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电动力学

2024-03-20 14:38:56   5  举报

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涵盖经典电磁理论基础问题的笔记

静电场

物理

电动力学

物理学

四大力学

电磁理论

辐射

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学习笔记

作者其他创作

大纲/内容

必备数学基础

1、场论初步

四种微分算符

梯度

梯度的物理意义是标量场沿最快增长方向的空间变化率

散度

散度的物理意义是矢量场的源的强度，它等于某点单位体积内发出的对应矢量的通量

拉普拉斯算符

旋度

旋度的物理含义是矢量场环流的强度，等于矢量场中通过某点邻域内单位面积的对应矢量的环量

矢量微分运算

原则1、求导要对所有变量求导；原则2、矢量标量区别鲜明
原则3、三连叉，远减近；原则4、平行六面体换底求体积

高斯定理与斯托克斯公式

高斯定理：闭合曲面通量等于散度体积分

斯托克斯公式：闭合回路环量对于旋度面积分

2、特殊函数

δ函数

有一个傅里叶恒等式

通过高斯定理在积分意义上相等

勒让德多项式

正交性，在-1到1之间的积分定义内积

球谐函数

静电场拉普拉斯方程通解的角向部分（以及中心势场下单体薛定谔方程的角向部分都）是球谐函数

正交性，在4π立体角中积分

通过加法公式可以与勒让德多项式相联系

3、并矢运算

二阶并矢以内的乘法可以用矩阵乘法来计算

第一章电磁现象基本规律
与电磁学重复的部分不写

静电场

电场与电势

真空静电场中电场的散度和旋度

真空静电势的泊松方程

恩绍定理：处于其他电荷产生的静电场中的点电荷不可能处于稳定的力学状态，
即静电场中的点电荷不存在稳定的力学平衡

静磁场

可以证明电流元之间不满足牛三，但两回路之间满足牛三，
只需要对两个dτ积分再计算即可

子主题

磁感应强度与磁矢量势

；
或者我们重新定义矢量势，采用库伦规范也可有此结论

根据一个实例发现磁矢量势也是环状的

真空静磁场中磁感应强度的散度和旋度

类真空静电势的泊松方程

麦克斯韦方程组的建立

由电磁感应定律说明涡旋（感应）电场是有旋场，获得了一般情况下的电场环路定理

位移电流的引入(真空)

麦氏方程的完备性的证明

1、假设两个符合麦氏方程组的电磁场，定义两组场的差值

2、计算这两组场的差值场的电磁场能量随时间的变化，当然等于边界处的能流密度的流入

3、结合差值场的初始条件和边界条件可知电磁场能量密度恒为零，所以两组场一模一样

电磁场的基本属性

1、电磁场的能量和能流

我发现所有的能量都要从做功的角度推导出来

我们可以估算导线中电子的运动速度，发现~10^-4m/s，但生活中电器打开的时间是很短的，
这说明用电器的能量不是靠电子传递，而是靠光速传播的电磁场来传递

而之前我们计算电场能量和磁场能量都是用电子or电流逆着电势差
做负功来推导的，也能推出一致的结果。这里是否矛盾呢？

——不矛盾，因为可以看成用电器最近的电子通过用电器后电子做
的功，电路的压降大部分落在用电器上

原子核内质子之间的静电相互作用能量

相互作用能量是通过总电磁场能量减去称为自能的单个核子的电磁场能量算出来的

2、电磁场动量和动量流

动量流密度张量是可以等价于压强的，即力的面密度

电磁动量与正则动量

3、电磁场角动量和角动量流

线性介质内的电磁场

电场

只要抓住一点，电极矩里有两电荷的距离，这东西乘以表面积等于体积，然后乘以数密度就可以
得到总极化电荷

极化强度等价极化电荷面密度

磁场

同样地，磁矩中有一个小电流的面积，它乘以环路积分的长度得到体积，然后乘以数密度得到总电流

磁化强度等价磁化电流面密度

本书的核心近似
——似稳电磁场

含义：位移电流远小于传导电流以及电磁场在考察的整个区域内几乎是同相位的——不同位置的电磁场随时间的变化、
场与源随时间的变化可以近似认为是瞬时关系

更加粗糙但更方便理解的定义方式是：低频或直流电路以及静电场

条件（这两个是等价关系）

1、电荷和电流的变化足够慢：其中是导体的电导率,是电磁波的频率被称为良导体条件

电磁场的边值关系

都是由麦氏方程取特殊的积分情况得到,
但是我们写出麦氏方程的微分形式时，都是用连续函数表示，
而边界处显然是不连续的，我们则必须要利用边界条件来给出
边界的情况。所以解决实际问题时，麦氏方程和边界条件须同
时给出

1、垂直界面方向的电磁场

2、界面切向你方向的电磁场

我认为所谓的“面电流密度”实际上
是线电流密度，乘以长度得到电流

第二章静电场
——全部都在玩电场的高斯定理

1、静电场的多级展开
（本质上是静电势的多级展开）

电势的多级展开

注意，为了书写方便，一般是将电荷源的中心设为坐标原点，然后在原点处对函数做展开。这里是在坐标原点处做的展开

电四极矩之前的项：

有一个无迹形式的电四极矩，它和正式定义下电四极矩在电势意义下是同价的，
不过只有5个独立分量

电偶极子和电偶极矩：
电偶极子是一个电荷系统，这个电荷系统是可以多级展开计算各电极矩的，但如
果以电偶极子的中点作为原点进行多级展开，则计算结果为：电单极矩、电四极
矩均为零，电偶极矩不为零。从这里可以很好地理解这个个概念的区别。

坐标系原点的选取是否对多级展开有影响？
有的！并且是电多极矩的表达式以及电多极矩的电势都会改变，但只要展开条件
依然满足，就相差不会很大。

（相互作用）能量的多级展开：

静电场的能量可以分成三部分：内部电荷单独存在时的
静电能、外部电荷单独存在时的静电能和内部与外部
相互作用能；

内部电荷与外场的相互作用能量的多级展开恰好等于内部电荷的各电极矩
在外场中具有的势能

在相互作用能量的基础上定义作用力

均匀气体的相对介电常数

将每个分子简化为一个电偶极矩，再在热平衡的基础上施加电场，
热平衡的影响体现在电偶极矩的方向与电场的夹角满足玻尔兹曼分布，
全空间积分可求得总极化强度，，由此可以定义它的相对介电常数、极化率等等

原子核的电四极矩

2、静电势的微分求解

静电场的唯一性定理

系统的静电场由该系统①各绝缘介质（介电常数已知）内自由电荷分布、②每个导体的总电荷或电势
以及③系统的边界条件（边界边界的电势或电势在边界上法线方向的导数）唯一确定；
而静电势最多差一个常数.

证明

（跟证明麦氏方程组的完备性思路一样：）
假定存在两个电势场都满足以上条件，然后证明两个电势场的差值的梯度的积分为零。中间需要计算一个巧妙的积分式：所有子区域的边界处的
电势乘以电位移矢量的面积分求和

内涵：在求解静电场电势时，如果某一标量场函数既满足泊松方程，又满足边界条件，则这一场函数必定是
该系统的电势函数

求解静电场时的要点

①泊松方程

②介质界面电势连续

③介质界面电势梯度（电场强度）法向相差电荷面密度

④导体表面电势为常数

求解静电场的一些巧妙方法

①镜像法

思路：在不改变考察区域中电荷分布的前提下，我们用若干假想的点电荷取代
所考察区域的边界条件，（或言之，在考察区域外引入少数几个点电荷，使得
这几个假想点电荷和已知存在的电荷在边界处的合电势等于原先的边界条件）
那么所考察区域中的电势函数就等于原来存在的电荷与这几个引入的假象电荷
所产生的合电势

②格林函数方法

格林函数在此处的定义为：在已知点r'处的、给定特
定边界条件下的单位点电荷产生的电势场函数

这里的边界条件有两类，分别是为零和法向导数为一个常数

方法是在某些特定的边界条件下，我们可以写出格林函数，之后通过数学证明直接给出
包括自由电荷分布、边界条件和格林函数的电势函数表达式。
注意，已知第一类边界条件，则给出的是第一类边界条件的格林函数，后者在边界处的
函数值恒为零

③分离变量法

通过勒让德函数给出球坐标系下的拉普拉斯方程的通解，再待定系数
具体而言：

1、根据敛散性确定渐近解的形式
2、根据两个边界条件确定剩余待定系数，势必要用到勒让德多项式的正交性，即对于每个n都得到一组方程

3、等离子体的静电现象

①静电屏蔽

是指在等离子体内部的电荷因为改变等离子体电荷分布的缘故，
使得该电荷的电场呈现以德拜屏蔽长度为特征长度的指数衰减。

②等离子体振荡

指的是电中性条件破坏后，等离子体内因为强烈的静电恢复力发生的电荷密度振荡
应该考虑到这几项：电荷守恒定律+静电恢复力

推导振荡方程中采用了微扰的思想，
前后进行一次对时间的求导和求散散；
结论是

4、大气和宇宙中的静电现象

大气层顶部整体带正电，电场强度在地面附近大约
从地面到大气层顶部的电势差大约
地球的核子约有个

单位制

高斯单位制，CGSE，用厘米·克·秒作为基本单位

MKSA单位制，以m、kg、s、A为基本单位，注意电荷量C是通过A、s定义出来的

极化强度P除以时间t等价于电流密度J
标量势处于速度等价于矢量势

注意的单位就是

动量流密度张量是可以等价于压强的，即力的面密度

核心定理

物质守恒定律

电荷守恒定律

电流连续性方程

电学

库仑定律及库仑定律引出的任何电荷场的电场

一般情况下的高斯定理

一般情况下的电场环路定理

磁学

(安培定律)毕奥萨伐尔定律
（任何电流场产生的磁感应强度场）

磁高斯定理

安培环路定理

磁介质中的安培环路定理

电磁感应

电路与磁路

欧姆定律

磁欧姆定律（磁路定理）

物质方程

电磁场的基本属性

一些常见的微分方程

波动方程：无源场中电磁场满足的方程，特解为电磁波

亥姆霍兹方程：无源场中电磁场满足随时谐变条件时满足的方程，特解为电磁波

泊松方程：静电场中静电势满足的方程，由高斯定理推得

达朗贝尔方程：一般电磁场中标量势和矢量势满足的方程，由规范条件和电场散度定理与磁感应强度旋度定理推得

第三章静磁场

1、磁矢量势的多级展开

和静电势的多级展开很类似，所以只提几点不同

2、鉴于此，磁场可以直接用磁偶极矩来全盘近似

3、引入磁标势

4、磁偶极矩在外场的能量见电磁学的"磁（偶极）矩"部分，
但是小电流线圈的磁势能与它在外磁场中的相互作用能量差
一个负号！而电偶极矩的这二者都是负号

有时间再探究去了

微观粒子的磁偶极矩

自旋角动量，费米子的自旋角动量为的半整数倍，
玻色子的自旋角动量为的整数倍

提问

1、给定电流分布系统的磁偶极矩定义是什么？磁偶极矩对应的磁场矢量势形式是什么？

2、磁偶极矩在外磁场中势能的形式是什么？它与外磁场相互作用的能量是什么？

2.5、什么是玻尔磁子？

2、静磁场的矢量势和标量势

3、什么是静磁场的唯一性定理？

当一个电流系统的具有线性磁介质，若已知其中的电流分布、磁介质分布和边界上的磁矢量势或磁场强度的切向分量，
则静磁场的磁感应强度是唯一确定的

4、什么时候可以定义磁标势？磁偶极矩的磁标势是什么形式？
任意形状的单匝线圈磁场标量势是什么形式？

在所研究的系统中没有自由电流或者（减小点要求）将这些自由电流挖去后仍能形成单连通的区域，使得
磁标量势的梯度也就是磁场强度的散度为零，——无旋场。
这时磁标量势满足泊松方程，等号右边为磁化磁荷，对于均匀磁介质直接变成拉普拉斯方程。
磁偶极矩的标量势形如

单连通：指一维单连通，即任何一个闭合曲线
能收缩成一点，对于三维空间只要不被“刺穿”，
就都是单连通的

任意形状的单匝线圈可以被视为无数个磁偶极矩的叠加，我们计算每一个磁偶极矩的磁标势然后积分即可，

5、磁偶极矩在外磁场中收到的力和力矩的形式是什么？

力：
力矩：

力矩怎么算？

真矢量和赝矢量

真矢量（极矢量）是指在宇称变换下改变符号的矢量，赝矢量（轴矢量）则不改变。
由两个真矢量外积定义出来的矢量势赝矢量，比如角向量、磁场强度等等

3、静磁场和量子现象

超导

6、什么是超导现象，有什么特性？如何解释超导现象？

是指在一定条件下，导体的电阻降维0的情况。
特性包括，超导体内电场强度、磁感应强度和电流密度为0，

通过假定超导体内存在两类电流，普通电流和超导电流。超导电流通过稳恒条件可以推出电场强度为零，
进而知道一般电流为零，伦敦方程可以解释磁场强度为零,因为磁场会在超导体表面快速衰减，只有的深度：

7、为什么超导环具有磁通量子化效应？什么是阿哈罗诺夫-波姆效应？

指的是正常导体放入磁场并将其诱导超导后，将磁场撤去，其中的磁通量保持不变且量子化的想象。
量子化的原因是超导体中导电的是cooper电子对，它的速度为零，所以正则动量全为电磁场动量，
超导电子对绕环转一周系统的波函数都不变，这要求相位的变化是2π的整数倍，这个相位的变化
是通过正则动量表示出来的，在刚刚的讨论中正则动量完全等于电磁场动量，可以化为磁通量，
最终可以导出磁通量的量子效应

阿哈罗诺夫-波姆效应说明了磁矢量势A不仅仅是一个辅助量，也具有可观测效应
实验的设计是这样：在电子双缝实验装置的双缝后加上一根无限长螺线管，这使得
电子干涉图样发生了变化。磁场被完全束缚在螺线管中，所以只有磁矢量势能够对
电子波函数的相位产生影响

4、介质的磁性

顺磁性

居里顺磁性

温度越高，磁化率越低

顺磁性的经典理论

推导的方式是将材料中的分子视为一个个固有磁偶极矩，在外磁场的作用下，它们的朝向将服从玻尔兹曼分布，
计算出来后，总磁化强度将与磁场强度呈线性关系，与温度成反比，磁化率此即居里定律

量子解释

泡利顺磁性

大量实验证明，大多数正常非铁磁性金属的磁化强度与温度无关

解释：因为金属中大部分传导电子并不能在加磁场时转向，直观的理解因为费米海中自旋平行与磁场的大部分轨道已近占满了，只有费米分布的顶端范围内的电子才有机会转向；细致的计算将计算磁矩平行于与反平行于磁场的电子浓度，然后作差，结果为

抗磁性

9、电子在外磁场作用下做拉莫尔进动，简述其过程

电子具有内禀磁矩（这里指轨道磁矩）和轨道角动量，对应磁矩，磁矩在磁场中受到磁力矩，
故由角动量定理做进动，此即拉莫尔进动。进动也将产生一个角动量，该角动量也会产生
一个磁矩，方向总与磁场方向相反，所以具有抗磁性

注：这是经典的解释，不过量子解释会给出相同的结果

铁磁性

铁磁性来源

铁磁体经典解释为：磁畴的存在使得最小磁矩单元不再是分子的固有磁矩，而是磁畴，在居里定律公式中可将表示单个磁畴中包含的分子个数，那么他的磁化率约为顺磁介质的倍

量子解释：交换场！

物理根源

量子力学交换作用：两个自旋之间的相互作用能量包括一项： ,J是交换积分，与i、j的电荷分布有关，这个能量项又称为海森堡模型

交换场又称外斯场（Waiss），写做，它不是真正的磁场，但有着与磁场相同的物理效应，磁矩处于该场中具有能量，收到力矩，不过它不像Maxswell方程那样对应一个电流。
从一个顺磁体出发，交换场使得所有自旋为S的粒子之间趋于平行排布。交换场量级高达1000T，相比之下，一个磁性离子在邻近格点上产生的场约为0.1T。现计算铁磁体的磁化率，假定一个参数\lambda，认为交换场产生一个磁化强度；，再假设这个磁化强度可以由顺磁性磁化率表述是外加磁场，再定义总的磁化率,可以轻易解出即临界温度，或者顺磁-铁磁相变温度，此即居里-外斯定律
另一方面，而热扰动会反抗交换场的磁矩取向效应，导致高温时，自旋的序被破坏。

铁磁性物体一般有自发磁矩，唯一的例外是简单反铁磁体

10、为什么铁磁介质内部可以对外界磁场予以屏蔽？
为什么磁铁能够吸引铁屑而不能吸引其他灰尘？

在磁铁作用下，铁屑可视为一个磁矩为，显然，越接近磁铁，B越大，所有力的方
向指向磁铁。

铁磁体的磁屏蔽是描述的是磁通量大部分都处于相对磁导率高的介质中，
原理：磁场强度切向连续，而磁感应强度是磁场强度乘以磁导率，铁磁体内部磁化率极高，在表面、外部磁化率相对极低

5、自然界的磁场

11、地球表面磁场、太阳的磁场等等

第四章电磁波的传播

1、平面电磁波

1、真空中电磁场的波动方程形式是什么？为什么真空中平面单色电磁波中电场强度
、磁感应强度和电磁波的传播方向三者之间两两垂直？什么样的单色平面电磁波被
称为圆偏振波

2、在线性介质中单色平面波的电场部分和磁场部分的能量密度是否相等，为什么？

当然相等，因为B与E之间通过旋量方程联系，B与E相差光速

3、单色平面电磁波的动量流密度张量的形式是什么？

注：光子反射率为100%时的满射压强公式与自由气体的
压强公式一样，都是

4、太阳的辐射压强有多大？辐射压强在形体结构的演化中起什么作用？

。
对于恒星而言，辐射光压抵消了万有引力从而维持恒星的结构

电磁波的瞬间能量/能流密度和平均能量/能流密度

首先只要是电磁波，无论介质是什么，电场和磁场的能量密度总是相等，
能流密度无所谓电场与磁场之分。

对时间取平均的意思是，先平方，再在长时间内取时间平均，这样算出来等于用实振幅平方除以2

2、电磁波在绝缘介质界面的反射和折射

5、折反定律

证明：在x-z入射面内电位移矢量法相连续，①每时每刻成立，导出频率不变；
②在任意x处成立导出不变，从而导出折返定律

菲涅尔公式

s光，E垂直入射面

两个切向连续通过电场与磁场的关系化为二元一次方程，很容易便给出电场复振幅之间的关系

p光，E平行入射面

同理

布儒斯特角

全反射

；一定是大折射率入射小折射率，或者说是光密入射光疏

倏逝波以及反射光的相位变化在高等光学中再提

3、电磁波的衍射

给出了根本原理：求解再给定边界条件下的电磁场波动方程；
我们这里推导了场点的振幅和边界的振幅的关系，即基尔霍夫衍射公式

注意，这里并没有用到惠更斯-菲涅尔原理，
二者之间必定有什么联系

我们借用了两个辅助恒等式，唯一用了物理的地方便是将梯度算符用-ik替代了

之后讨论了小孔衍射的近似，这里对应高等光学中的菲涅尔衍射公式和夫琅和费衍射公式

4、电磁波在导电介质（等离子体和导体）内和边界的传播

在等离子体中的传播

计算的近似要点——相当于等离子体的受迫振动
1、忽略磁场作用；2、考虑电子与介质内原子的散射作用，用与电子动量成正比的“散射力”替代；
3、等离子体自身的恢复力被忽略；

6、导电介质的电导率与外来电磁波之间的关系是什么？什么是导电介质的
等效介电常数？

7、等离子体对与电磁波的色散关系是什么？为什么
大气电离层对于波长较长的电磁波能够全反射？

这里反映了什么物理本质呢？
良导体的内涵在于他对于电磁场的响应很快，不会由于电磁场的频率过高而因为载流子
的弛豫而导致电导率降低。所以这里的快其实是相对的，主要要看电磁波的频率有多高，
一个典型的数值是铜的良导体条件是电磁波频率<

等离子体中相速度和群速度有什么关系？

在导体中的传播

首先很容易证明良导体内电磁波频率不是特别高时，电荷密度将在非常短的时间内消失，
寿命为

最重要的理解

电荷密度为0，电流密度等于电场乘以电导

这将从磁场强度的旋量方程中给出复介电常数

有电场强度波动方程给出波矢：

9、为什么良导体内部“单色平面电磁波”的波长远小于该频率电磁波在真空中的波长？
为什么射入良导体内的电磁波传播方向几乎和入射角无关？其传播方向是什么？

通过良导体的色散关系和电磁场的边界条件我们可以求出电磁波在导体表面两侧的波矢的关系，
发现k''的垂直界面方向的分量远大于平行界面的分量，而平行界面的分量的量级对应的正是真空
中电磁波波长的量级，所以良导体内的电磁波波长远小于真空。
正因此，在良导体内电磁波的传播方向都近似垂直界面。

10、为什么良导体内电磁波的能量以磁场为主？为什么良导体对于电磁波具有很高的
反射率？为什么一般导体不能有效屏蔽γ射线？

11、不满足良导体条件时，即入射电磁波频率很大时会发生什么？

当频率略高于时，会有部分光透射，但是是衰减波；
当频率进一步增加，透射部分增加，反射部分减小；
金属的光泽就是反射以及吸收的光；
当频率远大于时，导体将等价于“透明稀薄”的等离子体，此时反射率相当小

补充自固体物理：根据自由电子气模型，如果光频率远大于碰撞频率，我们可以将电看成子完全
自由的电子

此外，电磁波在金属中的能量会转化为电子的动能从而宏观上转化为热量，对应的是
电子在外电磁场作用下形成涡流从而产生焦耳热，而金属的反射对应的物理图像是电子
形成方向相反的电磁波源，对电磁波重新发射

除上述问题外，电磁波在导体中传播还有这些常识

2、磁感应强度比电场强度重要的多，且相位提前

3、沿界面的传播速度远小于光速

4、电磁波在导体表面反射率接近1，且电导率越高、频率越低，反射率越高

地球电离层与短波通信

白天等离子体多，夜晚少；
地球大气层外表面会形成一个太阳风包围的磁层；
电离层在大气层中，由低到高自由电子密度递增，因此截止频率也随之递增，,
根据这个差不多可以划分长波、中波和短波；
白天D层对中波的吸收多，晚上D层会消失，所以晚上中波更清楚；
短波比长波更难干扰

8、大气的电离层中电磁波传播时有哨音现象，物理基础是什么？

频率比远小于等离子体回旋频率又远大于电子回旋频率的电磁波在稀薄等离子体中传播时，
其群速度随频率增加而增加，则接受器接受到的信号是先高频再低频，一个降调的信号，
又处于音频频段，所以像哨声一样
产生的基础是闪电引起的宽频带电磁脉冲

5、有界空间（良导体腔内表面内）的微波

注意波导管和谐振腔都是有前提的，即电磁波频率不能太高

注意，求解金属腔内电磁场的通法都是在边界切向电场为0，边界电场法向导数为0的前提下，
求解赫姆霍兹方程

12、矩形谐振腔内电场强度的形式是什么？可以产生电磁波
的最低频率形式是什么？矩形波导管内能传播的电磁波最低
频率是多少？

矩形谐振腔内电场的三个分量都是两个sin一个cos组成，kx，ky，kz分别满足驻波条件（等价相干相长条件）；
最低频率是要两个对应腔长最长的量子数取为1，注意量子数最多一个为零，此时对应1个模式，全部不为零才
对应两个模式；
波导管中电场的三个分量横向的是一个cos一个sin，纵向的是两个sin，并都再接一个沿z传播的行波；
因为kz是任意取的所以最低频率只要一个量子数为1即可

12.5、什么是TE模，什么是TM模

从波导管的电场形式可以看到，若kx或ky有一个取为0的话，则Ez总是等于零的，所以就是横向电场模式了，记为TEn0模

13、波导管能传播横波吗？为什么？

不能传播，因为通过两个旋量方程可知Ex、Ey、Hx、Hy都可以写成与Hz，Ez的齐次
的形式，若为横波，则所有电磁场分量均为零

14、波导管上的横向裂缝与纵向裂缝的影响

一般的影响分析可以从电磁场的解入手，由边值关系给出面电荷密度和面电流密度，再分析；
但对于基模来说，窄面电流沿横向方向，所以横向裂缝不产生什么影响，但纵向裂缝影响很大
在宽面的中线，电流纵向传播，所以开纵向裂缝不产生影响

第五章电磁波的辐射(产生)
——变化的电荷、电流系统

讨论电磁场的矢量势和标量势的规范

1、对于一般电磁场而言，电磁场的电场强度、磁感应强度与该
电磁场的矢量势和标量势的关系是什么？

规范

2、什么是规范？什么是规范条件？
标量势和矢量势可以看成一个导函数的原函数（不定积分），那么它们肯定不是唯一的。
矢量势加上任意标量函数的梯度，与此同时，标量势减去这个标量函数对时间的求导仍然满足
上述（电场强度和磁感应强度与标量势、矢量势）关系。
每一组满足这个关系的矢量势和标量势称为一种规范
规范条件是一个方程，用来限定标量势或矢量势

3、什么是规范变换与规范不变性？

从一种规范变到另一种规范——矢量势加上任意标量函数的梯度，
与此同时，标量势减去这个标量函数对时间的求导，称为规范变换；规范
变换后电场强度和磁感应强度应保持不变称为规范不变性

标量势和矢量势所遵循的方程是什么？

它们的定义是来自电场的旋度方程和磁感应强度的散度方程，
它们将要满足电场的散度方程和磁感应强度的旋度方程，代入后会有类似泊松方程的方程出现

4、两种特殊的电磁场规范

库伦规范

洛伦兹规范

洛伦兹协变性：在狭义相对论下进行时空变换后，方程的形式不变;
实际上，这两个（准确的说是四个）达朗贝尔方程可以通过四维谐变
矢量写成一个谐变方程

两种特别的静磁场规范
假设

朗道规范

对称规范

推迟势与辐射场

在洛伦兹规范下讨论变化的电流/电荷系统的矢量势和标量势。我们是先推出位置不变、电荷量随时间改变的点电荷产生的标量势

刚刚仔细审查了一遍，这里不要求真空条件

5、推迟势的形式是什么？为什么说“推迟”是电磁辐射的物理基础？

交变电流的辐射场

第一点、交变电流是蕴含着交变电荷的，从电荷守恒定律可以看到

我们将电荷场和电流场代入推迟势的形式，定义了一个综量！辐射电流源强度！，
之后通过这个综量将矢量势、磁感应强度、标量势、电场强度、能流密度、辐射能
量（功率）表达出来

辐射电流源强度反映了辐射源的电流强度和辐射源尺寸

细直天线的辐射

这里相当于给出一个具体的情形来计算电流源强度

6、什么是半波天线？它有什么性质

长度为半波长的天线是半波天线，波长有交变电流的频率决定；
其辐射功率最强的方向是二分之π，即垂直天线方向。
其功率约为取安培，结果为W

天线阵列的辐射场

多根天线的辐射场发生干涉，能量高度集中在π/2的位置

多极辐射

7、延迟势做多级展开的条件是什么？

辐射源的线度远小于辐射电磁波的波长，而波长又远小于辐射源与接收辐射
的场点的距离

多级展开是辐射电流源强度对e指数展开

8、电偶极辐射中矢量势的形式是什么？电偶极辐射的电磁场形式是什么？
辐射的能流密度形式是什么？辐射功率的形式是什么？

电流源强度的展开的第一项竟然等于电偶极矩的时间一阶导

9、电四极辐射和磁偶极辐射中矢量势的形式是什么？

而电流源强度的展开式的第二项竟然等于电四极矩的时间二阶导除以光速和磁偶极矩的时间一阶导除以光速

一个对应关系：
（物理）高斯定理-通量方程-散度方程（-（数学）高斯定理）
环路定理-环量方程-旋度方程（-（数学）斯托克斯定律）

第六章狭义相对论

1、什么是物理规律的协变性

是指包括麦克斯韦方程组、牛顿三定律在内的物理规律在不同的惯性系下有着相同
的形式

绝对时空观和以太理论的困境

光行差实验

说明以太完全不被地球的运动拖动

斐索流水实验

通过干涉测得光速的改变，表明流水部分地拖动以太

霍克实验

也说明运动介质可以部分地拖动以太

迈克尔逊-莫雷实验

将装置旋转90°期待测得条纹的移动，但结果是条纹移动数小于0.01，表明地球相对以太
几乎静止。或言之，地球参考系即绝对/以太参考系

三选二的困境

1、伽利略变换；2、麦克斯韦方程组；3、相对性原理

2、为什么经典的伽利略变换会导致麦克斯韦方程组在不同的惯性系下的形式不同？

因为经典伽利略变换意味着光速在不同的惯性系中速度不同，而光速是通过静电学和静磁学
引入的真空介电常数和真空磁导率定义出来的，光速的不同意味着在不同的惯性参考系中，
波动方程中对时间二阶导前面的系数不再简单的是那两个常数之积，进而意味着麦氏方程组
不一样

狭义相对论的时空观

3、狭义相对论的基本假定

1、相对性原理：

这么看来和“物理规律的协变性”有着相同的含义

2、光速不变原理：

洛伦兹变换

洛伦兹变换的推导

1、时空均匀性——线性
2、化为四个未知系数
3、通过狭义相对论的两个基本假定构造四个时间来确定这四个系数
4、确定的过程中表面上是利用几何关系，本质上是坐标变换就是一切

4、洛伦兹变换的形式是什么？狭义相对论中速度变化的形式是什么？

Σ'参考系的速度严格定义为dx'/dt'，推导的过程严格遵照洛伦兹变换
从这里可以看出，当物体以光速运动时，在两个参考系中的速度相同

相对论时空观中的典型现象

运动尺缩效应
（我测得长度变短了）

在Σ中测与Σ'相对静止的尺子的长度，我们是在Σ中考虑这个问题，测量的方法
是在Σ中同时测尺子的两端再相减。测量的结果并非本征长度
尺缩是指观察者（在他的参考系Σ中）观察到运动的尺子比它的本征长度（静止
时的长度）缩短的效应，

运动时钟变缓
（我测的时间变长了）

是指在某一事件发生时我们校准两个时钟，再另一事件发生时，我们比较两个时钟
的示数，与观察者静止的时钟的示数会大于运动着的时钟。

“同时”的相对性

内涵：在某惯性系中校准的时钟在另一惯性系下不一定是校准的；
等价地，

“间隔”不变性

在任意参考系中，有一个物理量是保持不变的，即两个事件之间的“间隔”：

因果关系

两个事件之间的先后顺序并非在任意两个惯性系中都相同。
我们把两个事件之间的“间隔”大于零、小于零和等于零分别定义为类时间隔、类空间隔和类光间隔，
对于类空间隔，两个事件的空间距离相较时间距离要大，这意味着连光信号都无法连接它们，所以它们
不会有任何因果关系，故在不同参考系中先后颠倒并不会因果导致；而其他两者两事件可能存在因果
关系的，在相对论下是绝不会前后导致的。

洛伦兹变换下谐变的物理量

物理量的“协变性”指的是在不
同惯性系中，物理量按一定的规
律进行变换

一阶谐变标量保持不变

包括“间隔”、静止质量

二阶谐变矢量按照四维时空坐标的方式变换

包括四维偏导数、四维速度、四维加速度、四维波矢量、
四维电流、四维势、四维洛伦兹力密度、四维动量、四维力

注：四维速度的时间是固有时间而非参考系时间,
四维速度的前三项和三维速度的相同点在于都是某个惯性系特有的，区别在于
前者的时间是与物体相对静止的参考系测得的时间（固有时间），而后者的时
间也是那个参考系的时间。四维速度比三维速度大，系数即为γ

包括电磁场张量、电磁场动量流动量能量张量

四维谐变矢量/二阶谐变矢量的一些定理

谐变的四维动量和四维力

由四维动量的第四个分量很容易的定义出“总能量”，由总能量很容易泰勒展开看到
静止能量和后面的运动能量

5、如何理解相对论能量？

首先它是定义出来的，但我们惊奇的发现，将这个能量泰勒展开后，它的第二项在
与动能一模一样，所以我们大胆猜想：①我们之前定义的动能只是一个低速下的近似，
真正严格的动能可能是上述展开式后的所有项之和；②若我们将质量视为静止质量
乘以一个与速度有关的放大系数，那么就可以把动能视为质量的增量乘以光速的平方；
③这样一来第一项——在任何情况下都很大的一项也有能量的含义，并且在静止时也
具有，很可能在某种情况下被释放，所以我们将它定义为静止能量；④在②和③的基础上，
我们可以定义运动质量，那么就表示物质的总能量

定义相对论下的三维动量，它是
四维动量的前三项

6、如何解释光子的静止质量为0？

我们率先定了它的动量和能量，然后采用上述质能方程方程可以检测静止质量为零

原子核的结合能与核能

7、为什么说重核的裂变能主要是库伦静电能

因为实际上静电能减小了（1.54MeV），而表面能反倒增加了（0.64MeV），体积能几乎不变，
光看核能，实际上反倒会吸收能量，所以是靠静电能放能

原子核的结合能典型值为每个核子8MeV
重核裂变单核子的结合能变化约为1MeV

原子核的总结和能包含体技能（与核子数正比），表面能（与核子数的三分之二次方正比）以及对称能，
我们可以通过平均结合能以及静电能可以推算体积能系数和表面能系数。

物理量协变性的应用实例

光行差

是指同一个颗恒星发出的光线的倾角随地球公转发生周期性变化的现象

通过四维波矢的协变性可以做变换，得到狭义相对论多普勒公式;
四维波矢量的ky与kx的夹角的变化记为光线倾角的变化

多普勒效应

洛伦兹收缩的“观”与“测”

“观”是指用眼睛看，会受视觉产生机制的影响——波阵面的投影，
对于运动的物体，它到达同一波阵面的光子并不是同时发出的，本质上
是因为尺子运动太快，让后来发出的光子与前面发出的光子处于同一
波阵面上了，使得“波阵面”变宽了。所以无论如何，我们是无法通过
“成像”来观测尺缩效应的。

一个球球从左至右高速通过，我看到它从上往下应该是发生了顺时针旋转

运动点电荷的电磁场

8、均匀直线运动的带电粒子在运动速度远小于光速时对应的电磁场形式是什么？

核心在于不同的地方r'不一样

10、在不同惯性系下电场强度和磁感应强度是如何变换的？

通过电磁场张量的变换可以写出每一个分量的变换关系

物理规律的协变性

电荷守恒定律和麦克斯韦方程组的四维形式

9、简要说明在不同惯性系中麦氏方程具有协变性

麦氏方程通过电磁场张量和四维电流、四维导数可以写为两个方程，
将方程中的协变物理量都变换到另一个坐标系后可以验证方程仍让成立

11、在电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量的形式是什么？

核心是将所有的动量换成正则动量

第七章带电粒子与电磁场的相互作用

任意运动带电粒子的电磁场

1、李纳-维谢尔势

它的是指任意运动的带电粒子产生的矢量势和标量势，这里也有推迟势的含义

任意运动带电粒子的电磁场

由李纳-维谢尔势可以求电磁场

任意运动带电粒子的辐射

2、为什么真空中匀速直线运动的带电粒子没有辐射

可以从拉莫尔辐射公式或者李纳公式中看出来，它们都只含带电粒子加速度的项；
因为在考虑辐射场时，任意运动带电粒子的电磁场公式中R将视为充分大，只剩下
带电粒子加速度的项，所以若做匀速运动，则不向外辐射能量。
从能量守恒也能理解这件事。

3、非相对论极限下，可用拉莫尔辐射公式描述

在一般情况下可推出李纳公式

4、在加速带电粒子时为什么直线加速过程中辐射损失非常小？

因为我们从李纳公式出发，可以发现，当带电粒子速度平行于加速度时，
若粒子被加速至接近光速，粒子在单位时间内辐射的能量相比获得能量很
小，一个典型的比值为10^-21E，电场单位取V/m

相反，若是采用回旋加速器，带电粒子的速度垂直于加速度，对李纳公式化简后，发现
辐射功率正比于γ的平方，而且回旋加速器中粒子处于加速的时间较少。

5、什么是同步辐射光源？

利用高能带电粒子做回旋运动时辐射很强的特点建成的光源，辐射集中在粒子运动速度方向上
，具有高准直、高极化、短脉冲的特点。

带电粒子的辐射阻尼和谱线宽度

5、实验上给出的电子半径上限大约是多少？把电子想象成电量e的导体球，
静止质量中一般源于静电能，那么电子球半径（电子经典半径）是多少？

电子的实验上限为0.001fm，它在动量极小时是弥散在
空间中的波包，在动量很大时才像一个点粒子；
静止质能的一半视为静电能，则电子的“经典半径”为
2.818fm

6、什么是辐射阻尼力？它的形式是什么？

7、经典的辐射阻尼是如何估计原子光谱的宽度的？
给出原子光谱的辐射宽度大约是多少？

我们将辐射视为一个辐射阻尼力做负功后，可以把原子中电子的运动
视为阻尼振动，计算表明电子将做弱阻尼下的准周期运动，我们将它的
运动代入非相对论下的辐射场强中，在进行傅里叶变换，便可得到频谱
呈洛伦兹线型，线宽的典型值为12fm

介质的色散和散射

之前涉及的电子波在介质内的传播、在介质表面的反射和折射，都是基于介质的极化和磁化，
其物理根源是原子整体的偏移和转动；在这里将讨论介质的色散和散射，它们的物理根源在于
电子对电磁波的（瞬时）响应

原子的外层电子在谐变的外电磁场中做受迫振动

8、散射的物理本质是什么？

物理本质是外层电子在受迫振动后可以与原子实形成随时间谐变的偶极子，
进而发生电偶极辐射，辐射频率的中心值即为入射频率，散射没有特定方向
和偏振；

9、自由电子对于单色平面电磁波的散射截面大约是多少？
瑞利散射的公式是什么？解释天空是蓝色，朝霞和晚霞是
红色。

散射截面定义为：辐射功率比向入射电磁波强度；其物理含义为散射入射光子的概率，
也可视为一个截面，截面内的光子将被散射，截面外的光子将不受影响。

此外还有一种情况：米氏散射的散射强度与频率的二次方成正比，是散射颗粒的尺寸和波长同等量级

色散现象

指的是电磁波的光速随其频率发生改变的现象，也可以描述为波矢-圆频率之间满足的
关系式。
其物理本源是介质的相对介电常数/折射率随电磁波频率发生改变的现象，这是因为电子
（特别是气体分子的电子）对不同频率的电磁波响应不一样，其形成的偶极矩随电场的
的变化不同，所以极化率也就不同。
指的注意的是，相对介电常数是一个复数，当入射频率远小于固有频率，则相对介电常数
近似为常量，无色散现象；当远大于时，折射率小于1且随频率增加；若接近，则虚部增加
，共振吸收

经典辐射实例

10、什么是韧致辐射？其辐射的频谱有什么特点？

韧致辐射是带电粒子与靶内原子或原子核碰撞，突然减速而发生的辐射。
在非相对论情况下，在低频时，辐射强度近似与频率无关，在高频时，
辐射强度迅速减小，临界圆频率为碰撞时间分之一；
用波长表示将会是一个尖峰，实际情况会有一个最小的截止波长，这需要
用量子理论解释。

11、什么是切伦科夫辐射？它与匀速运动无法辐射是否矛盾？
切伦科夫辐射的角度与带电粒子的运动速度的关系是什么？

是指带电粒子在介质中速度超过光速，而产生的电磁场相互干涉而形成的辐射场。
它本质上和冲击波类似
辐射角度（与运动方向的角度）与速度的关系为

12、什么是渡越辐射？

是带电粒子从一种各向同性介质进入另一种各向同性介质时发出的辐射

历来的疑难问题(六)

关于接地

接地意味着电势为零，那么接地的表面就不可能带净电荷，否则总会有电场线
从无穷远（零电势点）指来或指向它

我认为不对！接地仅仅只是电势为零，净电荷是否为零要看是否还有别的电荷
在此处产生电势，若有，则为了抵消这个电势，势必还是会产生电荷。

这里自然而然引出一个实验：不带电的空腔导体内放入电荷，
将外表面接地，之后先去除接地，再取出内部电荷，此时空腔
导体将带上与最初放入的电荷同等异号的电荷

关于核心定理的适用范围

我初步认为库伦定律和安培定律并非仅仅在真空中适用，
它们在任何情况下都可以算出电磁场的“原电场和原磁
感应强度”，之后再和极化强度以及磁化强度一起列方
程，可求出实际的电场和磁感应强度，
（注：极化强度和磁化强度通过真正电场和磁场来计算）

关于电荷产生电场的瞬时性问题以及
A点的电荷在B点产生的电场时候会受A到B之间的电磁状况的影响（比如经过了导体和绝缘体）

电场的形成一定是一个系统中所有组成部分共同作用的结果，不带电的导体当然会
改变电场

电偶极子在电场中的能量以及力矩，这里的电场包不包括它本身产生的电场呢？
——不包括，电动力学中做了充分的说明，但要充分的认识到，这里的能量和力矩都是
电偶极子视为“内部电荷”与“外部电场”之间的相互作用，能量部分是不包括自能的。
而且点电荷是无法定义自能的。
但是，这里的电场严格来说并不是电偶极子不存在时的电场，而是在电偶极子的影响下
（但这个影响常常是被忽略的）外场的电荷重新分布后的电场

电磁场的分类

静电场

稳恒电场

恒定磁场/静磁场

电流一定得是回路吗

我认为是。
书上是这么暗示的：“在实验中无法实现一个孤立的恒定电流源，只能间接地从闭合载流回路中
倒推出来”

综合题目，电磁场的本源是电场+磁感应强度还是电位移矢量+磁场强度？

我认为保持不变的是电位移矢量+磁场强度；
但产生物理效应的是电场强度和磁感应强度，因为洛伦兹力

一个电荷放入空间中，周围的电场是瞬间产生的吗？它会不会引发辐射？
辐射的根源是什么？

什么是约束力

约束力可以顾名思义, 就是约束产生的力. 什么是约束呢？就是限制运动吗！运动自然有方向, 限制它自然要反向作用.
内力

17、电磁场的哈密顿函数是什么样子的？

微分散射截面与总截面

微分散射截面就是θ、φ方向的截面，它没有“微分”的含义
而总截面是对4π立体角积分的截面，是粒子被靶核散射的总的截面

驻波与周期性边界条件的问题

德布罗意波、倒格点、环形的驻波条件

要小心，布里渊区边界为

谐振腔，一般的驻波条件

我的理解是，驻波条件是边界满足等于π；
周期性边界条件是，认为走到边界等于走了一周，要满足等于2π

宏观状态的确定问题？

一个宏观状态的N、E、V定下来，它的全部宏观性质就定下来了吗？
那如果两个微观状态对应相同的N、E、V，但对应的压强or热容不同，那么这两个微观状态还都可能出现吗？

相空间中的轨迹为什么不能相交？

绝缘体与导体用相对介电常数来区分

理想绝缘体（如真空）相对介电常数为1，导体相对介电常数为无穷

可能会钻入这样一个误区：对于不带电的无限大长方体薄片导体而言，它内部的电位移矢量理应和外部相同，但根据公式
，电位移矢量岂不是要非常大？怎么还会与外部相同呢？
回答：其实关键点在于这里的电场强度E不是外部的电场强度E，而是内部经过一个退极化场削减后的真实电场强度，越是
接近导体，电场强度越小，所以不仅能够保持住D的守恒，还能解决发散的问题。