高等数学 （基础阶段）
2021-04-27 15:52:30 117 举报AI智能生成
考研高等数学知识点
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大纲/内容
第 4 章：不定积分（工具）
知识体系
概念
原函数和不定积分
性质
不定积分的加法和数量积
方法体系
常见的不定积分的基本公式
积分法
第一类换元法
第二类换元法
分部积分法
有理函数的不定积分
第 5 章：定积分及其应用（应用）
知识体系
概念
定积分定义
定积分的还原法和分部积分法
广义积分/反常积分
积分上下限是∞的定积分
有间断点的定积分
定积分在几何上的应用
性质
定积分的一般性质
最大最小值定理
定积分中值定理
定积分的基本定理
积分上限函数（定积分的积分上限是 x 的定积分）
牛顿-莱布尼兹公式
定积分的特殊性质
上下限对称的定积分
∏/2-0的定积分中 ∫f(sinx)dx = ∫f(cosx)dx
周期函数的定积分
方法体系
题型一：定积分的概念与性质解题
题型二：变积分限问题（把x从f中提取出来）
题型三：定积分的计算
Case1：定积分的常规运算
Case2：积分上限函数：把x从f中提取出来
题型四：几何应用
第 6 章：多元微分学（工具）
知识体系
定义
多元微分的极限
多元微分的连续
多元微分的偏导数
多元微分的可微
性质
多元微分在闭区间上连续的性质
最大最小值定理
有界性
介值定理
零点定理
多元微分的连续，可偏导，可微的关系
方法体系
求偏导
多元显函数求偏导
复合函数求偏导
多元隐函数求偏导
求极值
无条件极值
条件极值
第 7 章：微分方程
知识体系
微分方程的定义
微分方程的通解和特解
方法体系
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
齐次微分方程
一阶齐次线性微分方程
一阶非齐次线性微分方程
可降价的高阶微分方程
普通型
缺 y 型
缺 x 型
高阶线性微分方程
定义
二阶线性微分方程解的结构
特例
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程
第 1 章：极限与连续（概念）
极限和无穷小：知识体系
概念
极限
数列极限
函数极限
无穷小
性质
一般性质
唯一性（不重要）
保号性
存在性质
夹逼定理（也可以用来求极限）
单调有界=>有极限
无穷小性质
一般性质：两个无穷小相加减乘或一个无穷小乘以 k ，还是无穷小
常用等价无穷小
两个重要极限
极限和无穷小：方法体系
题型一：n 项和求极限
（n也可能很小，比如n=3）
尝试简化或求和后再求极限（直接法）
夹逼定理（分子齐，分母不齐，用夹逼）
定积分定义求解（分子齐，分母齐，分子比分母少一次）
题型二：证明极限存在
有界且单调=>极限存在
归纳法
求 a(n+1)-an 和 0 的关系
4个重要的不等式
题型三：不定型
7 种不定型求解方法
连续与间断：知识体系
概念
连续：在某点连续和在某区间内连续
间断：两类间断点
性质
在闭区间上连续的函数必有 Max 和 Min
在闭区间上连续的函数必有界
零点定理
介值定理
连续与间断：方法体系
题型四：求某点是否是间断点 & 属于哪种间断点
第 2 章：导数与微分（工具）
知识体系
概念
导数
微分
性质
求导工具
常见的基本公式的导数
函数的和差积商的求导法则
复合求导
反函数求导
两种特殊形式的函数求导
隐函数求导
参数方程求导
方法体系
题型一：根据导数和微分定义求解
题型二：各种形式函数的求导
题型三：高阶导数求导（莱布尼兹公式）
第 3 章：一元微分学（应用）
微分中值定理：知识体系
概念
预备知识：极值点
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
洛必达法则
泰勒公式/泰勒中值定理
微分中值定理：方法体系
题型一：证明 f(x) 的 n 阶导为0。用罗尔中值定理
题型二：仅有 ξ 一个中值项，没有其他字母（两种 case ）
题型三：有 ξ ，也有 a, b（有两种 case ）
题型四：有 ξ 和 η 两个中值项（有三种 case，基础阶段只讲两种）
题型五：拉格朗日中值定理的用法
题型六：麦氏公式求极限（麦克劳林公式）
极值：知识体系
极值：方法体系
题型一：极值点的判断
题型二：证明不等式（ 4 种 case ）
题型三：函数的零点/方程的解
零点定理解题
罗尔定理解题
单调性解题
几个小知识：知识体系
凹凸性
渐近线
弧微分
曲率（暂时跳过不讲）
续
第 8 章：重积分
二重积分：知识体系
定义
性质
二重积分 ：方法体系
直角坐标积分法
极坐标积分法
改变积分次序
三重积分：知识体系
定义
性质
三重积分：方法体系
直角坐标积分法
铅直投影法
切片法
球坐标积分法
第 9 章：级数
知识体系：常数项级数
基本定义
5 条基本性质
收敛级数 * 一个不为0的常数仍收敛
两个收敛级数相加减仍收敛，级数和为两收敛级数和相加减
添加或去掉有限项，级数的敛散性不变。但级数和可能改变
在收敛级数里添加括号，级数仍收敛
收敛级数的一般项趋于0，但一般项趋于0的级数不一定收敛
两个重要级数
p级数
几何级数
正项级数及其审敛法
比较审敛法
比较审敛法的极限形式
比值审敛法
根值审敛法
极限审敛法
交错级数及其审敛法
莱布尼兹定理
绝对收敛与条件收敛
知识体系：幂级数
幂级数定义
收敛半径和收敛域的求法
幂级数的性质
幂级数的和函数在收敛于内连续
幂级数逐项可导
幂级数逐项可积
方法体系：幂级数
函数展开为幂级数
直接法：从函数中凑出幂级数的常用展开式
间接法：求函数导数/原函数的幂级数。再用幂级数的逐项可导/逐项可积性求会目标函数的的幂级数展开式
求和函数：幂级数展开式收为函数
直接法：用幂级数的常用展开式
间接法：用逐项可导/逐项可积性
求指定级数的级数和：求其和函数，再把原式中的x带入和函数中
第 10 章：空间解析几何
知识体系
向量的运算
运算法则
数量积，向量积，混合积
几何角度运算（用向量算）
代数角度运算（用坐标算）
空间平面及其方程
空间平面的一般方程
空间平面的点法式方程
空间平面的截距式方程
空间直线及其方程
空间直线的一般方程
空间直线的对称式方程/点向式方程
空间直线的参数方程
空间曲面及其方程
特殊曲面：柱面，旋转面
空间曲面上某点的 法线 和 切平面
距离公式
两点间的距离
点到平面的距离
两平行平面的距离
点到直线的距离
两条异面/不相交的直线间的距离
方法体系（自己总结的）
已知直线，求旋转曲面的方程
求关于平面的对称点/对称直线
投影和平面束
两直线是否相交
第 11 章：曲线积分和曲面积分
知识体系
对弧长的曲线积分
物理意义：求曲线构件的质量
对坐标的曲线积分
物理意义：求变力沿曲线做的功
对面积的曲面积分
物理意义：求曲面构件的质量
对坐标的曲面积分
物理意义：求单位时间内流入指定侧的流量
斯托克斯公式
三维空间下 对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分的转换公式
方法体系
（线切面法。导即为切）
（线切面法。导即为切）
对弧长的曲线积分
替代法
定积分法：把曲线积分转为定积分
对坐标的曲线积分
定积分法：把曲线积分转为定积分
格林公式：曲线积分和二重积分的互换
与路径无关的曲线积分
对面积的曲面积分
替代法
二重积分法：把曲面积分转为二重积分
对坐标的曲面积分
二重积分法：把曲面积分转为二重积分
高斯公式：曲面积分和三重积分的互换
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