概率论与数理统计思维导图模板_ProcessOn思维导图、流程图

一，随机事件和概率

I.随机事件，事件的关系和运算

随机事件

重复进行；结果可知且不唯一；结果无法预知

事件关系

相等

A=B

包含(A发生B必然发生)

Subtopic

互斥(互不相容)

AB=ø

对立

A∪B=Ω,A∩B=ø

事件运算

并/和

A∪B或A+B

交/积

A∩B或AB

差

A-B

非/bar

Subtopic

事件的运算规律

Subtopic

II.概率及概率公式

概率

定义

概率性质

Subtopic

条件概率

Subtopic

事件A发生下事件B发生的概率

独立性

两个事件

P(AB)=P(A)P(B)

三个事件

P(AB)=p(A)P(B) P(AC)=p(A)P(C) P(BC)=p(B)P(C) P(ABC)=p(A)P(B)P(C)

五大公式

加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) -p(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)

减法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)

乘法公式：若P(A)>0,P(AB)=P(A)P(A|B)

完备事件组：B₁,B₂…满足

全概率公式：对于完备事件组，若有

贝叶斯公式：对于完备事件组，若有

III.古典概型&伯努利概型

古典概型：P(A)=A中样本数/样本总数

伯努利概型

伯努利实验：每次实验只用两个结果：A和Ã，进行n次为n伯努利实验

二项概率公式：n重伯努利实验发生k次概率为：

二，随机变量及概率分布

I.随机变量及其分布函数

定义

在样本空间Ω上的实质函数X=X(ω),ω∈Ω,称X(ω)为随机变量

离散型随机变量

取值为有线多个或者无穷可数个

概率分布/分布律

分布函数

对任意实数x,X的分布函数：F(x)=P{X≤x},-∞<x<+∞

性质

F单调不降，右连续

P(X=x)=F(x)-F(x-0)

Subtopic

其它

0≤F(x)≤1

P(x₁<X≤x₂)=F(x₂)-F(x₁)

连续型随机变量

概率密度：f(x)，要求非负可积

分布函数：

性质

F(x)连续

F(x)单调不减，因为F'(x)=f(x)≥0

Subtopic

常用分布

0-1分布

可看成单次伯努利实验

X~B(n,p)二项分布

可看成多次伯努利实验

几何分布

则称X为服从参数p的几何分布

超几何分布

则称X为服从参数n,N,M的超几何分布

X~P(λ)泊松分布

k=0,1,2…；常数λ>0

泊松定理

若n↑会导致p↓，则

X~U(a,b)均匀分布

区间(a,b),则X~U(a,b)

Subtopic

区间[a,b],则X~U[a,b]

Subtopic

性质

Subtopic

落入[c,d]可能性为该区间长度与[a,b]的比例

X~E(λ)指数分布

Subtopic

性质：无记忆性

P{X>t}=P{X>t+s | X>s }=e^(-λt)

X~N(μ,σ²)正态分布又叫高斯分布

Subtopic

标准正态分布：X~N(0,1)时，分布函数

正态分布标准化：

Φ(-x)=1-Φ(x),Φ(0)=1/2

性质

Subtopic

随机变量函数Y=g(x)的分布

离散型

Y也是离散型，此时只需要根据分布律写出P{Y=g(xk)}=pk

连续型

公式法

f=g(x)单调，导数不为0的可导函数，h(y) 为它的反函数，（α，β）为x可能区间上的值域

定义法

Subtopic

子主题

三，多维随机变量及其分布

二维随机变量及分布

二维随机变量

定义

性质

F(-∞,y)=F(x,-∞)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1

F(x,y)关于x,y单调不减右连续

P{a<X≤b,c<Y≤d}=F(b,d)+F(a,c)-F(b,c)-F(a,d)

概率分布/分布律：

边缘分布

Subtopic

条件分布

二维离散型

边缘分布：

对应j个元素的和

对应i个元素的和

条件分布：

二维连续型

定义

性质

(X,Y)落在D内的概率为

边缘密度

Subtopic

条件密度

f(x,y)在点(x,y)连续，fY(y)连续且fY(y)>0,则

随机变量的独立性

定义

F{x,y}=FX(x)FY(y)

充要条件

离散型：

连续型：

均匀和正态

二维均匀分布

定义：如果A为有界区域的面积，如果概率密度为

Subtopic

二维正态分布

概率密度

Subtopic

若xy无关

性质

Subtopic

X，Y相互独立的充分必要条件：ρ=0

Subtopic

两个随机变量Z=g（X,Y）的分布

X,Y均离散

X,Y均连续

Subtopic

X离散，Y连续

把X用全概率公式展开

Subtopic

Z=max{X,Y}

等价于X和Y都不大于z

分支主题

Z=min{X,Y}

等价于X和Y都不小于z

Subtopic

四，随机变量的数字特征

数学期望与方差

E(X)

离散型

Subtopic

连续型

Subtopic

性质

E(C)=C

E(CX)=CE(X)

E(X±Y)=E(X)±E(Y)

如XY独立,E(XY)=E(X)E(Y)

随机变量函数

Y=g(X)

离散

Subtopic

连续

Subtopic

Z=g(X,Y)

离散

Subtopic

连续

Subtopic

D(X)

Subtopic

标准差

性质

D(C)=0

D(aX+b)=a²D(X)

XY相互独立，D(X±Y)=D(X)+D(Y)

常见

X~B(n,p)二项分布

E(X)=np

D(X)=np(1-p)

X~P(λ)泊松分布

E(X)=λ

D(X)=λ

X~U(a,b)均匀分布

E(X)=(a+b)/2

D(X)=(b-a)²/12

X~E(λ)指数分布

E(X)=1/λ

D(X)=1/λ²

X~N(μ,σ²)正态分布

E(X)=μ

D(X)=σ²

矩协方差和相关系数

矩

k阶原点矩

E(X^k)

k阶中心矩

E{[X-E(X)]^k}

k+l阶混合矩

Subtopic

k+l阶混合中心矩

Subtopic

cov(X,Y)-协方差

cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

性质

展开形式:cov(X,Y)==E(XY)-E(X)E(Y)

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)

cov(X,Y)=cov(Y,X)

cov(aX,bY)=abcov(X,Y)

cov(X₁+X₂,Y)=cov(X₁,Y)+cov(X₂,Y)