高等数学 (基础阶段)
2021-04-27 15:52:30 115 举报
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考研高等数学知识点
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大纲/内容
第 4 章:不定积分(工具)
知识体系
概念
原函数和不定积分
性质
不定积分的加法和数量积
方法体系
常见的不定积分的基本公式
积分法
第一类换元法
第二类换元法
分部积分法
有理函数的不定积分
第 5 章:定积分及其应用(应用)
知识体系
概念
定积分定义
定积分的还原法和分部积分法
广义积分/反常积分
积分上下限是∞的定积分
有间断点的定积分
定积分在几何上的应用
性质
定积分的一般性质
最大最小值定理
定积分中值定理
定积分的基本定理
积分上限函数(定积分的积分上限是 x 的定积分)
牛顿-莱布尼兹公式
定积分的特殊性质
上下限对称的定积分
∏/2-0的定积分中 ∫f(sinx)dx = ∫f(cosx)dx
周期函数的定积分
方法体系
题型一:定积分的概念与性质解题
题型二:变积分限问题(把x从f中提取出来)
题型三:定积分的计算
Case1:定积分的常规运算
Case2:积分上限函数:把x从f中提取出来
题型四:几何应用
第 6 章:多元微分学(工具)
知识体系
定义
多元微分的极限
多元微分的连续
多元微分的偏导数
多元微分的可微
性质
多元微分在闭区间上连续的性质
最大最小值定理
有界性
介值定理
零点定理
多元微分的连续,可偏导,可微的关系
方法体系
求偏导
多元显函数求偏导
复合函数求偏导
多元隐函数求偏导
求极值
无条件极值
条件极值
第 7 章:微分方程
知识体系
微分方程的定义
微分方程的通解和特解
方法体系
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
齐次微分方程
一阶齐次线性微分方程
一阶非齐次线性微分方程
可降价的高阶微分方程
普通型
缺 y 型
缺 x 型
高阶线性微分方程
定义
二阶线性微分方程解的结构
特例
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程
第 1 章:极限与连续(概念)
极限和无穷小:知识体系
概念
极限
数列极限
函数极限
无穷小
性质
一般性质
唯一性(不重要)
保号性
存在性质
夹逼定理(也可以用来求极限)
单调有界=>有极限
无穷小性质
一般性质:两个无穷小相加减乘或一个无穷小乘以 k ,还是无穷小
常用等价无穷小
两个重要极限
极限和无穷小:方法体系
题型一:n 项和求极限
(n也可能很小,比如n=3)
尝试简化或求和后再求极限(直接法)
夹逼定理(分子齐,分母不齐,用夹逼)
定积分定义求解(分子齐,分母齐,分子比分母少一次)
题型二:证明极限存在
有界且单调=>极限存在
归纳法
求 a(n+1)-an 和 0 的关系
4个重要的不等式
题型三:不定型
7 种不定型求解方法
连续与间断:知识体系
概念
连续:在某点连续和在某区间内连续
间断:两类间断点
性质
在闭区间上连续的函数必有 Max 和 Min
在闭区间上连续的函数必有界
零点定理
介值定理
连续与间断:方法体系
题型四:求某点是否是间断点 & 属于哪种间断点
第 2 章:导数与微分(工具)
知识体系
概念
导数
微分
性质
求导工具
常见的基本公式的导数
函数的和差积商的求导法则
复合求导
反函数求导
两种特殊形式的函数求导
隐函数求导
参数方程求导
方法体系
题型一:根据导数和微分定义求解
题型二:各种形式函数的求导
题型三:高阶导数求导(莱布尼兹公式)
第 3 章:一元微分学(应用)
微分中值定理:知识体系
概念
预备知识:极值点
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
洛必达法则
泰勒公式/泰勒中值定理
微分中值定理:方法体系
题型一:证明 f(x) 的 n 阶导为0。用罗尔中值定理
题型二:仅有 ξ 一个中值项,没有其他字母(两种 case )
题型三:有 ξ ,也有 a, b(有两种 case )
题型四:有 ξ 和 η 两个中值项(有三种 case,基础阶段只讲两种)
题型五:拉格朗日中值定理的用法
题型六:麦氏公式求极限(麦克劳林公式)
极值:知识体系
极值:方法体系
题型一:极值点的判断
题型二:证明不等式( 4 种 case )
题型三:函数的零点/方程的解
零点定理解题
罗尔定理解题
单调性解题
几个小知识:知识体系
凹凸性
渐近线
弧微分
曲率(暂时跳过不讲)
续
第 8 章:重积分
二重积分:知识体系
定义
性质
二重积分 :方法体系
直角坐标积分法
极坐标积分法
改变积分次序
三重积分:知识体系
定义
性质
三重积分:方法体系
直角坐标积分法
铅直投影法
切片法
球坐标积分法
第 9 章:级数
知识体系:常数项级数
基本定义
5 条基本性质
收敛级数 * 一个不为0的常数仍收敛
两个收敛级数相加减仍收敛,级数和为两收敛级数和相加减
添加或去掉有限项,级数的敛散性不变。但级数和可能改变
在收敛级数里添加括号,级数仍收敛
收敛级数的一般项趋于0,但一般项趋于0的级数不一定收敛
两个重要级数
p级数
几何级数
正项级数及其审敛法
比较审敛法
比较审敛法的极限形式
比值审敛法
根值审敛法
极限审敛法
交错级数及其审敛法
莱布尼兹定理
绝对收敛与条件收敛
知识体系:幂级数
幂级数定义
收敛半径和收敛域的求法
幂级数的性质
幂级数的和函数在收敛于内连续
幂级数逐项可导
幂级数逐项可积
方法体系:幂级数
函数展开为幂级数
直接法:从函数中凑出幂级数的常用展开式
间接法:求函数导数/原函数的幂级数。再用幂级数的逐项可导/逐项可积性求会目标函数的的幂级数展开式
求和函数:幂级数展开式收为函数
直接法:用幂级数的常用展开式
间接法:用逐项可导/逐项可积性
求指定级数的级数和:求其和函数,再把原式中的x带入和函数中
第 10 章:空间解析几何
知识体系
向量的运算
运算法则
数量积,向量积,混合积
几何角度运算(用向量算)
代数角度运算(用坐标算)
空间平面及其方程
空间平面的一般方程
空间平面的点法式方程
空间平面的截距式方程
空间直线及其方程
空间直线的一般方程
空间直线的对称式方程/点向式方程
空间直线的参数方程
空间曲面及其方程
特殊曲面:柱面,旋转面
空间曲面上某点的 法线 和 切平面
距离公式
两点间的距离
点到平面的距离
两平行平面的距离
点到直线的距离
两条异面/不相交的直线间的距离
方法体系(自己总结的)
已知直线,求旋转曲面的方程
求关于平面的对称点/对称直线
投影和平面束
两直线是否相交
第 11 章:曲线积分和曲面积分
知识体系
对弧长的曲线积分
物理意义:求曲线构件的质量
对坐标的曲线积分
物理意义:求变力沿曲线做的功
对面积的曲面积分
物理意义:求曲面构件的质量
对坐标的曲面积分
物理意义:求单位时间内流入指定侧的流量
斯托克斯公式
三维空间下 对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分的转换公式
方法体系
(线切面法。导即为切)
(线切面法。导即为切)
对弧长的曲线积分
替代法
定积分法:把曲线积分转为定积分
对坐标的曲线积分
定积分法:把曲线积分转为定积分
格林公式:曲线积分和二重积分的互换
与路径无关的曲线积分
对面积的曲面积分
替代法
二重积分法:把曲面积分转为二重积分
对坐标的曲面积分
二重积分法:把曲面积分转为二重积分
高斯公式:曲面积分和三重积分的互换
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