高等数学—微分方程
2021-05-20 18:00:57 73 举报AI智能生成
高等数学—微分方程公式全解
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大纲/内容
基本概念和一阶微分方程
微分方程的基本概念
微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分的方程）
微分方程的阶：微分方程中未知函数的导数的最高阶数为该微分方程的阶
微分方程的解、通解和特解：
带入微分方程能使方程成为恒等式的函数成为微分方程的解
通解：就是含有独立常数的个数与方程阶数相同的解（包含,）
特解：不含有任意常数或任意常数确定的解（通解区别在于常数确定）
带入微分方程能使方程成为恒等式的函数成为微分方程的解
通解：就是含有独立常数的个数与方程阶数相同的解（包含,）
特解：不含有任意常数或任意常数确定的解（通解区别在于常数确定）
初始条件：要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，
这种条件称为初始条件，满足初始条件的解成为满足该初始条件的特解
这种条件称为初始条件，满足初始条件的解成为满足该初始条件的特解
线性方程：如果未知函数和他的各阶导数都是一次项，而且他们的系数只是自变量的函数或常数
则称这种微分方程为线性微分方程（每个y,···的次数为1 系数为常数或关于x的方程）
则称这种微分方程为线性微分方程（每个y,···的次数为1 系数为常数或关于x的方程）
一阶方程及其解法
可分离变量
前提条件：形如 通解
齐次方程
形如
令
则
则
一阶齐次线性方程
形如
通解公式：
一阶非齐次线性方程
形如
通解公式：
伯努利方程
形如
核心思想：两边同时除以再令
通解公式：
高阶微分方程
可降阶的二阶方程及其解法
形如成为不含y的方程
令y'=p则y''=p' 带入原方程变成p'=f(x,p)一个一阶方程
形如称为不含x的方程
令y'=p 则带入原方程有的一个一阶方程
高阶线性方程结构
二阶其次线性方程：
二阶非齐次线性方程：
二阶非齐次线性方程：
若为二阶齐次方程的两个特解，
则他们的线性组合仍为同方程的解，
特别的，当，也即的线性无关时，
则方程通解为
则他们的线性组合仍为同方程的解，
特别的，当，也即的线性无关时，
则方程通解为
若为二阶非齐次线性方程的两个特解，
则为对应的二阶齐次方程的一个特解
则为对应的二阶齐次方程的一个特解
若为二阶非齐次方程的一个特解，而为对应的二阶齐次方程的任意特解，
则为此二阶非齐次方程的一个特解
则为此二阶非齐次方程的一个特解
若为二阶非齐次方程的一个特解，而为对应的二阶齐次方程的任意特解，
则为此二阶非齐次方程的一个特解
则为此二阶非齐次方程的一个特解
解的叠加原理：
设与分别时与的特解
则是的特解
设与分别时与的特解
则是的特解
二阶、高阶常系数齐次线性方程及其解法
二阶常系数齐次线性方程
(p.q为常数)
(p.q为常数)
特征方程：
特征方程跟的三种不同情形（）对应方程通解的三种形式
特征方程跟的三种不同情形（）对应方程通解的三种形式
，特征方程有两个不同的实根
方程通解为：
方程通解为：
，特征方程有两重根
方程通解为：
方程通解为：
，特征方程有共轭复根
方程通解为：
(证明过程：欧拉公式：)
方程通解为：
(证明过程：欧拉公式：)
二阶，高阶常系数非齐次线性方程及其解法
二阶常系数齐次线性方程
(p.q为常数)
(p.q为常数)
先求齐次方程通解
特解形式：（不包含三角函数）
，其中为n次多项式，为常数
，其中为n次多项式，为常数
若不是特征根，则令
若是特征单根，则令
若是二重根，则令
特解形式：（包含三角函数）
其中为次多项式
其中为次多项式
若 不是特征根
则令
其中为两个n次多项式
则令
其中为两个n次多项式
若 是特征根
则令
其中为两个n次多项式
则令
其中为两个n次多项式
欧拉方程及其解法
形如为二阶欧拉方程
令x=e^t
带入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程即
带入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程即
线性相关：两个函数
若则称为线性相关
反之为线性无关
若则称为线性相关
反之为线性无关
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