高等数学知识点总结
2021-04-26 16:21:56 0 举报AI智能生成
总结了高等数学上下册中常用的知识体系，不论是考研还是期末考试，都是一份不错的复习材料哦！
作者其他创作
大纲/内容
极限与连续
数列极限
定义
ε-N
性质
唯一性
有界性
保号性
函数极限
定义
ε-δ
U(a, δ)
ε-X
性质
唯一性
局部有界性
保号性
无穷小与无穷大
无穷小
定义
函数
极限为0
性质
0±0=0
K×0=0(k为常数)
f(x)=A(x→x0) ⇔ f(x)=A+α
α→0，|β|<M，则αβ→0
无穷大
定义
性质
1/∞=0
极限的运算法则
四则运算
求导法则
复合函数求导法则
极限存在准则及两个重要极限
极限存在准则
迫敛定理（夹逼定理）
单调有界数列必有极限
两个重要极限
无穷小的比较
比较
高阶无穷小
同阶无穷小
等价无穷小
性质
常见等价无穷小(三类)
函数的连续性与间断点
连续
f(x)在某点连续
左连续
右连续
f(x)在某闭区间连续[a, b]
∀c∈(a,b), ∃f(c-0)=f(c)=f(c+0)
f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)
间断点及其分类
定义
分类
第一类间断点
f(a+0), f(a-0)都存在
f(a+0), f(a-0)都存在
可去间断点
f(a+0)=f(a-0)≠f(a)
f(a+0)=f(a-0)≠f(a)
跳跃间断点
f(a+0)≠f(a-0)
f(a+0)≠f(a-0)
第二类间断点
f(a+0), f(a-0)至少有一个不存在(=∞)
f(a+0), f(a-0)至少有一个不存在(=∞)
连续函数运算及初等函数连续性
连续函数运算
四则运算
f(x), g(x)在x=x0连续，其四则运算结果均保持连续性
复合运算
初等函数连续性
结论
初等函数在其定义域内是连续的
闭区间连续函数性质
最值定理
有界定理
零点定理
介值定理
导数与微分
导数
定义
等价定义
可导 => 连续
可导 <=> 左导数=右导数
求导公式
求导法则
四则法则
反函数求导法则
复合函数求导法则
高阶导数
定义
二阶导数
n阶
求解方法
归纳法
公式法
“此消彼长”
隐函数及由参数方程确定的函数求导
隐函数
方法：求dy/dx，将y看成关于x的函数即可，即y=φ(x)
参数方程确定的函数求导
方法：利用中间变量转化即可
注意认清谁对谁求导
微分
定义
其中A=f'( x。)
其中f(x)可导，不限制在x。处
工具
公式(基本初等函数微分公式)
四则
复合
一阶微分形式不变性
近似计算
前提：x=x。处可微
微分中值定理与导数应用
微分中值定理
罗尔(Rolle)中值定理(R)
① f(x)∈C[a,b]
② f(x)在(a,b)可导
③ f(a)=f(b)
② f(x)在(a,b)可导
③ f(a)=f(b)
∃ξ∈(a,b) 使,f'(ξ)=0
拉格朗日(Lagrange)中值定理(L)
① f(x)∈C[a,b]
② f(x)在(a,b)可导
② f(x)在(a,b)可导
∃ξ∈(a,b) 使,f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a)
柯西(Cauchy)中值定理(C)
① f(x), g(x)∈C[a,b]
② f(x), g(x)在(a,b)可导
③ g'(x)≠0
② f(x), g(x)在(a,b)可导
③ g'(x)≠0
∃ξ∈(a,b) 使 [f(b)-f(a) ] / [ g(b)-g(a) ] = [ f'(ξ)/g'(ξ) ]
洛必达法则
0/0 或 ∞/∞ 型极限求解
0/0
① f(x), F(x)在x=a去心领域可导，F'(x)≠0
② f(x)=0（x->a）, F(x)=0（x->a）
③ f'(x) / F'(x) = A（x->a）
② f(x)=0（x->a）, F(x)=0（x->a）
③ f'(x) / F'(x) = A（x->a）
若f'(x) / F'(x) = A（x->a）不存在，
只能说明洛必达法则用不了，不能说
明极限不存在
只能说明洛必达法则用不了，不能说
明极限不存在
∞/∞
① f(x), F(x)在x=a去心领域可导，F'(x)≠0
② f(x)=∞（x->a）, F(x)=∞（x->a）
③ f'(x) / F'(x) = A（x->a）
② f(x)=∞（x->a）, F(x)=∞（x->a）
③ f'(x) / F'(x) = A（x->a）
泰勒(Taylor)公式
定义
设f(x)在x=x。的邻域内n+1阶可导，则f(x)=Pn(x)+Rn(x)
拉格朗日型余项
皮亚诺型余项
麦克劳林公式
公式(x->0时做替换)
函数单调性与曲线凹凸性
单调性
凹凸性
f(x)∈C [a,b]，(a,b)可导
f''(x)>0(a<x<b)，f(x)在[a,b]上是凹的
f''(x)<0(a<x<b)，f(x)在[a,b]上是凸的
极值和最值
函数极大值与极小值
x=a为f(x)极值点 => f'(a)=0或不存在
x=a为f(x)极值点且f(a)可导 => f'(a)=0
极值求解步骤
找出x∈D
f'(x)=0/不存在 ＝> x=?
判别法
方法一（第一充分条件）
x>a时f'(x)>0
x<a时f'(x)<0
x<a时f'(x)<0
x=a为极小点
x>a时f'(x)<0
x<a时f'(x)>0
x<a时f'(x)>0
x=a为极大点
方法二（第二充分条件）
f''(a)>0
x=a为极小点
f''(x)<0
x=a为极大点
函数最大值与最小值
函数图像描绘
渐近线
水平
铅直
斜
弧微分与曲率
弧微分
y=f(x)
参数方程
曲率与曲率半径
...
不定积分
定义
原函数
设f(x),F(x)(x∈I)，对任意的x∈I，有F'(x)=f(x)，则F(x)为f(x)原函数
一个函数有原函数，则一定有无数个原函数
一个函数任意两个原函数之间相差常数
不定积分
设F(x)为f(x)的一个原函数，F(x)+C为f(x)一切原函数，
则F(x)+C为f(x)的不定积分，记 ∫f(x)dx
则F(x)+C为f(x)的不定积分，记 ∫f(x)dx
∫f(x)dx=F(x)+C
工具
不定积分基本公式
不定积分的性质
积分方法
第一类换元积分法
公式
第二类换元积分法
使用场景
出现 √￣，第一类换元无法解决
平方和差的形式，第一类换元无法解决
分部积分法
使用场景
有理函数不定积分
真分式与假分式
步骤——∫R(x)dx
R(x)为假分式=>R(x)=多项式+真分式
R(x)为真分式=>分子不变，分母因式分解=>拆成部分和
特殊类型
定积分及其应用
定积分
定义
f(x)在[a,b]有界
f(x)在[a,b]有界
f(x)在[a,b]有界不一定可积
f(x)∈C[a,b]，则可积
f(x)在[a.b]有有限 个第一类间断点，则可积
f(x)在[a.b]有有限 个第一类间断点，则可积
性质
和的微积分等于微积分的和
常数k可以提出来
积分区间可分段计算
保号性
积分中值定理
积分基本公式
变限积分的函数
牛顿-莱布尼茨公式
积分中值定理推广
不考虑 ζ=a,b的情况
换元积分与分部积分
换元积分
注意积分上下限也随之变化
分部积分
反常积分(广义积分)
正常积分？
① 积分区间有限
② f(x)在积分区间内连续或有有限个第一类间断点
② f(x)在积分区间内连续或有有限个第一类间断点
两类反常积分
积分区间无限
[a,+∞)
收敛
发散
(-∞,a]
收敛
发散
(-∞，+∞)
取区间一点分段计算
Γ-函数
形式
性质
Γ(α+1) = αΓ(α)
Γ(n+1)=n!
Γ(½) = √π
无界函数反常积分
a为瑕点
收敛
发散
b为瑕点
收敛
发散
瑕点在ab之间
收敛
发散
应用
元素法思想
几何应用
面积
体积
旋转体
截口面积已知的几何体
弧长
物理应用
功
力
微分方程
一些基本概念
微分方程
含有导数或者微分的方程。
若微分方程中只含有一个自变量，一个函数关系称为常微分方程
若微分方程中只含有一个自变量，一个函数关系称为常微分方程
微分方程的阶
设y为x的函数，则x，y的微分方程中，导数或微分的最高阶称为微分方程的阶
微分方程的解
y关于x的微分方程F(...y'', y', y, x) = 0, 若函数y=φ(x)满足F，则称y=φ(x)为微分方程的解
通解
解中含有n个相互独立的任意常数
特解
解中不含常数
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
定义
解法
齐次微分方程
定义
解法
一阶线性微分方程
一阶齐次线性微分方程
形式
通解
一阶非齐线性微分方程
形式
通解（常数变易法）
可降阶的高阶微分方程
降阶还原为一阶即可
f(x, y', y'') = 0
f(y, y', y'') = 0
高阶线性微分方程
基本概念
n阶齐次线性微分方程
n阶非齐线性微分方程
n阶非齐线性微分方程
线性有关:若φ(x)与g(x)之比为常数，则~
线性无关:~
线性无关:~
结构
y''+a(x)y'+b(x)y=0 (1)
y''+a(x)y'+b(x)y=c(x) (2)
y''+a(x)y'+b(x)y=c(x) (2)
常系数齐次线性微分方程
二阶
形式
y''+py'+qy=0
通解
特征方程λ²+pλ+q=0
△>0
△=0
△<0
高阶
常系数非齐线性方程
形式
y''+py'+qy=f(x)
通解
对于一个非齐线性方程，其通解=齐的通解+本身的一个特解
所以关键是找出本身的一个特解
所以关键是找出本身的一个特解
P1，P2为多项式
向量代数与空间解析几何
向量及线性运算
定义
向量
向量相等
向量的模，向量夹角
向量的线性运算
加法
平行四边形法则
三角形法则
减法
从被减向量指向减向量
与常数相乘
空间直角坐标系
xyz轴必须逆时针
向量线性运算的代数表示
向量的模，方向角与方向余弦，投影
模
方向角，方向余弦
单位向量
与a方向相同，长度为1的向量，记 ā°
方向角
向量与xyz轴正方向夹角，记α, β, γ
方向余弦
cosα，cosβ，cosγ
投影
表示AB在u轴上的投影
向量数量积与向量积
数量积（向量参与运算，结果为数）
定义
性质
交换律
数量积(点乘)为0，向量垂直
代数描述
向量积（向量参与运算，结果还是向量）
定义
几何
方向：右手准则
大小：
代数
三角形面积
向量应用（一）——平面及方程
空间曲面
S: F(x, y ,z)=0
特殊情形——平面
点法式：A( x - x。)+B( y - y。)+C( z - z。)
截距式：
一般式：Ax+By+Cz+D=0
平面夹角（不超过90°）
向量应用（二）——空间直线
直线方程
点向式（对称式）：
参数式：
一般式：两平面公共线
L方向向量s：两平面法向量向量积（两法向量均与s垂直）
其他
夹角
两向量
两平面
两直线
直线与平面
距离
两点之距
点到平面之距
平面束
定义：经过直线L的所有平面称L的平面束
平面束方程
空间曲面及方程
柱面
定义：F(x , y)=0为某曲线平行于z轴的柱面
投影曲线：柱面在xoy内的投影
旋转曲面
曲线L
绕x轴旋转
绕y轴旋转
空间曲线及方程
空间曲线形成
一般形式
参数式
曲线特殊形式——直线
投影曲线
多元微分学及应用
理论
多元函数基本概念
平面点集
去心邻域
领域
开集
连通
区域
多元函数概念
z=f(x, y)
多元函数极限
连续性与性质
连续性
性质
最值定理
有界定理
介值定理
偏导数
定义
偏增量
f(x, y)在(x。, y。)处关于x的偏增量
全增量
偏导数
计算时将另一个变量看做常数即可
高阶偏导数
二阶偏导数
若f'(x)对x可偏导
二阶混合偏导数
若f'(x)对y可偏导
若两个二阶混合偏导数皆连续，则两者相等
全微分
二元函数全微分定义
dz=Adx+Bdy
A=f'x
B=f'y
A=f'x
B=f'y
结论
连续可偏导: z=f(x,y)的偏导数皆连续
多元复合函数求导法则
z=f(u,v)
u=φ(t), v=ψ(t)
u=φ(t), v=ψ(t)
z=f(u, v)
z=f(u,v)
u=u(x, y), v=v(x, y)
u=u(x, y), v=v(x, y)
隐函数求导
一个约束条件
一个一元函数
定义
做法
一个二元函数
定义
做法
两个约束条件
定义
做法
应用
几何
空间曲线
切线 & 法平面
切线 & 法平面
参数式
一般式
空间曲面
切平面 & 法线
切平面 & 法线
方向导数与梯度
方向导数
定义
二元
z=f(x,y)在M。处沿射线L的方向导数
三元
u=f(x, y, z)
计算方法
二元
三元
梯度
定义
性质
梯度的方向是函数增长速度最快的方向
梯度的方向是方向导数取得最大值的方向
代数——多元函数极值
定义
（参考函数极值定义）
计算
无条件极值
z=f(x,y),D为开区域，则f(x)在D内极值称为~
条件极值
z=f(x, y)在约束条件φ(x, y)=0下的极值，称为~
重积分
二重积分定义与性质
定义
性质
和的积分=积分的和，系数可提取
区间可分段计算
1的重积分等于积分区域面积
函数大，重积分大
积分中值定理
二重积分计算
直角坐标法
x型区域
y型区域
极坐标法
特征
1. 区域边界含x²+y²
2. f(x,y)含x²+y²
2. f(x,y)含x²+y²
方法
三重积分
定义
性质
计算方法
直角坐标法
铅直投影法
切片法
柱面坐标法
1. 区域D含x²+y²
2.f(x,y)含x²+y²
2.f(x,y)含x²+y²
方法
球面坐标法
1. 区域D含x²+y²+²
2.f(x,y,z)含x²+y²+z²
2.f(x,y,z)含x²+y²+z²
方法
重积分应用
⑩ 曲线与曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
定义
性质
和的积分=积分的和，常数可提取
区间可分段计算
1的积分等于弧长L
函数大，积分大
计算方法
L为直角坐标形式
L为参数式形式
对坐标的曲线积分
定义
2-dim
∫L...表示P(x,y)在有向曲线段L上对坐标x的曲线积分
3-dim
性质
.......
计算
直角坐标
参数方程
格林公式
①D为连通区域（单/多），L为D的正向边界
②P,Q在D上连续可偏导
②P,Q在D上连续可偏导
注意点(关于两个前提条件)
格林公式为闭区域，若不是……
若在D内不连续，则选择挖去包含间断点在内的小区域D'，再进行计算
曲面积分
对面积的曲面积分
定义
计算方法（二重积分法）
对坐标的曲面积分
P在有侧曲面Σ上对坐标y，z的曲面积分
计算方法——二重积分法
高斯公式
Ω是几何区域，Σ为Ω的外表面
P，Q，R在Ω上连续可偏导
P，Q，R在Ω上连续可偏导
三维空间对坐标的曲面积分
基本计算方法——定积分法
斯托克斯公式
说明
dydz=cosαds，dzdx=cosβds，dxdy=cosγds
Σ的界与 Γ的方向按右手法则确定
场论的几个概念
散度
旋度
流量
环流量
积分的核心问题：关于域与界的关系
⑪ 级数
常数项级数
定义
几何级数
p-级数
调和级数
p-级数中p=1时
性质
和的级数=级数的和，常数可提取
级数中增加，删除，修改有限次，级数敛散性不变，但结果不一样
添加括号，级数收敛性不降低(发散变收敛，收敛变更收敛...)
若[常数级数]收敛，则an=0(n->∞)，反之则不成立
审敛法
正向级数
比较法
比较法极限形式
比值法
根值法
交错级数
定义：交错级数是正项和负项交替出现的级数
审敛法——莱布尼茨审敛法
绝对收敛与条件收敛
幂级数
函数项级数
函数项级数
收敛点
收敛域
和函数
定义
基本定理(Abel)
傅里叶级数
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