判定：行列式不得0
求法
初等行变换
伴随矩阵的核心公式
数乘的逆
线性无关，r<n
|A|≠0
先得确定可逆才能写出-1的形式
重要定理
A=P1P2P3...
A可由单位矩阵经过有限次初等变换得到
0不是矩阵A的特征值
A与单位矩阵等价
定义：代数余子式
定义
伴随的伴随、数乘的伴随
矩阵分块法
运算
小块转置+整体转置
分块对角阵
分别取逆
副对角线的逆矩阵
分别取逆，但要逆序
矩阵的初等变换与初等矩阵
经过初等变换后秩不变
初等行列变换的定义
对换
等价关系A~B
等价具有自反性、对称性、传递性
定义：单位矩阵经一次初等变换所得的矩阵称为初等矩（方）阵
对换=-1；数乘=k；倍加=1
对换相等；数乘1/k；倍加-k（代入）
相关结论（性质）
方阵A可逆的充要条件
A=一系列初等矩阵之积，（也即A等价于E）
A等价于E
同型矩阵A与B等价的充要条件
PAQ=B（也即同型矩阵等价的充要条件是秩相等）
矩阵的秩
定义：最高阶非零子式（r阶子式），称数r为矩阵A的秩
性质（5条）
秩的计算方法
重要结论（6条）
A=P1P2.
B经过初等变换后r不变
3.向量
向量重要定理
向量长度||α||=根号下α^Tα（向量的模）
α^Tα=0《-》α=0
向量的线性相关性
相关
n个n维向量判断线性相关
直接用行列式是否为0
不是n个n维(用秩)
设方程x1α1+x2α2+...=0(齐次方程组)
系数矩阵做初等行变换
相关<->方程有非零解<->r<n
2个n维
直接用比例(相除)
x1α1+x2α2=0
定理
n+1个n维向量
多数向量能用少数表示，多数相关
无关判定
定义法(设k1α1+...=0【1】)
重组
k1=k2=...=0
同乘
由A^mα=0知A^m+1=0
用A^m-1左乘【1】两端
得k1=0
k1=0代入【1】得【2】
同理乘A^m-2
得k2=k3=..=0
遇到α1，α2，α之间的关系->建立矩阵与向量相乘
只有零解
r=s
遇到α1，α2，α之间的关系->建立矩阵相乘
反证
如果线性相关
得kp=0与kp≠0矛盾
判断向量组相关无关
观察法能否相加相减的到另外一个
转化成行列式是否等于0
向量的秩与极大线性无关组
极大无关组
Ax=0的任一解可由yita1，yita2...线性表出
加一个线性相关，不加前的一组向量
向量的线性表示
解方程组
1、行阶梯
2、行最简
3、确定主元自变量
向量组与秩相关
两向量组可以相互线性表示
关于自变量赋值
不用1，0赋值直接令=k
求基础解系令1，0
向量组的秩
如果向量组α1...αr与向量组β1...βt都是向量组α1...αs的极大无关组-》r=t
等价->r[1]=r[2]
6.二次型
二次型与对称矩阵
化二次型为标准型
配方法
正交变换
求二次型x^TAx在正交变换下的标准形即求二次型矩阵A的特征值
正负惯性指数前提是标准型
惯性定理
是否合同可通过p，q来确定
正负惯性指数可通过特征值确定
正定二次型与正定矩阵
证明矩阵A正定
检验A为实对称矩阵
定义法：任意X≠0，恒有X^TAX>0
λ>0
判断正定
顺序主子式
填空题选择题
填空题计算题证明题
平方项系数
有负或0不正定
合同变换即A到B的变换
合同矩阵C
任一n阶对称矩阵总可以合同于一个对角矩阵
坐标变换
x=Cy(|C|≠0)
n元二次型x^TAx其中Ashi n阶实对称矩阵必存在正交变换x=Qy(Q为正交矩阵使得x^TAx化为标准形
5.特征值与特征向量
若基本性质都满足且题目矩阵不可对角化
使用A^-1+A~B^-1+B
若发现只有一个选项得出的矩阵相同则该选项相似
λE-A~λE-B
λ可以为任意值，取λ为特征值若不满足则不相似
通过r(λE-A)是否相等，若只有一个选项相等则该选项与题目矩阵相似
判断n-r是否相等即无关的特征向量个数
矩阵的特征值与特征向量
求特征值
行列式计算
两行/列加加减减，至多三行->找出λ-a的公因式
上下三角形的矩阵特征值为主对角线元素
标准形中平方项系数
∑aii=∑λi
特征向量
个数
n个特征值对应n个特征向量
k重特征值必有k个无关的特征向量
(关于实对称矩阵)是否正交
同一特征值对应的不同特征向量也可能正交
特殊矩阵对应的特征值与特征向量
求特殊矩阵的特征值
矩阵的对角化
求可逆矩阵P使P^-1AP=Λ
即求A的特征向量
求λ
求Λ
即求A的λ
判断矩阵是否能对角化
n阶有n个不同特征值
特征值k重根
求特征多项式对应的矩阵秩r
若n-r等于k，则可对角化
否则，不可
A~Λ
A有n个线性无关的特征向量
如果λ是k重特征值，则λ必有k个线性无关的特征向量
n-r(λE-A)=k
变相求出特征多项式对应的矩阵秩-》求解题目矩阵中的参数a
Λ对角线元素为A的特征值
基本性质
秩相等
特征多项式相等
特征多项式等价(λ不一定是特征值)
迹相等
行列式相等
特征值相等
A^T~B^T
A^-1+A~B^-1+B
A-1~A
证明A~B相似
A~对角矩阵，B~对角矩阵->A~B
k重特征值对应k个线性无关的特征向量
特征向量必无关
总存在正交矩阵Q^-1AQ=Q^TAQ=Λ
同样与相似中P的列向量为A的特征向量即这里正交矩阵Q的列向量为A的特征向量
特征向量写法
填空题
直接学出λ对应的α(不用加k)
解答题
加k
行列式不得0，秩满，A可逆行列式得0，秩不满，A不可逆
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