考研数学二考点知识体系梳理
2021-10-03 16:36:26 0 举报
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大纲/内容
第一部分 算数
第一章 实数、比例、绝对值
第一节 实数
一、实数分类
有理数(分数都是有理数-11/7)
正数
正整数
正分数
有限小数
无线循环小数
0
负数
负整数
负分数
有限小数
无线循环小数
无理数
正数
无线不循环小数
负数
无线不循环小数
二、整数与自然数
整数Z:-2,-1,0,1,2
自然数N:0,1,2,3
三、整数、倍数、约数
1.数的整除
2.常见整除的特点
能被2整除的数:个位为0,2,4,6,8
能被三整除的数:各位数字之和能被3整除
能被4整除的数:末两位数字必能被4整除
能被5整除的数:个位为0或5
能被6整除的数:同时满足能被2和3整除
能被8整除的数:末三位能被8整除
能被9整除的数:各位数之和必能被9整除
3.倍数、约数
当a能被b整除时,称a是b的倍数,b是a的约数。
(a,b)* [a,b]=a*b {只适用于两个数,最大公倍数*最大公约数=两数相乘}
四、质数、合数
1.质数:大于1的正整数,只能被1和它本身整除:2,3,5(不包含1)
2.合数:除了能被1和它本身整除还能被其他数整除:4,6,8(不包含1)
3.重要性质
1.都是正整数
2.2是唯一既是质数又是偶数的整数
3.1既不是质数又不是合数
五、奇数、偶数
1.奇数:不能被2整除
2.偶数:能被2整除
3.组合性质:奇数的正整数次幂为奇数;偶数的正整数次幂为偶数
六、实数比较大小
第二节 比和比例
一、比
二、比例
a:b=c:d a,d为比例外项;b,c为比例内项
a:b=b:d b为a和d的比例中项,均为正数时,b是a和d的几何平均值
三、正比
若y=kx(k不为0),则称y与x成正比,k称为比例系数
四、反比
若y=k/x(k不为0),则称y与x成反比,k称为比例系数
五、比例的基本性质
(1)a:b=c:d <=> ad=bc
(2) a:b=c:d<=>b:a=d:c<=>b:d=a:c<=>d:b=c:a
六、重要定理
1.合比定理
2.分比定理
3.合分比定理
4.等比定理
第三节 绝对值(只对负数起作用)
一、绝对值的定义
二、数学描述
几何意义是一个实数a在数轴上所对应的点到原点的距离值
三、基本不等式
|x| < a <=> -a < x < a(a>0)
|x| > a <=> x > a 或 x < -a(a>0)
四、绝对值的性质
1.对称性 |-a| = |a|,即互为相反数的两个数的绝对值相等。
2.等价性 根号a² = |a|,|a|² = a²
3.自比性 -|a|<=a<=|a|
4.非负性 |a|>=0
第四节 平均值
1.算数平均值
x=(x1+x2+x3)/3
2.几何平均值
x=³根号下x1*x2*x3
3.基本定理
算数平均值>=几何平均值(当几个数都相等时,等号成立.)
第二章 应用题
第一节 比例问题
1.变化率=(变化量/变前量)*100%=|现值-原值|/原值*100%=|现值/原值-1|*100%
2.增长率p%--原值a-->现值a(1+p%);下降率p%--原值a-->现值a(1-p%)
3.恢复原值:原值先降p%,再增p%/(1-p%)才能恢复原值;或者先增p%再降p%/(1+p%)才能恢复原值
4.甲比乙大p%<=>(甲-乙)/乙=p%<=>甲=乙(1+p%);甲是乙的p%<=>甲=乙*p%
5.比例性质:如果a/b=c/d,则ad=bc
6.等比定理:a/b=c/d=e/f=a+c+e/b+d+f(b+d+f!=0)
7.总量=部分量/对应占的比例
第二节 利润问题
1.利润 = 售价 - 进价
2.利润率 = 利润/进价*100%=(售价-进价)/进价*100%=(售价/进价-1)*100%
3.售价 = 进价 *(1+利润率)=进价+利润
第三节 路程问题
1.路程s、速度v、时间t之间的关系
s=vt,t=s/v,v=s/t
2.对于直线型的路程问题
1.相遇 s相遇 = s1+ s2 = v1t+v2t = (v1 + v2)t
2.追及 s追及 = s1- s2 = v1t - v2t = (v1 - v2)t
V平均=总路程、总时间=(S+S)/(S/V1+S/V2)=2/(1/v1+1/v2)=2v1v2/(v1+v2)
3.对于圆圈型的路程问题(从同一起点同时出发,周长为s,第一次相遇时间为t)
反向运动:s = s1+s2 = v1t+v2t = (v1+v2)t
同向运动:s=s1-s2=v1t-v2t=(v1-v2)t
4.顺水、逆水问题
v顺水=v船+v水;v逆水=v船-v水
5.相对速度(两个物体运动时,可将一个作为参照物,看成相对静止的)
同向运动:v同向=v1-v2;相向运动:v相向=v1+v2
第四节 工程问题
1.工作量S、工作效率V、工作时间t三者间的关系
工作量=工作效率*工作时间(s=vt)
工作时间=工作量/工作效率(t=s/v)
工作效率=工作量/工作时间(v=s/t)
2.重要说明
工作量:对于一个题,工作量往往是一定的,可以将总的工作量看作"1"
工作效率:合作时,总的效率等于各个效率的代数和
3.重要结论
若甲单独完成需要m天,乙完成需要n天,则:
1.甲的效率为1/m,乙的效率为1/n
2.甲、乙合作的效率为:1/m+1/n
3.甲、乙合作完成需要的时间为:1/(1/m+1/n)=mn/(m+n)
第五节 交叉法
男工平均分 83 2
80(均) = 2/3
女工平均分 78 3
80(均) = 2/3
女工平均分 78 3
第六节 浓度问题
1.基本公式
溶液 = 溶质+溶剂
浓度= 溶质/溶液*100% = 溶质/(溶质+溶剂)*100%
溶质 = 溶液*浓度
溶剂 = 溶液 * (1-浓度)
S+W法则:S/(S+W)=浓度=p%
2.重要等量关系
1.浓度不变准则
2.物质守恒准则
3.重要命题思路
1.“稀释”问题:特点是加溶剂,溶质不变,以溶质为基准进行求解
2.“浓缩问题”:也称“蒸发”问题,特点是减少溶剂,溶质不变,以溶质为基准进行求解
3.“加浓”问题:特点是增加溶质,溶剂不变,以溶剂为基准进行求解
4.“混合”问题:用两种或多种溶液混合在一起,采用溶质或溶剂质量守恒分析,也可利用杠杆原理分析
5.“置换”问题:一般是用溶剂等量置换溶液,可以记住结论,原来溶液v升,倒出m升,再补等量的溶剂(水),则浓度变为原来的(v-m)/v
6.溶质不变,溶液与浓度成反比
溶液1*浓度1=溶液2*浓度2
溶液1/溶液2=浓度2/浓度1
第七节 集合问题
1.两个集合
1.按宏观区域分
公式:A U B = A + B - A n B = 全 - A反 n B反
2.按参加数量分
公式:全集 = 参加一项 + 参加两项 + 都没参加
2.三个集合
1.按宏观区域分
公式1:AUBUC=A+B+C-(AnB + BnC + AnC) + AnBnC
公式2:AUBUC=全-A反nB反nC反
2.按参加数量分
公式:全集=参加一项+参加两项+参加三项+都没参加
AUBUC=参加一项+参加两项+参加三项
A+B+C=参加一项+参加两项*2+参加三项*3
AnB+BnC+AnC=参加两项+参加三项*3
第八节 分段计费
1.使用情况
水费、电费、打车费、快递费、个税等
2.求解过程
原数值a--分段计费标准-->费用b
第二部分 代数
第三章 代数式和函数
第一节 有理式及运算
一、基本定义
1.整式
2.分式
3.最简分式
二、常用公式
1.平方差公式:a²-b² =(a+b)(a-b)
2.完全平方公式:(a+b)²=a²+2ab+b²;(a-b)²=a²-2ab-b²
3.(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
4.立方和公式:a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
5.立方差公式:a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
三、整式的加减运算
四、整式的乘法运算
五、整式的除法运算
1.整式的除法
2.因式定理:f(x)含有(x-a)因式<=>f(x)能被(x-a)整除<=>f(a)=0
六、因式分解
1.提公因式法
2.运用公式法
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-ac-bc)
3.分组分解法(分组后能提公因式或分组后能用公式)
4.十字相乘法
5.拆项、补项法
第二节 集合
一、集合的概念
1.集合
2.元素
3.表示
二、元素与集合的关系
1.属于
2.不属于
三、元素中集合的特征
1.确定性
2.互异性
3.无序性
四、集合间的基本关系
五、常用结论
1.任何一个集合的本身是它的子集
2.空集是任何集合的子集
3.n个元素的子集有2的n次方个;n个元素的真子集有2的n次方-1个;n个元素的非空子集有2的n次方-1个;n个元素的非空真子集有2的n次方-2个
第三节 函数
一、一元二次函数
1.开口方向
由a决定,当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下
2.对称轴
以x=-b/2a为对称轴
3.顶点坐标
(-b/2a,(4ac-b²)/4a)
4.y轴截距
c决定了抛物线与y轴截距的位置:c>0,交于x轴上方;c=0,交于原点;c<0,交于x轴下方
5.最值
当a>0时,有最小值(4ac-b²)/4a,无最大值
当a<0时,有最大值(4ac-b²)/4a,无最小值
6.f(m+t)=f(n-t)=>对称轴为(m+n)/2,和定有对称
7.f(m+t)=f(n+t)=>周期|m-n|,差定有周期
二、指数函数
1.指数函数的图像
y=a的x方(a>0,a!=1),其定义域为(-oo,+oo)
当0<a<1时,单调递减;当a>1时,单调递增;图像恒过点(0,1)
2.指数函数的运算公式(乘除变加减)
1.a的m次方*a的n次方=a的m+n次方
2.a的m方/a的n方=a的m-n方
3.(a的m方)n方=a的mn方
4.a的0方=1,a的-p方=1/a的p方
三、对数函数
1.对数函数的图像
y=loga的x方(a>0,a!=1),其定义域为(0,+oo),恒过(1,0)点
2.对数函数的运算公式(加减变乘除)
1.同底对数
2.幂运算
3.换底公式
第四章 方程和不等式
第一节 方程
一、基本概念和定义
1.方程与方程的解
2.方程的元和次
二、一元一次方程
ax=b(a!=0)
三、一元二次方程
1.基本形式
ax²+bx+c=0(a!=0)
2.方程解的情况
△=b²-4ac;△>0,有两个不等实数根;△=0,有两个相等的实数根;△<0,无实根
3.求根方法
1.十字相乘因式分解法(△为完全平方数可使用十字相乘)
2.求根公式法x1,x2=(-b±根号下△)/2a
4.根与系数的关系(韦达定理)
x1+x2=-a分之b;x1*x2=a分之c(对虚根也适用,需要验证△)
5.两根的符号情况
1.两个正根
x1+x2>0
x1*x2>0
△>=0
2.两个负根(a,b,c同号)
x1+x2<0
x1*x2>0
△>=0
3.一正一负根(a,c异号)
x1*x2<0
△>0
b号反,根变号;ac换,根取倒
6.两根的具体范围
画出抛物线,根据与x轴交点位置来分析,不能用韦达定理
开口向上
f(-1)>0
f(0)<0
f(1)>0
f(0)<0
f(1)>0
f(-1)f(0)<0
开口向下
f(-1)<0
f(0)>0
f(1)<0
f(0)>0
f(1)<0
f(0)f(1)<0
7.含绝对值的方程
1.分段讨论法
2.图像法
3.平方法
8.指数方程
1.同底去底法
2.化成对数式
3.取同底对数
9.对数方程
1.同底去底法
2.化成指数式
3.取同底指数
第二节 不等式
一、不等式的定义
a-b>0<=>a>b;a-b=0<=>a=b;a-b<0<=>a<b
二、不等式的分类
1.矛盾不等式
2.绝对不等式
3.条件不等式
三、不等式的基本性质
1.传递性
a>b,b>c=>a>c
2.同向相加性
a>b
=> a+c>b+d
c>d
=> a+c>b+d
c>d
3.同向皆正相乘性
a>b>0
=> ac>bd
c>d>0
=> ac>bd
c>d>0
4.皆正倒数性
a>b>0 => 1/b>1/a>0
5.皆正乘(开方)性
a>b>0 => a的n次方>b的n次方>0(n∈Z+)
四、一元一次不等式
五、一元二次不等式
△>0
方程>0的解集:{x|x<x1或x>x2}
方程<0的解集:{x|x1<x<x2}
△=0
方程>0的解集:{x|x!=-b/2a}
方程<0的解集:∅
△<0
方程>0的解集:R
方程<0的解集:∅
六、绝对值不等式
1.定义法
2.公式法
3.平方法
解|f(x)|>|g(x)|型不等式
4.分段讨论
5.几何法
七、指数不等式
1.同底去底法
2.化成对数式
3.取同底对数
八、对数不等式
1.同底去底法
2.化成指数式
第三节 均值不等式
一、算术平均值
n个数相加除以n
二、几何平均值
n个数相乘再开n方
三、均值不等式
当x1,x2···,xn为n个正数时,它们的算术平均值大于等于它们的几何平均值(当且仅当取等时,等号成立)
四、常用结论
1.任意实数成立
a²+b²≥2ab
ab≤(a²+b²)/2
2.正实数成立
(a+b)/2≥根号下ab
a+b≥2根号下ab
ab≤(a+b/2)²
3.倒数情况
4.和与平方和
(a+b/2)²≤a²+b²/2
五、做题应用及易错点
1.最值口诀:和定积最大,积定和最小
2.最值条件:一正(各项均为正)二定(乘积或和为定值)三相等(等号是否能取到)
3.应用
六、技巧总结
1.变号
2.凑项
3.凑系数
4.分离
5.统一变量
6.整体变形
7.指数和对数的最值
第五章 数列
第一节 一般数列
一、基本定义
1.数列的定义
2.通项公式
an=f(n)
3.数列的前n项和
Sn=a1+a2+···+an
4.数列的分类
1.按项分类
2.按an的增减性分类
5.递推公式
an与其前后项之间的关系式称为递推公式
二、an与Sn的关系
1.已知an,求Sn
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
an=1/(根n+根n+1)=(根n+1)-根n
2.已知Sn,求an
a1=S1 n=1
an=Sn-Sn-1 n≥2
第二节 等差数列
一、定义(证明其为等差数列)
an+1-an=d(常数)
二、通项公式
1.基本公式:an = a1+(n-1)d
2.扩展公式:an = ak + (n-k)d
3.函数特征
三、前n项和公式(重点)
1.基本公式:Sn=n(a1+an)/2
2.扩展公式:Sn=na1+n(n-1)d/2
3.函数特征:Sn=dn²/2+(a1-d/2)n
1.常数项为0,过零点
2.开口方向由d的符号决定
3.二次项系数为半公差d/2
4.对称轴x=1/2-a1/d(求最值)
5.若d不为0,等差数列的前n项和只能为二次函数;若d等于零,则退化成一次函数。二次函数各项系数之和等于首项
S2n-1=an*(2n-1)
四、等差数列的性质
1.元素性质:若m,n,l,k∈Z+,m+n=l+k,则am+an=al+ak
2.求和性质
若Sn为等差数列的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,···仍为等差数列,其公差为n²d
Sn/n-Sm/m=(n-m)d/2
第三节 等比数列
一、定义(证明其为等比数列)
(an+1)/an=q(常数),q为公比
二、通项公式(任何元素不得为0)
1.基本公式
an=a1*q的n-1次方
2.扩展公式
an=ak*q的n-k次方
an/am=q的n-m次方
三、前n项和公式
[a1(1-q的n次方)]/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)
na1 q=1
Sn=[a1(1-q的n次方)]/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)
q!=1时,Sn/Sm=1-q的n次方/1-q的m次方
ak/bk=S2k-1/T2k-1
四、所有项和S
1.条件:只有对于无穷递缩等比数列(|q|<1,q!=0),才存在所有项和
2.公式:S=a1/(1-q)
五、等比数列的性质
1.元素性质:若m,n,l,k∈Z+,m+n=l+k,则am*an=al*ak
2.求和性质:若Sn为等比数列的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,···仍为等比数列,其公比为q的n次方
第四节 数列应用题
一、等差数列应用题
一月份产值为a,每月增p%
1.n月份=a(1+p%)的n-1次方
2.全年=a+a(1+p%)+a(1+p%)²+···+a(1+p%)的11次方
二、等比数列应用题
第三部分 几何
第六章 平面几何
第一节 三角形
一、角的概念
1.角的定义
2.角的表示
3.角的平分线及其性质
二、相交线中的角
1.邻补角与对顶角
邻补角互补,对顶角相等
2.垂线
1.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
三、平行线
1.平行线的概念
2.平行线公理及其推论
公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
推论:如果两条直线和第三条直线平行,那么这两条直线平行
3.平行线的判定
同位角相等,两直线平行
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
4.平行线的性质
两直线平行,同位角相等
两直线平行,内错角相等
两直线平行,同旁内角互补
四、三角形的内角与外角
1.内角
三角形的内角和为180°
2.外角
三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和
五、三角形的三边关系
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边
六、三角形的分类
1.直角三角形
两个锐角互余
30°角所对的直角边等于斜边的一半
斜边上的中线等于斜边的一半
勾股定理:a²+b²=c²
射影定理:斜边上的高线是两直角边在斜边上的投影的比例中项,每条直角边是他们在斜边上的投影和斜边的比例中项
2.等腰三角形
三线合一:顶角平分线、底边中线、底边上的高
设腰长为a,底边长为b,则b/2<a
底角只能为锐角
3.等边三角形
高与边之比为:根3:2=根3/2:1
面积S=(根3/4)a²
高h=(根3/2)a
七、三角形的特殊线段
1.三角形的中线
三条中线交于三角形内部一点,这个点叫做重心,重心将中线分成2:1两段
中线把三角形分成面积相等的两半
中线定理:AB²+AC²=2(BD²+AD²)
2.三角形的角平分线
三条角平分线交于三角形内部一点,这个点叫做内心,内心到三角形三边的距离相等
AD²=AB*AC-BD*CD
AB/AC=BD/CD
3.三角形的高
三条高所在的直线交于一点,这个点叫做垂心
4.线段的垂直平分线
三条边的垂直平分线交于一点,这个点叫做外心,外心到三个顶点的距离相等
5.三角形的中位线
定理:三角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半
位置关系:可以证明两条直线平行
数量关系:可以证明线段的倍分关系
三条中线可围成一个三角形
1.周长为原三角形周长的一半
2.将原三角形分割成四个全等的三角形
3.将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形
4.一条中线与它相交的中位线互相平分
5.任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等
八、三角形的面积公式
1.利用底高求面积
S=1/2*ah
2.理由夹角求面积
1/2*ab*sin∠c
3.利用边长求面积
S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c)(p为三角形的半周长)
九、三角形的全等
1.全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
2.三角形全等的判定
1.边角边
2.角边角
3.边边边
3.直角三角形全等的判定
HL:斜边和一条直角边对应相等
4.全等变换
1.平移变换
2.对称变换
3.旋转变换
5.全等三角形的表示和性质
十、三角形的相似
1.相似三角形的概念
对应角相等,对应边成比例
2.相似三角形的基本定理
平行与三角形一边的直线与另两边构成的三角形与原三角形相似
3.三角形相似的判定
1.定义法:对应角相等,对应边成比例
2.平行法
3.判定定理1:两角对应相等,两三角形相似
4.判定定理2:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似
5.判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似
4.直角三角形相似的判定
1.定理:斜边和一条直角边与另一三角形对应成比例,那么两个三角形相似
2.垂直法:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似
5.相似三角形的性质
1.对应角相等,对应边成比例
2.对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比
3.周长的比等于相似比
4.面积的比等于相似比的平方
第二节 四边形
一、四边形概述
1.定义
2.对角线
3.四边形的不稳定性
4.四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和等于360°
四边形的外角和等于360°
推论:n边形的内角和等于(n-2)*180°;任意多边形的外角和等于360°
5.多边形的对角线条数的计算公式
设多边形的边数为n,则多边形的对角线条数为[n(n-3)]/2
二、平行四边形
1.平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形
2.平行四边形的性质
1.邻角互补,对角相等
2.对边平行且相等
3.对角线互相平分
4.经过中点的线段被均分为两半,面积也被均分为两半
3.平行四边形的判定
1.定义:两组对边分别平行
2.定理1:两组对角分别相等
3.定理2:两组对边分别相等
4.定理3:对角线互相平分
5.定理4:一组对边平行且相等
4.平行四边形的面积
S = 底边长 * 高 = ah
三、矩形
1.概念
2.矩形的性质
3.矩形的判定
4.矩形的面积
四、菱形
1.概念
2.菱形的性质
3.菱形的判定
4.菱形的面积
S = 底边长 * 高 = 两条对角线乘积的一半
五、正方形
1.概念
2.正方形的性质
3.正方形的判定
4.正方形的面积
S = a²=b²/2,a为边,b为对角线
六、梯形
1.梯形的相关概念
2.梯形的判定
3.等腰梯形的性质
两腰相等,两底平行
对角线相等
轴对称图形,对称轴为两底的垂直平分线
4.等腰梯形的判定
5.梯形的面积
S = 1/2(上底+下底)*高
S = 中位线 * 高
6.梯形中位线定理
梯形中位线平行于两底,并且等于两底和的一半
7.梯形的辅助线
1.过较短底的顶点作梯形的高
2.过一个顶点作腰的平行线
3.过一个顶点作一条对角线的平行线(与对角线围成的新的三角形面积等于原梯形面积)
4.延长两腰相交
5.连结上底的一个顶点与另一腰的中点,并延长与下底的延长线相交
第三节 圆与扇形
一、角的弧度
把圆弧长度和半径的比值称为对一个圆心角的弧度
度与弧度的换算关系:1弧度=180°/π,1°=(π/180)弧度
二、与圆有关的定义
1.弦
2.直径
3.半圆
4.弧、优弧、劣弧
三、垂径定理及其推论
定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧
推论1
1.平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
2.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
3.平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等
四、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1.圆心角
顶点在圆心的角叫作圆心角
2.弦心距
从圆心到弦的距离叫作弦心距
3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
五、圆周角定理及其推理
1.圆周角
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫作圆周角
2.圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
推论:半圆所对的圆周角为90°;90°所对的弦是直径
六、过三点的圆及圆的接切
1.过三点的圆
不在同一直线的三个点确定一个圆
2.三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫作三角形的外接圆
3.三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫作三角形的外心
4.圆内接四边形的性质(四点共圆的判定条件)
圆内接四边形对角互补
七、圆的周长及面积
周长为C=2πr=πd
面积S=πr²=(1/4)πd²
八、扇形的弧长及面积
1.扇形的弧长
l=半径*弧度=角度/360*2πr
2.扇形面积
S=角度/360*πr²=1/2角度*半径
3.弓形面积
S = 扇形面积-三角形面积
4."弯角"面积
S = 正方形面积-扇形面积
5."谷子"面积
S = 弓形面积 * 2
九、扩展定理
1.相交弦定理
弦AB与弦CD相交于点E,则AE*BE=CE*DE
2.弦切角定理
弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角
3.切割线定理
PA为圆的切线,PC为圆的割线,则PA²=PB*PC
第七章 解析几何
第一节 平面直接坐标系
一、两点的中点坐标
两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的中点坐标为{(x1+x2)/2,(y1+y2)/2}
二、两点距离公式
两点A(x1,y1)与B(x2,y2)之间的距离为根号下(x2-x1)²+(y2-y1)²
第二节 平面直线
一、直线的倾斜角和斜率
1.倾斜角
直线与x轴正方形所成的夹角,称为倾斜角
2.斜率(对边比临边)
k = tanα(α!=π/2)=(y2-y1)/(x2-x1)
斜率(大于90°为负数)的绝对值越大,直线越陡;并不是倾斜角越大,斜率越大
3.两点斜率公式
设直线上有两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2),则k={(y2-y1)/(x2-x1)}(x1!=x2)
二、直线方程
1.斜截式(不能表示竖直线)
斜率为k,在y轴上的截距为b(即过点P0(0,b))的直线方程为y=kx+b
2.点斜式(不能表示竖直线)
过点P(x0,y0),斜率为k的直线方程为y-y0=k(x-x0)
3.截距式(不能表示水平、竖直、过原点直线)
在x轴上的截距为a(即过点P1(a,0)),在y轴上的截距为b(即过点P0(0,b))的直线方程为x/a+y/b=1(a!=0,b!=0)
4.两点式(不能表示水平、竖直线)
过两点P1(x1,y1)与点P2(x2,y2)的直线方程为y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1(x1!=x2,y1!=y2)
5.一般式
ax+by+c=0(a,b不全为0)
斜率为-a/b,在x轴上的截距为-c/a,在y轴上的截距为-c/b
三、两条直线的位置关系(平行、相交、垂直)
l1//l2
k1=k2,b1!=b2
a1/a2=b1/b2!=c1/c2
l1交l2
k1!=k2
a1/a2!=b1/b2
l1⊥l2
k1k2=-1
a1/b1*a2/b2=-1<=>a1a2*b1b2=0
四、点到直线的距离
l:ax+by+c=0,点(x0,y0)到l的距离为d=|ax0+by0+c|/根号下(a²+b²)
五、两平行直线之间的距离(a,b系数要统一)
l1:ax+by+c1=0;l2:ax+by+c2=0,那么l1与l2之间的距离为d=|c1-c2|/根号下(a²+b²)
第三节 圆
一、圆的方程
1.标准式
圆心为(x0,y0),半径为r的圆可表示为(x-x0)²+(y-y0)²=r²
2.一般式
x²+y²+ax+by+c=0 可配成标准式:(x+a/2)²+(y+b/2)²=(a²+b²-4c)/4
二、直线与圆的关系
1.相交
d<r
2.相切
d=r
3.相离
d>r
三、圆与圆的关系
1.外离
d>r1+r2
2.外切
d=r1+r2
3.相交
r1-r2<d<r1+r2
4.内切
d=r1-r2
5.内含
d<r1-r2
第八章 立体几何
第一节 长方体
一、长方体(棱长a,b,c)
1.体积:V=长宽高
2.全面积:F=2(ab+bc+ac)
3.体对角线:d=根号下(a²+b²+c²)
二、正方体(棱长为a)
1.体积:V=a³
2.全面积:F=6a²
3.体对角线:d=根号下3a
第二节 柱体
一、柱体的分类
1.圆柱
2.棱柱:底面为n边形就就称为n棱柱
二、柱体的通用公式
1.侧面积:S=底面周长*高
2.体积:V=底面积*高
三、圆柱的公式
体积:V=πr²h
侧面积:S=2πrh
全面积:F=S侧+2S底=2πrh+2πr²
第三节 球体
一、基础知识与概念
1.球的截面
2.球心和截面圆心的连线垂直于截面
3.球心到截面的距离d与球半径R及截面圆半径r的关系R²=d²+r²
4.球面距离
两点间的劣弧长
5.几何体的外接圆
顶点都在圆上
6.几何体的内接圆
与各几何面相切
二、公式(半径为R)
1.体积:V=4/3πR³
2.面积:S=4πR²
三、内切球(半径为R)
边长为a的正方体:R=a/2
等边圆柱(底面半径为r):R=r
四、外切球(半径为R)
正方体(边长为a):R=(根号3)a/2
长方体(边长a,b,c):R=根号下(a²+b²+c²)/2
圆柱(底面半径为r,高为h):(2R)²=(2r)²+h²
正三棱柱(边长为a,高为h):R²=((根号3)a/3)²+(h/2)²
第四部分 数据分析
第九章 排列组合
第一节 两个基本原理
一、分类计数原理(加法原理)
1.定义
如果完成一件事有n种办法,只要选择一类办法种的任一方法就可以完成此事,若第一类办法中有m1种,第二类m2种,第三类m3种,那么完成此事共有N=m1+m2+m3种不同办法
2.理解
1.合理分类,不重不漏
2.每个办法都可以单独完成
3.两类不同办法中的具体方法互不相同(即分类不重)
4.完成此任务的任何一种方法都属于某一类(即分类不漏)
二、分步计数原理(乘法原理)
1.定义
如果完成一件事,必须依次连续完成n个步骤,若完成第一步有m1种方法,第二步有m2种,第三步有m3种,那么完成此事共有N=m1*m2*m3种不同方法
2.理解
关键在于合理分步
各步计数相互独立
必须连续完成才算完成
三、两个原理的区别与联系(先分类再分步)
1.不同类的方法数之间做加法,不同步的方法数之间做乘法
2.遵循"不重不漏"原则
3.乘法原理,每步完成时此事也必须完成;且前面一个步骤中的每种方法都对应下一步中m种不同方法
4.分类处理:问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论
5.分步处理:问题总体不好解决时,常分成若干步,再由分步计数原理解决
第二节 两个思维公式
一、排列
1.定义
从n个元素中,任意取出m个元素,按照一定顺序排成一列
2.排列数
记作P↑m↓n
3.排列数公式
P↑m↓n=n(n-1)(n-2)···(n-m+1)=n!/(n-m)!
4.常用数值
0!=1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120
5.应用
几个元素全排列就可以写成几的阶乘
二、组合
1.定义
从n个不同元素中,取出m个元素的所有组合的个数
2.组合数
记作C↑m↓n
3.组合数公式
C↑m↓n=n(n-1)···(n-m+1)/m(m-1)···2*1=n!/(m!(n-m)!
4.组合数的性质
C↑m↓n=C↑n-m↓n
5.常用组合恒等式
6.常用组合数
第三节 解题准则及思维体系
一、根本方法(穷举、列举法)
从本质上理解排列组合及发现排列组合错误的根本方法
二、取样
1.选取元素或位置,用组合C↑m↓n
2.供大于求需要选取,供等于求只有一种选法
3.相同元素:无论选几个都只有一种方法
4.分类取样:男女、科目或部门等门类,然后分类选取
三、排序
关键看选出的元素与顺序是否有关,若交换某两个元素位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换对结果无影响,则是组合问题。
四、取排结合
1.何时需要选取
供大于求
2.何时需要排序
有顺序是排列,无顺序是组合
3.两者同时出现时
先取后排
五、分类与取排结合
先分类再对每一类分步,结合取排分析求解
六、反面思维法
正面入手情况复杂,可以考虑反面入手
总体减
局部减
第四节 思维方法进阶
一、特殊元素或位置
优先考虑特殊要求的元素或位置(特殊优先安排)
按元素性质进行分类,按事件发生的连贯过程分步
二、相邻元素或位置
捆绑打包法,先将相邻元素"捆绑"起来看作一个元素对待,然后再在相邻元素之间排列
三、不相邻元素或位置
先将其他元素排好,再将不相邻元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入
四、排座位
1.单排
n个元素中有m个定序:n!/m!或C↑m↓n*(n-m)!种
2.多排
3.环排[无首无尾]
n个元素坐一圈:n!/n=(n-1)!种
五、分房法("死"的"活"次方)
一类元素可以重复,另一类元素不能重复,把不能重复的看作"人",能重复的看作"房",再利用乘法原理直接求解的方法称为"分房法"
使用条件:1.元素不同;2.对象不同;3.数量无限制(容器)
常用模型:1.房子(海纳百川)和人(不可分割) 2.盒子和球 3.可重数N位数
六、隔板法
使用要求:1.n个元素要相同;2.m个分配对象要不同 3.至少分一个
对应公式:如果分配对象非空,即每个对象至少分一个,则有C↑m-1↓n-1;如果分配对象允许为空,则有C↑m-1↓n+m-1
常用模型:1.直接,2.可空,3.至少分k个需要分步做:1.先分到剩1,2.再用公式,4隔板数未知:2的n-1次方
七、部分相同元素的排序
n个元素中有m个元素相同,要除以元素相同数量的阶乘,以消除排序:n!/m!种
使用条件:1.元素部分相同,2.每个元素重复的次数,3.数量明确
易错点:1.与隔板法的区别,2.某位置有特殊要求
常用模型:1.直接 AAA BB C,2.上台阶:n级要求m步,3.某位有特殊要求
八、对号与不对号
元素对号入座只有1种排法,元素不对号入座:2->1 3->2 4->9 5->44
使用条件:1.元素不同,2.对象不同,3.元素与对象存在一一对映
易错点:n个元素有n-1个对号,则说明全对号
九、分堆法(堆与堆无区别)
先根据题干分成需要的堆,元素数量相同再去重,几堆重除以几的阶乘
使用条件:1.元素不同,2.对象相同,3.有无数量相同
易错点:1.相同元素的分堆->只有一种分法;2.若对象不同时,可先分堆再配送
常用模型:1.有n个堆数相同,就除以n的阶乘;2.当数量为1的时候可用简写法
十、数字问题(多种方法和思路)
如果有0,0不能在首位,可用全部减去0在首位的情况
十一、几何图形的综合体
与几何图形相结合,根据几何图形需要的元素,进行选取分析
第五节 易错思维总结
1.没有理解两个基本原理而出错
2.至少之多问题
3.判断不出是排列还是组合而出错
4.分房问题
5.遗漏计算而出错
6.忽视题设条件而出错
7.未考虑特殊情况而出错
第六节 二项式定理
1.定义
2.通项公式
3.总结归纳
第十章 概率初步
第一节 古典概率
一、基本定义
1.随机试验
2.随机事件
指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件:随机事件=试验+期望结果
3.基本事件、必然事件、不可能事件
二、随机时间的概率
1.概率的定义
随机事件A发生的可能性大小的度量值称为事件A的概率,记为P(A)
2.概率的性质
三、古典概型
1.定义
1.样本空间的元素只有有限个
2.每个基本事件出现的可能性是相等的
2.计算公式
P(A)=事件A包含基本事件数k/样本空间中基本事件总数n
3.理解
需要用排列组合分别计算分子和分母的情况数,然后用比值表示发生的概率
四、三类基本古典概率
1.取球或取样
特征:重在取法
核心:取样方式
逐次取(顺序)
有放回:样本不变
无放回:样本逐一减少
一次取
逐次无放回取样=一次取样的概率
难点:至多至少
2.分房问题
特征:重在排法->至少有2人一间房--反面-->每人一间房
核心:分配方式
房间是否空
房间有n人(至多至少)
难点:分堆法、方幂法
3.数字问题(留意是否可重复)
特征:取排并重
核心:数位要求
难点:元素位置法
附:求余数个数:n=(an-a1)/d+1
计算100以内4的倍数:n倍=(100-4)/4+1=25
;计算100以内除以4余3的数:n余=(99-3)/4+1=25
第二节 独立事件
一、独立事件的概念
如果两个事件中任一事件的发生不影响另一事件的概率,则称这两个事件是相互独立的
二、数字定义
若P(AB)=P(A)P(B),则称两个事件A和B是相互独立的
三、常用结论
1.如果事件A1,A2,A3相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件的乘积:P=A1*A2*A3
2.如果事件A1,A2,A3相互独立,那么这n个事件都不发生的概率为:P=P反(A1)P反(A2)P反(A3)
3.如果事件A1,A2,A3相互独立,那么这n个事件至少有一个发生的概率:P=1-P反(A1)P反(A2)P反(A3)
4.如果事件A1,A2,A3相互独立,那么这n个事件恰有一个发生的概率:P=A1*P反(A2)P反(A3) + A2*P反(A1)P反(A3) + A3*P反(A1)P反(A2)
四、做题核心
先分析每次或每个对象的成败情况,再对应写概率即可
第三节 伯努利公式
一、独立重复试验
将某试验重复n次,n次概率都相同
二、伯努利公式
某事件概率为p,那么n次独立重复实验中这次事件恰好发生k次的概率Pn(k)=C↑k↓n*p的k次方*q的n-k次方,其中q=1-p
n局k胜(3局2胜、5局3胜、7局4胜)
1.n局不一定打完
2.先胜k局者获胜
3.结束局冠军胜
第十一章 数据描述
第一节 平均数
一、平均数
有三个数x1,x2,x3,称x=(x1+x2+x3)/3为这三个数的平均数
二、众数
在一组数据中,出现次数最多的数据叫作这组数据的众数
三、中位数
将一组数据按大小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数
第二节 极差与方差
一、极差
1.定义:极差 = 最大值 - 最小值
2.意义:用来反映一组数据变化的大小范围
二、方差
1.定义:先平均,再求差,然后平方,最后再平均
2.意义:反映一组数据的整体波动大小的指标
三、标准差
1.定义:求出方差再开平方
2.意义:用来描述一组数据波动情况的特征数
第三节 常见图表
一、饼图
通过扇形的大小来反映各个部分占总体的比例
二、折线图
通过折线可以看到数据整体的变化趋势
三、直方图
1.定义:把数据分为若干个小组,每组的组距保持一致,并在直角坐标系的横轴上标出每组的位置(以组距作为底),计算每组所包含的数据个数(频数),以该组的"频率/组距"为高做矩形,这样得出若干个矩形构成的图叫作频率分布直方图
2.要点
1.组距的确定:一般是认为确定,不能太大或太小
2.组数的确定:组数=极差/组距
3.每组频率的确定:频率=频数/数据容量
4.每组所确定的矩形的面积=组距*(频率/组距)=频率
5.频率分布直方图下的总面积等于1(各个面积之和=1)
6.分组时要遵循"不重不漏"的原则(左闭右开)
3.关系式
在直方图中,众数是最高矩形底边中点的横坐标;中位数左边和右边的直方图的面积相等;平均数是直方图的重心,它等于每个小矩形面积乘以小矩形底边中点横坐标之和
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