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分析力学

2021-07-02 16:42:44   1  举报

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主体为拉格朗日方程、刚体力学和哈密顿理论的理解问题

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分析力学

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大纲/内容

绪论

分析力学的建立：1780s拉格朗日用体系的动能和势能取代了牛顿形式的加速度和力，运算得以简化，
并且由于能量对任何物理体系都有意义，因此力学的研究和应用推广到整个物理学；
1830s哈密顿推广分析力学，将力学体系的变量从空间坐标扩大到相应的动量，使得力学理论完全适应
整个物理学的发展，并且为量子力学的建立准备了理论条件。

第一章拉格朗日方程

3n+k与3n-k的问题，对于消去内力的过程

0、什么是约束力

约束力可以顾名思义, 就是约束产生的力. 什么是约束呢？就是限制运动吗！运动自然有方向, 限制它自然要反向作用.
内力

1、什么是虚位移？

满足约束条件、不需要时间的无穷小位移，也称等时变分
我认为，是为了计算势场所对应的作用力而定义出来的物理量。

2、什么是理想约束

系统所有的虚功为0，
分析力学的优势不是不用找出约束力，而是不用算出约束力的大小，但还是需要确定它的方向。

经验表面：只要物体间的连接是刚性的，且所有接触面是绝对光滑或绝对粗糙的，那么
任何力学体系都可以看成具有理想约束的体系。

3、什么是达朗贝尔方程？它是如何推出来的？

将所有约束力消去的运动方程是达朗贝尔方程
他是通过将所有质点的牛顿方程都点乘虚位移后叠加形成的

4、什么是完整约束

子主题

4.5、什么是运动积分

指的是坐标和速度的某个函数（可以是变上限积分），它在系统运动过程中
保持不变

第二章两体问题

第0章质心力学三个重要结论

第三章刚体

刚体运动的描述

六个自由度，3个平动和3个转动

首先要理清思路，直接搬用牛顿方程已经不适用了，因为它只针对质点
的运动，那么牛顿三定律引出的角动量定理也不适用了。

为了方便，我们在描述任何运动的时间零点都认为两个坐标系重合，
为什么方便？举个例子，在描述定轴转动的角位移时，我们就只要
说是Ox轴与Ox_0轴的夹角，而不用说Ox轴与前某一时刻的Ox轴的
夹角。

把随动坐标系理解为小车的车头指示器就好了

五类运动

注意平面平行运动不等于平动+定轴转动，因为平动是可以沿z轴运动的

第二对于总的（指非微分的）平面平行运动，可以有无数种描述方式，平动时
是不需要指定“以哪个点为基准平动”，但转动时必须规定转轴，在这里二维情况
就得指定一个转动点。

定点转动也一样，只要是总的运动，总是有无数种描述方式（或者说无数种实现方式），这不奇怪
，就好像质点的运动，我从邵阳到上海有无数种方式一样

有一定必须理解：刚体的转动的精髓在于“自转”，就好比一个车头朝东的小车，
它进行典型的刚体运动后车头一般不再朝东，若它在运动过程中车头一直朝东
，那就仍是一个质点运动，哪怕它这是还绕一个点转动，这也只不过不是质点
的圆周运动罢了，一个曲线的平动

平动、定轴转动、平面平行运动、定点转动和一般运动。
一般运动最常用的描述方式是平动加定点转动

定点转动是包括了定轴转动的：只要选择定轴转动的轴为z轴，
定点转动就可以视作定点转动的单单自转或者单单进动。
为了方便起见，我们一般将定点转动中的定轴转动单独拿出来，
只将复杂的定点转动称为定点转动

刚体的角速度

定轴转动

8、角位移和角速度是如何定义的？角位移是矢量吗？

角位移定义为方向指向旋转方向按右手定则确定的方向、大小为转动的角度
的“有方向的量”，对时间求导即为角速度。
对于定轴转动，它满足对易律，是矢量；
对于定点转动，若是有限角位移，则不满足对易律，不是矢量；若是无限小
角位移，则是矢量，

因为角速度是用无限小角位移定义的，所以角速度是矢量

切记，圆周运动的角速度和刚体运动的角速度是不能完全等而视之的

定点转动

10、如何描述定点转动的角速度

刚体上任意一点的线速度和线加速度

只转动，不平动

一个物理常识：常模矢量对时间的微商等于常模矢量运动的角速度与常模矢量的外积：

既有转动又有平动

固定基点法

基点的选取是任意的，但角速度是确定的

瞬时转轴法

可以视为特殊的固定基点法，有两个特征，第一，瞬时转心在每个瞬间都不同；
第二，瞬时转心是一个特殊的基点——速度为零，这意味着刚体上任意一点都
只有纯转动的速度。

瞬心的两种找法：速度为零，两个速度作垂线相交

刚体的动力学问题的一般思路和运动学方程

最关键的一点，研究转动时，要将原点取为质心
这样才能用角动量去计算转动部分的动能

选择质心坐标加三个欧拉角共6个广义坐标来分析

若采用经典力学，则对应三个质心动量定理和三个角动量定理
若采用拉格朗日方程，则需要写出体系的动能和势能

平面平行运动

转轴方向的角动量可以写为转动惯量乘以角速度
转动惯量定义为：
转动动能写为：

11、什么是平行轴定理？什么是垂直轴定理？

转动惯量与转轴的选取有关，
任何轴的转动惯量都可以写为质心的转动惯量加上这两轴之间的距离平方乘以质量的和的形式

垂直轴定理：对于薄片，垂直薄片的轴对应的转动惯量等于平行于薄片的轴的转动
惯量之和

12什么是转动惯量张量

一个对称张量，其中对角线上的元素为三条轴对应的转动惯量，非对角
线的元素称为惯量积
此外，刚体的惯量主轴是指让转动惯量张量对角化的坐标轴
若质心为原点，则称为中心惯量主轴

13、两种陀螺，以及陀螺的原理

欧拉陀螺：外力矩为零的自由转动，没有章动，只有自转和进动

拉格朗日陀螺：

柯凡旅服斯卡娅陀螺

陀螺不倒是因为陀螺稳定运行时，重力矩与各转动角动量的和始终垂直，
只改变角动量的方向，是角动量在一个圆锥面上运动；若外力较大，
也不会立即使其倒下，只会让它产生进动和章动
陀螺自转转速越快，外力矩的影响越小，其指向性越强，这就是回转仪
、枪炮膛线的原理。

第四章多自由度的微振动

5、什么是久期方程？

当我们在稳定平衡位置附近写出势能和动能项时，会发现都可以近似的
写成广义坐标和坐标关于时间一阶导二次齐次式，我们将其代入拉格朗日方程，
就会得到n个二阶微分方程，每个广义坐标都用同频率的谐振子试解代入，会得到
一个关于试解系数的齐次线性方程组，要想让广义坐标的函数不恒为零，则必须
要行列式为零，行列式等于0就是久期方程，可以给出ω的取值，每一个都对应
一个振动模式，将频率代会线性方程组还能求出不同广义坐标的振幅

6、什么是简正坐标？什么是简正振动？

简正坐标是指采用这组广义坐标时，系统的动能和势能项不会出现交叉项，
n个拉格朗日方程自动解耦合，每一个都能解出一个振动模式
如果体系只以一个频率在振动（当然需要特定的初始条件），而其他的频率
没有激发，那么这时的振动就称为系统的对应这个频率的简正振动或本征振
动，可以用对应的简正坐标唯一描述

7、2个自由度的微振动系统如何寻找简正坐标？

将任意一对广义坐标线性组合，假定组合的就是简正坐标，然后将假定的简正坐标
代入拉格朗日函数，使得交叉项为零，就得到线性组合的系数

一维晶格的纵振动

我们选择每一个晶格分子偏离平衡位置的距离作为广义坐标

假定只有相邻分子之间有胡克作用力

第五章哈密顿理论

正则共轭坐标

坐标回顾：笛卡尔坐标系、各种曲线坐标、
功能：描述空间一点的位置外加给定三个正交的单位矢量
广义坐标、简正坐标→共轭转置坐标

拉格朗日函数有无穷个，加上任意 (q，t的函数对时间求导)都可以，
这样的话广义动量也有无数个。类似于电动力学一样，要引入规范

索性然广义动量完全独立于广义坐标，让它们形成一对正则共轭坐标

哈密顿函数和正则方程

14、什么是哈密顿函数？什么是哈密顿正则方程

一个重要性质：当哈密顿函数不显含时间时，
它就守恒

如何写出一个哈密顿函数？

将所有的“速度项”都用动量项替代

17、电磁场的哈密顿函数是什么样子的？

变分问题

15、什么是最小作用量原理？他有什么意义？

指的某些物理过程会选择是某种作用量（两个为Js）取极值的方式发生
它可以作为力学体系的第一性原理，甚至可以推广到非机械运动的
物理体系，成为整个物理学的第一性原理。

16、什么是泛函？什么是欧拉方程？什么是初积分？

h函数的函数就是泛函，比如对任意函数取固定上下限的定积分；
泛函取极值要求变分为零，变分为零等价于函数y满足欧拉方程：
当泛函的形式满足一定要求，简单来说是不含x时，欧拉方程有初积分：

哈密顿原理

哈密顿原理可以推正则方程，莫陪读最小作用量

正则变换

18、什么是正则变换

对于2s个正则，可以进行如下变化

若变化后的哈密顿函数仍然满足正则方程，则称这个变换为正则变换

它的意义在于尽可能简化哈密顿函数，使正则坐标尽可能为可遗坐标

19、什么是正则变换母函数

是用来推导正则变换形式的辅助函数，有两类，其中第一类是变换前后正则坐标和时间的函数；
第二类是变换前的正则坐标和变换之后正则动量以及时间的函数

20、什么是正则共轭变量？

是指两个乘积具有作用量量纲的物理量如时间与能量

泊松括号

21、泊松括号是怎样定义的？
它有什么意义？

它的意义在于，,即若f不显含t，力学量f守恒的要求为与哈密顿量对易

泊松括号的性质

哈密顿雅克比方程

若哈密顿函数等于0，则选取的坐标和动量全部为守恒量

22、什么是哈密顿-雅克比方程？它有什么意义

是用来解出特殊的第二类正则变换母函数的方程，这个
母函数可以进行正则变换，使得哈密顿函数为0；
方程形如：，
S又称为哈密顿主函数、哈密顿作用函数（积分限不确定的哈密顿作用量）

方程中物理量的符号问题：
凡是已知量，统统按照坐标系规定方向确定正负号；
对于未知量，正负号随意给，都是假设

历来的疑难问题(五)

关于核心定理的适用范围

我初步认为库伦定律和安培定律并非仅仅在真空中适用，
它们在任何情况下都可以算出电磁场的“原电场和原磁
感应强度”，之后再和极化强度以及磁化强度一起列方
程，可求出实际的电场和磁感应强度，这等价于将epsilon
和mu换一个常数

关于接地

接地意味着电势为零，那么接地的表面就不可能带净电荷，否则总会有电场线
从无穷远（零电势点）指来或指向它

我认为不对！接地仅仅只是电势为零，净电荷是否为零要看是否还有别的电荷
在此处产生电势，若有，则为了抵消这个电势，势必还是会产生电荷。

这里自然而然引出一个实验：不带电的空腔导体内放入电荷，
将外表面接地，之后先去除接地，再取出内部电荷，此时空腔
导体将带上与最初放入的电荷同等异号的电荷

关于电荷产生电场的瞬时性问题以及
A点的电荷在B点产生的电场时候会受A到B之间的电磁状况的影响（比如经过了导体和绝缘体）

电场的形成一定是一个系统中所有组成部分共同作用的结果，不带电的导体当然会
改变电场

电偶极子在电场中的能量以及力矩，这里的电场包不包括它本身产生的电场呢？
——不包括，电动力学中做了充分的说明，但要充分的认识到，这里的能量和力矩都是
电偶极子视为“内部电荷”与“外部电场”之间的相互作用，能量部分是不包括自能的。
而且点电荷是无法定义自能的。
但是，这里的电场严格来说并不是电偶极子不存在时的电场，而是在电偶极子的影响下
（但这个影响常常是被忽略的）外场的电荷重新分布后的电场

电磁场的分类

静电场

稳恒电场

恒定磁场/静磁场

电流一定得是回路吗

我认为是。
书上是这么暗示的：“在实验中无法实现一个孤立的恒定电流源，只能间接地从闭合载流回路中
倒推出来”

综合题目，电磁场的本源是电场+磁感应强度还是电位移矢量+磁场强度？

我认为保持不变的是电位移矢量+磁场强度；
但产生物理效应的是电场强度和磁感应强度，因为洛伦兹力

一个电荷放入空间中，周围的电场是瞬间产生的吗？它会不会引发辐射？
辐射的根源是什么？

什么是约束力

约束力可以顾名思义, 就是约束产生的力. 什么是约束呢？就是限制运动吗！运动自然有方向, 限制它自然要反向作用.
内力

17、电磁场的哈密顿函数是什么样子的？