期权
2022-06-21 10:10:30 1 举报
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期权知识结构
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大纲/内容
定价
Replication
核心思想
用标的资产+无风险利率借款复制期权的收益
该思想也是衍生品定价的核心思想,为防止套利衍生品的当前价值必须和标的物价值一致
该过程无需了解上涨下跌的概率,风险中性定价(risk neutral pricing)
定价过程
数量n的标的资产(例如股票)+价值为B的无风险投资(例如银行存款,如果为负数则为借款)
设期初:,且标的资产在期末只有上涨下跌两种情况
期末上涨至Su:cu=n*Su+B(期权in-the-money且价值为cu=Su-S)==>Su-S=n*Su+B
期末下跌至Sd:cd=n*Sd+B(期权out-of-the-money且价值为cd=0)==>0=n*Sd+B
将联立方程解出的n,B带入期初得到期初期权价值c
设:标的资产上涨概率p,下跌概率(1-p)
将股票t时刻的期望价值折现得到:S=[Su*p+Sd*(1-p)]*exp(-rt),求出风险中性概率p
使用风险中性概率p定价:
Black-Scholes Model
Assumptions
European Option
标的资产价格连续变化(最重要)
利率已知且恒定
标的资产收益的方差恒定
完美资本市场
几何布朗运动建模:dt时间内dS/S=µdt+σ^2dz(对数收益率dS/S~N(µdt,σdz)
资产价格分布服从Lognormal Distribution
核心
期权的头寸可以通过标的资产的delta头村来复制
BMS模型可推导期权的risk-neutral probability,但这个概率!=physical probability
公式
N(d2)=Neutral Probability:St>K的概率,call option的行权概率
N(d1)=delta
意义是股票价格变动一个单位,期权价格的变化量。描述了期权价格对股价的敏感性
是服饰交易策略中股票的数量
是动态套期保值比率或对冲比率
:股票市值,期权所得到的货币价值的期望现值
:复制交易策略中负债的价值,执行价的期望现值
其他性质
深度实值的call option等价于long forward contract,因为肯定会行权
futures option(期货期权)是按无风险收益率支付现金流,可以视为long asset+现值为F的存款
futures option的隐含收益率为risk-free rate
put-call parity
Assumption
European Option
到期时间t相同
执行价K相同
核心思想
1:long call + 到期时间为t的现金存款K*exp(-rt)--期初支出:c+K*exp(-rt),到期:如果option行权,将银行存款K取出行权,构成无风险投资
2:long put + 以当前价格S买入标的资产--期初支出:p+S,到期:如果potion行权,将标的物以K卖出即可,构成无风险投资
1和2两种方案的总回报应相等
St<K
1回报:0-c+K-K*exp(-rt)
2回报:St-K-p+St-S
0-c+K-K*exp(-rt)=St-K-p+St-S ==> c-p=S-K*exp(-rt)
St>=K
1回报:St-K-c+K-K*exp(-rt)
2回报:0-p+St-S
St-K-c+K-K*exp(-rt)=0-p+St-S ==> c-p=S-K*exp(-rt)
公式
c-p=S-K*exp(-rt)
标的资产存在收益率y
c-p=S*exp(-yt)-K*exp(-rt)
y也叫市场隐含收益率(implied yield)我们可以根据这个公式反向计算y
实际收益率-隐含收益率=收益互换(dividend swaps)的远期利率
敏感性度量
Delta
特性
Delta充分收到现货价格和时间变化的影响
度量了期权价格对标的价格变化的敏感性
当期权接近到期日时,delta函数的凸性gamma更大
Call Option
表达式
r*仅代表dividend rate,与risk-free rate无关!
特殊场景
deep-out-of-money
delta->0
at-the-money
delta=0.5
相当于1份期权的价格变动等于0.5份标的资产的价格变动
deep-in-the-money
delta->1
Put Option
表达式
特殊场景
deep-out-of-money
delta->-1
at-the-money
delta=-0.5
相当于1份期权的价格变动等于-0.5份标的资产的价格变动
deep-in-the-money
delta->0
Gamma
特性
关于标的资产的二阶偏导数,也是delta关于S的一阶偏导数
度量了detla的不稳定性
具有相同条件的call or put option其gamma值完全相同
越接近到期日的gamma越大
当delta对冲的投资组合,gamma 和 theta必须异号!!!
有别于债券的凸度>0,期权的凸度可为负
gamma>0
有益,表示资产价格下降的较慢或增长的较快
long call & delta>0
long put & delta<0
gamma<0
危险,有较快的价格下跌或较慢的价格上涨
short call & delta<0
short put & delta>0
Call/Put Option
表达式
特殊场景
deep-out-of-money
gamma->0
at-the-money
gamma最大
时间越短越大,非线形表现的最明显
deep-in-the-money
gamma->0
Vega
特性
度量期权对波动率的敏感性
对于类似的看涨看跌期权是相通的
长期的at-the-money期权vega最大
Call/Put Option
表达式
特殊场景
deep-out-of-money
vega->0
at-the-money
vega最大
随到期日临近而递减
deep-in-the-money
vega->0
Rho
特性
度量期权价格对国内利率的敏感性
但如果标的资产的收益了r*的上涨带来的反效果,降低资产价格的增长速度
Call Option
看涨期权的价格随利率的上涨而上涨
Put Option
Theta
特性
度量由于时间的消逝引起的期权价格变化
也称为Time Decay
无论call or put,long的theta<0
随着时间的消逝,期权的价值在下降
如果gamma>0,那么价值必然随着时间衰减
American Option的theta恒<0
因为随时都可以行权
不同于其他风险因子,时间不是一个风险因子
Call Option
Put Option
特殊场景
deep-out-of-money
theta->0但比0小,不对称
at-the-money
theta最小
时间越短,负的越多
deep-in-the-money
theta->0
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