线性代数的矩阵

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。

（1）在解线性方程组中的应用
初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。
（2）用于求解一个矩阵的逆矩阵
有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

三种 
  （1）交换矩阵中某两行（列）的位置；
  （2）用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；
  （3）将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。
1.三类初等矩阵都是可逆矩阵，即非奇异阵。
2.三类初等矩阵行列式的值是：
  （1）：-1
  （2）：k
  （3）：1

m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵（P、Q)，使得A经过有限次的初等变换得到B。

1. 矩阵A和A等价(反身性）；
2. 矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；
3. 矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；
4. 矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)
 注：具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：
     （1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。
     （2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为  可逆矩阵  或  非奇异矩阵 ，且其逆矩阵唯一。

可逆矩阵的性质

判别方法

运算公式

设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。
对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵

设A，B和C是任意同阶方阵，则有；
    （1）反身性：A~ A
    （2）对称性：若A~ B，则 B~ A
    （3）传递性：若A~ B，B~ C，则A~ C
    （4）若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|，tr（A）=tr（B）。
    （5）若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。
    （6）若A~ B，则A与B
          两者的秩相等；
          两者的行列式值相等；
          两者的迹数相等；
          两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；
          两者拥有同样的特征多项式；
          两者拥有同样的初等因子。
   （7）若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。
   （8）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似 。

定理1 
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。
注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。
若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：
（1） 求出全部的特征值；
（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；
（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。
推论1
若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则A与对角矩阵相似。
对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P， 使其为对角阵，则称方阵A可对角化。
定理2 
n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是矩阵A的重特征值。
定理3 
对任意一个n阶矩阵A，都存在n阶可逆矩阵T使得即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似。

判断两个矩阵是否相似的辅助方法： 
（1）判断特征值是否相等；
（2）判断行列式是否相等；
（3）判断迹是否相等；
（4）判断秩是否相等。
以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。
（两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。）

伴随矩阵的定义

伴随矩阵的性质

伴随矩阵相关公式

       广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）
       狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

定义扩展

（1）正定矩阵的行列式恒为正；
（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；
（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；
（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；
（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

对于n阶实对称矩阵A , 表述等价为
（1）A是正定矩阵；
（2）A的一切顺序主子式均为正；
（3）A的一切主子式均为正；
（4）A的特征值均为正；
（5）存在实可逆矩阵C，使A=C′C；
（6）存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；
（7）存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R

（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。