概率论与数理统计
2021-06-24 21:38:27 415 举报AI智能生成
概率论与数理统计是一门研究随机现象规律性的数学学科。它主要研究如何通过数学模型和统计方法来描述、分析和预测不确定性事件的规律性。概率论是研究随机现象的基本理论，它研究随机事件的发生规律、概率分布及其性质。数理统计则是在概率论的基础上，利用样本数据对总体进行推断和分析，包括参数估计、假设检验、回归分析等内容。这门学科在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如天气预报、质量控制、经济预测等。
作者其他创作
大纲/内容
概率论基本概念
事件的关系以及运算
事件之间的几种关系
相关重要公式
概率相关定义与公式
古典概型
条件
相关公式
经典题型
几何概型
条件概率
条件概率定理性质
条件概率延伸
乘法定理
全概率公式
独立性
独立性定理性质
伯努利定理（二次概率）
随机变量
分布函数
定义
性质（4）
离散型随机变量
分布律与分布律性质
分布律与分布函数
离散型随机变量概率分布
两点分布
二项分布
泊松分布
连续性随机变量
密度函数
公式定义
性质（4）
与分布函数对换关系
连续型随机变量概率分布
均匀分布
概率密度定义
性质
指数分布
概率密度定义
性质
正态分布
概率密度定义
密度函数性质
标准正态分布
相关定义与公式
标准化方法
性质
利用标准正态分布表求解
利用上a分位数求解
随机变量函数的分布
离散型随机变量函数分布求解方法
连续型随机变量函数分布求解方法
分布变量法
公式法
随机向量
二维随机变量
二维随机变量分布函数
定义与意义
性质（6）
二维离散型随机变量
联合概率分布表示
分布函数定义
二位连续型随机变量
联合概率密度
定义
性质（4）
二维相关分布
二维正态分布
二维正态分布的条件分布
二维正态分布的条件分布=正态分布
二维正态分布的独立性
二维正态分布，当且仅当ρ=0时，X与Y相互独立
一个要记住的公式！
二维均匀分布
几何概率公式
边缘分布
边缘分布函数
二维离散型边缘分布
二维连续型边缘分布
表达式子
求解方法
先将图形表示出来、再将公式代入，数值代入
条件分布
二维离散型条件分布律
二维连续型条件分布律
相关式子
求解步骤
先求出X,Y的边缘函数、再代入公式求解
随机变量的独立性
离散型随机变量独立性
连续型随机变量独立性
二维随机变量函数的分布
离散型随机变量函数分布
泊松分布
二项分布
连续型随机变量函数分布
分布函数法 见例题！
借用原本的分布函数来求解新的
均匀分布
正态分布
极值分布
极大值
极小值
数字特征
数字期望
数学期望定义公式
随机变量函数的数学期望计算
二维随机变量函数的数学期望计算
条件：绝对收敛
离散型
连续型
数学期望性质（5）
常用分布的数学期望
方差
方差定义与公式
方差计算
离散型
连续型
方差性质（7）
常用分布的方差
协方差和相关公式
协方差
协方差定义与公式
协方差计算
离散型
连续型
协方差性质（10）
相关系数
相关系数定义与公式
相关系数性质（3）
易混点
相关系数ρ=0，表示X,Y不相关，但不一定独立
协方差cov（X,Y）=0，表示X,Y不相关，但不一定独立
独立，一定不相关；不相关，不一定独立
相关结论（2）
*n维正态随机变量的性质（3）
大数定律与中心极限定理
大数定律
切尔雪夫不等式
定义式
推论
分析与相关结论
DX反映X取值集中于EX的程度
切尔雪夫大数定律
定义式
意义
随机变量的算数平均值接近于数学期望
伯努利大数定律
事件发生的频率可以代替事件的概率
辛钦大数定律
中心极限定理
独立的中心极限定理
定理公式
无论各个随机变量服从什么分布，只要满足条件，n很大时，其和近似服从正态分布
n充分大时的特点
独立同分布的中心极限定理
定理公式
条件：独立、同分布！
n充分大时特点
棣莫弗-拉普拉斯中心定理
积分极限定理
定理公式
相关说明
n充分大时，二项分布可以当作正态分布
局部极限定理
定理公式
其实就是正态分布的概率密度函数
相关说明
二项分布以正态分布为极限
数理统计的基本概念
总体、个体、样本、统计量定义区别
样本
样本的分布
样本的联合分布函数
离散型样本的联合分布律
连续型样本的联合密度函数
样本特征
代表性
独立性
统计量
统计量和观察值定义
常用统计量与公式
样本均值
样本方差
样本均方差
样本k阶原点矩
样本k阶中心距
与样本方差关系
统计量性质（2）
抽样分布
卡方分布
定义与相关特点
n越大，越接近正态分布
性质
数学期望和方差、可加性
上侧分位点
定义与应用
t分布
定义与相关特点
密度函数图形关于t=0对称，n越大越接近于标准正态
性质（4）
上侧分位点
定义与应用
性质
对称性
F分布
定义与相关特点
n保持不变时，m增大越接近于正态分布
性质（3）
上侧分位点
定义与应用
性质
倒数
正态总体样本的相关重要公式
前提公式
标准化公式
线性变化公式
一个正态总体情况（5）
两个正态总体情况（5）
非正态总体情况（2）
参数估计
估计量和估计值相关定义
点估计
矩估计法
定义与原理
用样本矩作为总体矩的估计方法
矩估计法步骤
1、列出矩估计式
2、解上述方程组（有几个参数就求到几阶矩）
3、求出矩估计
最（极）大似然估计法
原理与书写
离散型
连续型
最大似然估计法解题步骤
1、写出似然函数
2、求对数似然函数
3、求导并令其导数等于0
4、解上述方程组
若求导求不出，就看如何才能让函数值最大
估计量评估标准
无偏性
无偏性定义
无偏性相关结果（5）
有效性
有效性定义
一致性
一致性定义
一致估计的一般结论（6）
一些结论（4）
假设检验
假设检验的步骤
1、根据问题，建立原假设和备择假设
往往根据样本做出接受备择假设或拒绝原假设的决定
2、构造合适的统计量，计算其抽样分布
3、给定显著水平和确定临界值
4、计算统计量数值并做出决策
区间估计
置信区间和置信度区分
需要利用一个正态总体的情况公式
区间估计步骤（例题P149）
1、求样本X1~Xn的函数
2、对于给定的置信水平，确定两个常数
3、从不等式中得到等价不等式
4、得到置信区间
正态总体均值和方差的区间估计
求均值的置信区间
方差已知
方差未知
求方差的置信区间
均值已知
均值未知
两类错误
两类错误相关定义
两类错误相关关系
关于单个正态总体参数的假设检验
求均值
已知方差
未知方差
求方差
未知均值
公式总结
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