一元函数微分学
2021-09-18 17:39:14 0 举报AI智能生成
教资科目三·高等数学
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大纲/内容
导数
定义
lim[f(x)-f(x₀)]/x-x₀ （x->x₀）
单侧导数
函数f(x)在点x0可导⇔函数f(x)在点x₀左、右导数存在且相等
几何意义
y=f(x)在点x0处切线的斜率
性质
奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导数是奇函数
求导法则
复合函数求导
隐函数求导
参数方程求导
一阶导数的应用
切线方程
y-f(x₀)=f'(x₀)(x-x₀)
法线方程(和切线垂直的方程)
单调性
f'(x)>0⇒单调递增
f'(x)<0⇒单调递增
驻点
f'(x)=0
极值与最值
极值（驻点或不可导的点）
方法一
求导
求出一阶导数等于0以及不可导的点
穿针引线
方法二
f(x)在x₀二阶可导，且f'(x₀)=0,f''(x₀)≠0
f''(x₀)<0⇒极大值
f''(x₀)>0⇒极小值
最值（连续必有最值）
求极值点
求端点值
比较大小
方程的根和函数的零点
方程f(x)=0有实根⟹函数y=f(x)与x轴有交点⟹y=f(x)有零点
二分法(左右异号的零点)
二阶导数的应用
函数的凹凸性
定义
凹函数： f[(x1+x2)/2]≥[f(x1)+f(x2)]/2
凸函数: f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]/2
定理
凹函数：f''(x)≥0
凸函数:f''(x)≤0
詹森不等式
拐点
定义
函数的凹凸性改变的点
必要条件
拐点⟹f''(x)=0
充分条件
f''(x)在点x0左右两边符号相反
三阶可导。f''(x)=0,q且f'''(x)≠0
微分
定义
dy=y'dx
近似计算
f(x)≈f(x₀)+f'(x₀)Δx
f(x)≈f(0)+f'(0)x
微分学基本定理
费马引理
设函数f(x)在x0的某一邻域有定义，并且在x0处可导。若x0是f(x)的极值点，则f'(x)=0
罗尔定理
f(x)函数在闭区间 [ a,b ] 内连续
f(x)函数在开区间（a,b）内可导
f(a)=f(b)
拉格朗日中值定理
f(x)函数在闭区间 [ a,b ] 内连续
f(x)函数在开区间（a,b）内可导
柯西中值定理
f(x)和g(x)函数在闭区间 [ a,b ] 内连续
f(x)和g(x)函数在开区间（a,b）内可导
g'(x)≠0
微分中值定理的运用
泰勒公式
麦克劳林公式
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