极限与连续
2021-09-07 09:52:29 0 举报AI智能生成
教资科目三数学分析
作者其他创作
大纲/内容
极限及计算
极限的概念
数列极限
∀ε>0，∃N, 当n>N时，有|Xn-a|<ε
函数极限
X->Xo
∀ε>0，∃δ>0, 当0<|X-Xo|<δ时，有|f(x)-A|<ε
X->∞
∀ε>0，∃X>0, 当x>X时，有|f(x)-A|<ε
单侧极限
函数f(x)在点Xo极限存在⇔函数f(x)在点Xo左、右极限存在且相等
极限的基本性质与运算法则
数列极限的基本性质
唯一性
有界性
不等式性质（n->∞）
函数极限的基本性质
局部有界性
不等式性质（X->Xo，去心领域）
运算法则
四则运算
计算方法
代入法（不产生无意义的点）
约公因子法
最高次幂（n->∞,多项式）
等价无穷小
X->0
X->0
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~e^x-1~ln(1+x)
1-cosx~1/2x²
a^x-1~xlna
(1+βx)^α-1~αβx
两个重要极限（整体思想）
洛必达法则
无穷小(大)量
定义
无穷小：limf(x)=0(X->Xo)
无穷大：limf(x)=∞(X->Xo)
比较
设f(x),g(x)都是X->Xo时的无穷小量，且g(x)≠0
limf(x)/limg(x) = 0 ⟹ f(x)是g(x)高阶无穷小量，f(x)=o(g(x))
limf(x)/limg(x) =C≠ 0 ⟹ f(x)是g(x同阶无穷小量
limf(x)/limg(x) = 1 ⟹ f(x)是g(x等阶无穷小量，f(x)~g(x)
limf(x)/limg(x) = ∞ ⟹ f(x)是g(x 低 阶无穷小量，f(x)=O(g(x))
渐近线
水平渐进线
如果当x-> +∞(- ∞ ),limf(x)=c,y=c为水平渐近线
垂直渐进线
如果当x->x0,limf(x)=∞,x=x为垂直渐近线
斜渐近线
如果当x-> +∞(- ∞ ),lim[(f(x)-(ax+b)]=0,其中a,b为常数，y=ax+b为斜渐进线
函数的连续性与间断点
函数的连续性
∀ε>0，∃δ>0, 当x∈U(Xo,δ)时，有|f(x)-f(Xo)|<ε ⇔ f(x)在点Xo处连续
有定义
左连续=右连续
当X->Xo，limf(x)=f(Xo)
单侧连续
函数f(x)在点Xo连续⇔函数f(x)在点Xo左、右极连续在且相等
函数在区间内（上）的连续定义
点连续⟹开区间连续⟹端点连续⟹闭区间连续
闭区间上的连续函数性质
有界性
若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界，即∃M>0,对∀x∈[a,b]，有|f(x)|≤M
最值定理
若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，即∃x₁，x₂∈[a,b]，有f(x₁)≤f(x)≤f(x₂)
介值定理
设函数f(x)在[a,b]上连续，f(a)≠f(b).若c是介于f(a)和f(b)之间的任意实数，至少存在一点x₀∈[a,b]，使得f(x₀)=c.
零点存在定理
若函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则至少存在一点x₀∈[a,b]，使得f(x₀)=0
一致连续性定理
若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一致连续
函数的间断点和分类
第一类间断点（左右极限都存在）
可去间断点（左极限=右极限≠f(Xo)
跳跃间断点(左极限≠右极限)
第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）
无穷间断点(∞ )
震荡间断点(f(x)=sin1/x;f(x)=cos1/x)
0 条评论
下一页
