量子力学（part1）
2024-03-12 11:19:38 1 举报AI智能生成
量子力学逻辑框架
作者其他创作
大纲/内容
量子力学的基本概念
量子力学四大公设
《见：量子力学课件-“23QMII_1.pdf”》
《见：量子力学课件-“23QMII_1.pdf”》
1、被测体系所有可能状态是一个希尔伯特空间中的矢量
2、可观测的物理量，可以由希尔伯特空间中的一个自伴算子/厄米算符来描述
3、量子态的动力学演化遵从薛定谔方程
4、量子态的塌缩假定（这个是包含了波函数概率幅假定的假定）
2、可观测的物理量，可以由希尔伯特空间中的一个自伴算子/厄米算符来描述
3、量子态的动力学演化遵从薛定谔方程
4、量子态的塌缩假定（这个是包含了波函数概率幅假定的假定）
外加一个基本对易关系
注：这个是由经典力学的泊松括号对应过来的。
（我的理解）本质上来说，这不是一个基本假定，因为没有它量子力学也可以run起来。力学量是厄米算符的基本假定就可以推出对易运算不为零的结果了，只不过有了该基本对易关系后，与经典力学对应的更好。否则可能需要一套新的单位制
（我的理解）本质上来说，这不是一个基本假定，因为没有它量子力学也可以run起来。力学量是厄米算符的基本假定就可以推出对易运算不为零的结果了，只不过有了该基本对易关系后，与经典力学对应的更好。否则可能需要一套新的单位制
再注：有了这个基本对易关系后，可以很方便的写出算符p在坐标表象的显示表达
再再注：有了这个显示表达后，就可以得到动量算符是无穷小平移操作的生成元这一结论
再再再注（20240225）：实际上述逻辑也可以反过来。在经典力学里，动量已经是无穷小平移操作的生成元了，处于同样的——与经典力学的对应——的思想，我们如果假定动量算符在量子力学中仍然是无穷小平移操作的生成元，那就直接得到它在坐标表象的显示表达了（当然要考虑因子），然后就可以推出基本对易关系。
所以说到底，这三个结论并没有谁比谁基本的说法，他们归根到底都是量子力学与经典力学的相对应的思想被执行的结果
所以说到底，这三个结论并没有谁比谁基本的说法，他们归根到底都是量子力学与经典力学的相对应的思想被执行的结果
①右矢、左矢和算符
右矢
定义：在量子力学中，一个物理态——例如一个有着确定自旋取向的银原子——用一个复矢量空间的态矢量表示. 按照狄拉克的语言体系，把它叫做右矢；这个右矢包含物理态的全部信息。
性质：线性性+存在零元
特别地：系数可以放在右矢的左边也可以放在右边，两者没有区别
引入算符
定义：一个可观测量，诸如动量和自旋的分量，可用所涉矢量空间中的算符，比如A来表示。
一般来说，一个算符从左边作用于一个右矢，结果将是另一个右矢
一般来说，一个算符从左边作用于一个右矢，结果将是另一个右矢
本征（右）矢
定义：本征矢定义在某个算符之上，该算符作用在该右矢得到的仍然是该右矢。
与一个本征右矢相对应的物理态称为本征态。
与一个本征右矢相对应的物理态称为本征态。
表象是选定一个力学量算符后，由该算符的本征矢构成的线性空间；
在进行数学计算时，必须先确定一个表象，且所有计算都必须采用同一表象
才合法，除非所有的矩阵与向量都进行了表象变换
在进行数学计算时，必须先确定一个表象，且所有计算都必须采用同一表象
才合法，除非所有的矩阵与向量都进行了表象变换
本征矢与表象既有关，又无关。有关是因为本征矢是根据表象确定的，表象是由本征矢构成的；
无关，是考虑A的本征矢在别的表象中的情况，显然A的本征矢是客观存在的量子态，它无论是在B表象还是C表象
物理本质都没变；只是它的数学形式与表象有关。
无关，是考虑A的本征矢在别的表象中的情况，显然A的本征矢是客观存在的量子态，它无论是在B表象还是C表象
物理本质都没变；只是它的数学形式与表象有关。
（坐标）波函数特指态矢在坐标表象中的数学形式，
我们在矩阵力学中解决很多问题都不需要求出某个态矢的波函数，但如果我们要求的话
就必须到坐标表象来考虑这件事
我们在矩阵力学中解决很多问题都不需要求出某个态矢的波函数，但如果我们要求的话
就必须到坐标表象来考虑这件事
左矢空间与内积
左矢的定义：左矢是左矢空间中的矢量。左矢空间是一个与右矢空间“对偶”的矢量空间，我们假定对应于每个右矢l a>，在这个对偶空间或左矢空间中都存在一个左矢与之对偶，粗略地说，对偶即内积为1。这种对应关系需要在内积中充分定义。
左矢与右矢的内积
定义：这个乘积写成一个左矢在左边而一个右矢在右边，例如，
这个乘积，一般来说，是一个复数.
这个乘积，一般来说，是一个复数.
两条基本性质
注：这是正定度规假设，试图摒弃这一假定将导致具有“不定度规”的物理理论。一般不涉及这样的理论.
正交
归一
左矢是态矢（右矢）在对偶空间中的矢量，他们之间可以定义内积，
左矢等价于右矢取“共轭转置”
厄米算符本质上是自伴算子，所以可以与对偶空间相作用
对于厄米算符而言，可以直接作用左矢，但系数需要带有共轭，尽管
算符可以作用左矢，但作用后仍旧是一个左矢，我们无法将左矢与右
矢划上等号，我们只能通过定义“内积”来使它们变成一个数
左矢等价于右矢取“共轭转置”
厄米算符本质上是自伴算子，所以可以与对偶空间相作用
对于厄米算符而言，可以直接作用左矢，但系数需要带有共轭，尽管
算符可以作用左矢，但作用后仍旧是一个左矢，我们无法将左矢与右
矢划上等号，我们只能通过定义“内积”来使它们变成一个数
再谈算符
算符的性质
算符相等
算符的加法
零算符
线性算符
！！！除了时间反演算符是唯一的例外，其余见过的绝大部分算符都是线性算符
算符如何与左矢作用
算符总是从右边作用在左矢上,
得到的积是另一个左矢. 一般而言，右矢与左矢彼此并不相互对偶。
得到的积是另一个左矢. 一般而言，右矢与左矢彼此并不相互对偶。
定义厄米共轭
我们把符号定义为
记住，对偶可以简单理解为内积为1
定义厄米算符
什么是厄米算符？
什么是幺正算符？
什么是幺正算符？
厄米算符定义为自己等于自己的厄米共轭（在矩阵层面上为共轭转置），
可以原封不动的从后一个量子态提到前一个量子态，也就是说自己等于自己的共轭转置，对应共轭对称矩阵，他的本征值、平均值必为实数，将有维数个本征方程，彼此正交；
幺正算符是指和自己的厄米共轭算符相乘为1的算符，它对应数学的幺正矩阵，
即一个矩阵的逆等于它自己的共轭转置
即一个矩阵的逆等于它自己的共轭转置
厄米算符的积是厄米算符吗？
除非两个算符对易，否则不是
算符的乘法
不对易，可结合
外积
被视为一个算符，
速度算符
一些思考
为什么坐标空间中的动量算符等价于
这是个很难回答的问题。这取决于从经典对应到量子过程中，把什么当做基本假定。无论从[x,p]=ihbar还是从动量算符是平移操作的生成元这两个假定出发，在坐标表象中考虑任意量子态的表现，都可以推出这种动量算符的形式
算符作用一个量子态有什么含义吗？
我认为没有任何物理上的含义，它的作用只是将被作用的量子态按照该算符的
本征态的线性叠加的形式写出来，外加乘上对应的本征值；
但这并不是测量，测量无法用数学语言表示出来
本征态的线性叠加的形式写出来，外加乘上对应的本征值；
但这并不是测量，测量无法用数学语言表示出来
角动量算符如何定义，以及它的对易式有什么特征？
有两种定义方式，可以定义为r×p；
也可以不依赖于r和p，直接定义为旋转操作的生成元即可
也可以不依赖于r和p，直接定义为旋转操作的生成元即可
，可以是l、x、p中任意一个
一堆特征：角动量、坐标、动量的平方与角动量的分量都对易
在坐标表象下，球坐标系的角动量算符的形式
②基矢与矩阵
基矢
著名定理：厄米算符A 的本征值均为实数；A 的相应于不同本征值的本征矢是正交的
完备性：一个厄米算符的全部本征态是完备的。
因为我们的讨论始于整个右矢空间是的本征右矢所张成的断通过我们的右矢空间的构的本征右矢必然形成一个完备集。
因为我们的讨论始于整个右矢空间是的本征右矢所张成的断通过我们的右矢空间的构的本征右矢必然形成一个完备集。
完备性关系or封闭性
投影算符
矩阵表示
、
③观测、力学量(可观测量)与不确定性关系
测量
测量的定义：采用最易于接受的量子态塌缩看法：狄拉克的话（Dirac, 1958, 第36 页）：“测量总是导致系统跳到被测量的动力学变量的一个本征态上”
系综
期望值
重要实例：
预先引入自旋1/2系统
预先引入自旋1/2系统
相容/不相容可观测量
相容/不相容可观测量的定义：
定义：若两个力学量对易/不对易，则称他们是相容物理量
简并
假定存在两个（或多个）线性独立的A 的本征右矢，它们具有相同的本征值；则这两个本征右矢的本征值就称为简并的. 在这样的情况下，单用本征值标记本征右矢的符号 给不出一种完整的描述； 幸运的是，在量子力学的实际应用中，通常的情况是此时某个其他对易的可观测量（比如B)的本征值，可以用来标记这些简并的本征右矢
一般我们特指能级的简并
共同本征态
意义在于克服简并度，比如两个态都是A和B的本征态，
但两个态在A下是简并的，如果在B下不简并，则可以
通过B的本征值来区分这两个态
但两个态在A下是简并的，如果在B下不简并，则可以
通过B的本征值来区分这两个态
若两个力学量之间具有不确定度关系，则必不可能具有共同本征态
12、如何若已知A、B对易，如何求共同本征态
若A的本征态已知，且对应本征值无简并，则这个本征态就是B的本征态
若A的本征态已知，但对应本征值简并，则简并本征态的某种线性组合一定是A、B的
共同本征态，且有简并度个
共同本征态，且有简并度个
13、对易力学量完全集（CSCO）
是指在一个系统中，我们通过一个或少数几个力学量的去测量，
获得一个或一系列本征值时，还是无法确定这个量子态的，因为可能存在
简并。如果我们通过一组相互对易的力学量，它们的共同测量下
，可以完全的确定一个量子状态，即简并完全解除，则称这一组
力学量是这个力学系统的一组对易力学量完全集
获得一个或一系列本征值时，还是无法确定这个量子态的，因为可能存在
简并。如果我们通过一组相互对易的力学量，它们的共同测量下
，可以完全的确定一个量子状态，即简并完全解除，则称这一组
力学量是这个力学系统的一组对易力学量完全集
更进一步，如果这些力学量中含有不显含时间的哈密顿量，（分析
力学告诉我们这意味着系统广义能量守恒），则各力学量都是守恒量
，它们称为对易守恒量完全集。
力学告诉我们这意味着系统广义能量守恒），则各力学量都是守恒量
，它们称为对易守恒量完全集。
不确定度关系
算符A的弥散度
定义为的期望值,一个可观测量的弥散度表征着“模糊性”
不确定性原理：，<>表示取平均值
证明步骤
1、需要Schwartz不等式
2、需要构造\Delta A 和\Delta B作用在任意右矢上得到的两个右矢，用他们去做Schwartz不等式
3、需要利用\Delta A和\Delta B的对易和反对易算符来表示二者的乘积
4、需要利用对易算符的化简和对易与反对易算符的反厄米、厄米性质
2、需要构造\Delta A 和\Delta B作用在任意右矢上得到的两个右矢，用他们去做Schwartz不等式
3、需要利用\Delta A和\Delta B的对易和反对易算符来表示二者的乘积
4、需要利用对易算符的化简和对易与反对易算符的反厄米、厄米性质
3、什么是量子力学的基本对易式？
关于它的来源：
8、什么是力学量的本征函数/本征态？
常见的力学量的本征函数长什么形式？
常见的力学量的本征函数长什么形式？
本征态是指力学量进行测量，每一次的观测量都恒定不变的量子态，即
力学量与量子态作用并不改变该量子态
力学量与量子态作用并不改变该量子态
任何算符的本征函数的求解来源于解本征方程，是固定的，除了哈密顿量会随着势场改变而改变外
注意本征函数并不等于波函数，波函数必须是哈密顿量本征函数的线性叠加
注意本征函数并不等于波函数，波函数必须是哈密顿量本征函数的线性叠加
④基矢的改变
(表象变换理论)
(表象变换理论)
表象变换算符是幺正算符，但一般不是厄米算符；
表象变换矩阵可以将量子态在一个表象中的向量表示写成
在另一个表象中的向量表示，它的矩阵元为，
也可以将算符在一个表象中的矩阵表示写成在另一个表象中的矩阵表示；
方法是
在另一个表象中的向量表示，它的矩阵元为，
也可以将算符在一个表象中的矩阵表示写成在另一个表象中的矩阵表示；
方法是
表象变换算符可以将一个表象中的任意量子态转变成另一个量子态；
这两个量子态之间的关系在于在两个表象中的向量表示是相同的。
（我认为这没什么意义）
它的意义在于表象变换算符在变换前后的任意表象里的矩阵就等于
表象变换矩阵的转置共轭
这两个量子态之间的关系在于在两个表象中的向量表示是相同的。
（我认为这没什么意义）
它的意义在于表象变换算符在变换前后的任意表象里的矩阵就等于
表象变换矩阵的转置共轭
⑤位置、动量与平移
（新东西）
（新东西）
平移
无穷小平移：
就是无穷小平移算符
就是无穷小平移算符
无穷小平移算符的性质
1、幺正性：
2、叠加性：.
3、反向性：
4、极限下变成恒等算符：
满足以上要求的无穷小平移算符取为
经过与经典力学的对应讨论，得到算符K的具体形式：
动量作为平移的生成元
狄拉克量子化规则
在1925，狄拉克注意到只要把经典的泊括号用对易关系作如下的替换，则各种量子力学关系都可以从相应的经典关系得到：
⑥位置和动量空间中的波函数
（新东西）
（新东西）
位置空间波函数
位置基中的动量算符
动量空间波函数
高斯型波包
量子动力学
① 时间演化和薛定谔方程
时间演化算符
定义：
时间演化算符的性质
1、幺正性
2、结合性
无穷小时间演化算符
利用时间演化算符的结合性推导薛定谔方程：
推出对量子态的薛定谔方程
薛定谔方程的解
1、H不依赖时间
2、H依赖时间，但不同时间的H对易
3、H依赖时间，且不同时间的H不对易
能量本征右矢
H不依赖时间时，用能量本征右矢展开时间演化算符，
可以发现各展开项的系数保持不变
可以发现各展开项的系数保持不变
期待值的随时间演化
什么是定态？它有什么性质？
定态是指能量本征态
在定态下，一切力学量（无论是否为守恒量）的期待值和测量概率分布都不随时间改变，（相比之下，守恒量达到这个目的不需要体系处于定态）。所以，只有量子态初始时刻不处于定态，并且力学量又不是守恒量时，我们才要研究力学量
的平均值和测量值的概率分布如何随时间改变
的平均值和测量值的概率分布如何随时间改变
非定态时
任意力学量的期望值由一些振荡项组成
自旋进动的典型例子
关联振幅与不确定度关系
关联振幅定义
对于H不以来t的情况
若初态处于非定态，则关联振幅将会在很短的时间降至模远小于1的值，这个时间尺度可以证明为，其中为非定态的能量弥散程度。
所以时间-能量不确定度关系的物理含义为：一个量子态的能量弥散/不确定度越强，它能保持原来状态的时间越短。
②薛定谔图像和海森堡图像
幺正算符小总结
“在量子力学中，幺正算符被用于许多不同的目的. 在本书中，我们引人了（1.5 节）
一个满足么正性性质的算符. 在那一节中我们关心的是，一个表象中的基右矢如何与一些
其他表象中的基右矢联系. 我们假定：当我们转换到一个不同的基右矢集合时，态右矢自
身不会改变，尽管在不同的表象中， 展开系数的数值是显然不同的. 随后，我们引人
实际上改变了态右矢的两个么正算符，1.6 节的平移算符和2.1 节的时间演化算符.”
一个满足么正性性质的算符. 在那一节中我们关心的是，一个表象中的基右矢如何与一些
其他表象中的基右矢联系. 我们假定：当我们转换到一个不同的基右矢集合时，态右矢自
身不会改变，尽管在不同的表象中， 展开系数的数值是显然不同的. 随后，我们引人
实际上改变了态右矢的两个么正算符，1.6 节的平移算符和2.1 节的时间演化算符.”
薛定谔图像和海森堡图像中的可观测量
海森伯绘景的可观测量为
海森堡运动方程
20、海森堡图像与薛定谔图像是什么？
薛定谔图像认为力学量不随时间演化，只是量子态在演化，
只需讨论力学量的平均值和概率分布随时间的演化
只需讨论力学量的平均值和概率分布随时间的演化
海森堡图像中平均值的改变完全由力学量自己的改变来承担，而态矢完全
不随时间变化，一个常见的误区是认为算符的本征态也不随时间演化。但实际上是会的。
不随时间变化，一个常见的误区是认为算符的本征态也不随时间演化。但实际上是会的。
海森堡方程
对于不显含时间t的力学量：
自由粒子与Ehrenfest定理
以自由粒子为例，我们可以看到，即便初始时刻粒子的位置可以确定，但随着时间的演化，它的位置将变得不确定：
Ehrenfest定理：
当波包很窄，势场随空间变化很缓慢且整个研究时段较短以致波包扩散
不剧烈，才能与经典牛顿方程相近
不剧烈，才能与经典牛顿方程相近
基右矢与跃迁振幅
海森堡图像中，基右矢/基左矢是随时间演化的：满足“错误符号的薛定谔方程”
a到b态的跃迁振幅： .
③简谐振子的例子
motivation：任何势阱都可以用一个谐振子来近似
本征态与本征值
哈密顿量：
升降算符
粒子数算符
求解
20240225推导时遗漏的关键一步
要对和求模方
厄米特多项式，
这些定义、符号背后的物理意义
首先通过N与的对易关系看出作用在本征态上是产生一个量子单位的能量；
其次可以证明N的本征值都是非负整数，证明的方法为让a不断作用于一个本征态，并且argue若不中断的话，则会出现负的本征值，但这里的本征值收到正定性的保证不能为负，所以一定会中断在0处，所以n一定是非负整数
其次可以证明N的本征值都是非负整数，证明的方法为让a不断作用于一个本征态，并且argue若不中断的话，则会出现负的本征值，但这里的本征值收到正定性的保证不能为负，所以一定会中断在0处，所以n一定是非负整数
本征波函数
坐标算符与动量算符
利用湮灭算符作用在基态上等于0来构造微分方程并求解
其中给出了谐振子的长度标度
谐振子的演化
算符x和p都在随时间振动，但x、p的期待值不会随时间改变
④薛定谔（波动）方程
时间相关的波函数
时间无关的波动方程
在这里，求解不含时的薛定谔方程时需要强加一些边界条件，这些边界条件在偏微分方程理论上给出了能级的量子化
波函数的解释
2、什么是定域几率守恒？什么是几率流密度？
有薛定谔方程很容易推得：
右侧按照波函数的几率幅解释为概率密度，所以等号左侧表示的是一个
几率流密度场的散度，所以几率流密度定义为：
右侧按照波函数的几率幅解释为概率密度，所以等号左侧表示的是一个
几率流密度场的散度，所以几率流密度定义为：
这个定义在散射中用的很多
经典极限
⑤薛定谔波动方程的基本解
三维自由粒子
谐振子
线性势
WKB近似
43、什么是WKB近似？
是一种近似求解一维定态薛定谔方程的方法。
它通过在能量远离与势场交点的地方假定波函数具有一个缓变函数乘以
一个快速振荡项或衰减项的形式，在与势场的交点通过特殊函数近似的
将两侧波函数连接起来，从而求出整个体系的波函数。
它通过在能量远离与势场交点的地方假定波函数具有一个缓变函数乘以
一个快速振荡项或衰减项的形式，在与势场的交点通过特殊函数近似的
将两侧波函数连接起来，从而求出整个体系的波函数。
几个关键操作
动量（E-V(x)）视为一个整体
连接处近似为线性势、艾里函数
量子化条件
连接处近似为线性势、艾里函数
量子化条件
束缚态问题/本征态问题
常数势的波函数求解步骤
1、求解ODE，给出待定系数。
（若是常数势则可省略这一步）
（若是常数势则可省略这一步）
2、边界处 波函数连续、一阶导连续；
具体可以分成正常边界（2，指给出2个齐次方程，后同）、周期性边界（2）、无穷远边界（1）和无限高边界（1）四种，但都能给出系数间关系的齐次方程
具体可以分成正常边界（2，指给出2个齐次方程，后同）、周期性边界（2）、无穷远边界（1）和无限高边界（1）四种，但都能给出系数间关系的齐次方程
齐次方程很关键，这才能给出接下来的久期方程。
齐次方程的个数总能等于待定系数的个数
齐次方程的个数总能等于待定系数的个数
3、导出久期方程，解久期方程给出本征值
一般情况给出or的离散谱；
特殊情况可以给出的某种意义上的连续谱（如晶体中的布洛赫波）
也可不列久期方程而另辟蹊径，只要消去所有待定系数也可直接解能量本征方程；比如有限高势阱就常常这样处理
4、一个本征值对应一组系数，对应一个本征波函数
定态微扰理论
无简并结论
微扰本征波函数的归一问题有两种处理方法：①重新归一，②减自己
求微扰系统的某个能级的一级近似是不需要考虑除这个能级之外其他能级的
范德瓦尔斯力本质上还是电磁相互作用
40、简并情况的微扰论如何做？
前提，H'是分块对角矩阵
核心思想，在简并态中进行线性组合作为H+H'的本征态，将其称为0级本征态。
有如右两种等价的做法，数学上是在求本征值和本征函数，或者在求解久期方程
核心思想，在简并态中进行线性组合作为H+H'的本征态，将其称为0级本征态。
有如右两种等价的做法，数学上是在求本征值和本征函数，或者在求解久期方程
可以直接认为新的零级本征态应该是H'的表象，即直接对角化，
并给出一级能量
并给出一级能量
一级能量和0级波函数
一级波函数
也可以将新的零级本征态代入薛定谔方程，在左乘一个
原本征态，得到线性方程组
原本征态，得到线性方程组
41、什么是史塔克效应？
是氢原子在外电场中，n=2的四重简并能级根据角动量的z分量分裂为三条
变分原理
42、什么是变分原理？
是一个求系统基态能量的方法。
本着任何量子态的能量平均值都高于基态，我们凭借经验选取一个含参波函数，
求出对应的能量期望，然后对参数求导使得能量最低即可。
本着任何量子态的能量平均值都高于基态，我们凭借经验选取一个含参波函数，
求出对应的能量期望，然后对参数求导使得能量最低即可。
应用
氦原子基态、氢分子离子基态、
量子力学初学的三个场景
一维定态问题
求解的一般思路
我记得应该在OneNote的某个角落
——找不到了，焯！
——找不到了，焯！
oh~~，想起来了：
以一维有限高势垒为例：
在这里有3个（n个）区域，因为薛定谔方程是二阶微分方程，所以每个区域的解有两个待定系数，所以一共有6（2n）个待定系数。
我们有两个连接点和两个边界，对应4（2n-2）个连续方程和两个边界条件方程，得到一个6×6（2n×2n）线性方程组。
注意到这是一个齐次的方程组，所以要通过久期方程来求出本征能量，再代回去求解系数间的比例关系。
最后通过归一化条件给出最终的解。
以一维有限高势垒为例：
在这里有3个（n个）区域，因为薛定谔方程是二阶微分方程，所以每个区域的解有两个待定系数，所以一共有6（2n）个待定系数。
我们有两个连接点和两个边界，对应4（2n-2）个连续方程和两个边界条件方程，得到一个6×6（2n×2n）线性方程组。
注意到这是一个齐次的方程组，所以要通过久期方程来求出本征能量，再代回去求解系数间的比例关系。
最后通过归一化条件给出最终的解。
一些定理
1、波函数可以取为实函数；2、对称势场的解有着确定的宇称；3、束缚态无简并；
4、第n个能级的本征波函数只有n-1个节点（不包括两端）
4、第n个能级的本征波函数只有n-1个节点（不包括两端）
一些实例
无限深势阱
谐振子势阱
有限高势垒
δ势阱
注意在x=0处对薛定谔方程在0的小邻域中积分，得到导数的跃变条件，而其他部分则可直接求解；
δ势阱没有奇宇称束缚态
δ势阱没有奇宇称束缚态
一些讨论
束缚态一定对应离散谱
对称势场的波函数一定是奇宇称或者偶宇称的
中心力场
14、为什么一般来说中心力场的能级是（2l+1）重简并的？
而库仑势的简并度为呢？
而库仑势的简并度为呢？
因为中心力场球对称，运动粒子的能量跟z轴的选取显然无关，
但因为角动量对于能量是有贡献的，所以角量子数是能区分
能级的，而磁量子数m无法区分，故中心力场一般都为2l+1重
但因为角动量对于能量是有贡献的，所以角量子数是能区分
能级的，而磁量子数m无法区分，故中心力场一般都为2l+1重
而库仑势具有更高的对称性，具体来说因为主量子数并不取决于角量子数l，而
是取决于l和径向量子数的特殊组合，所以不同的l会因为nr的取值不同而具有
相同的能量，最终简并度为
是取决于l和径向量子数的特殊组合，所以不同的l会因为nr的取值不同而具有
相同的能量，最终简并度为
与经典力学的区别
在量子理论中，只有角动量的平方以及角动量的一个分量，比如，是守恒量，而在经典力学
里，角动量的三个分量都是守恒量。
里，角动量的三个分量都是守恒量。
轨道运动对磁矩的贡献正比于对应方向的角动量分量的期望值
HF定理
通过能量的本征值来求各力学量的平均值随参数的变化
电磁场中的带电粒子运动
21、经典电磁场的哈密顿量表示为什么？为什么？
因为这样定义的哈密顿量代入哈密顿正则方程才能推出洛伦兹力
的正确形式
【20240228补充】上述原因是正确的，不过它貌似是更本质的原因，更表面或者说更直接的原因是，哈密顿量中的P是从拉格朗日量中引入过来的，它是正则动量，而哈密顿量需要对真实的动力求平方
的正确形式
【20240228补充】上述原因是正确的，不过它貌似是更本质的原因，更表面或者说更直接的原因是，哈密顿量中的P是从拉格朗日量中引入过来的，它是正则动量，而哈密顿量需要对真实的动力求平方
为什么是将正则动量而非机械动量换成
因为在电磁场瞬间变化时，尽管波函数的时间变化率发生改变，但波函数
本身还没有改变，那么它的梯度也就没变，梯度对应动量算符，所以动量
也应该不变，但实际上粒子的机械动量是改变了的，减少了，
所以正则动量才保持不变。
因为在电磁场瞬间变化时，尽管波函数的时间变化率发生改变，但波函数
本身还没有改变，那么它的梯度也就没变，梯度对应动量算符，所以动量
也应该不变，但实际上粒子的机械动量是改变了的，减少了，
所以正则动量才保持不变。
但的确有另一派人，他们认为应当是机械动量换成，
而哈密顿量中应当写正则动量的平方
【20240228补充】这种说法应该是错误的
而哈密顿量中应当写正则动量的平方
【20240228补充】这种说法应该是错误的
跟我观点一致的文献：
曾谨言《量子力学》
基泰尔《固体物理导论》 附录G
Onsager's Interpretation of the de Haas-van Alphen effect
Goldstein's Classical Mechanics, P342,对电磁场中哈密顿量的解释
曾谨言《量子力学》
基泰尔《固体物理导论》 附录G
Onsager's Interpretation of the de Haas-van Alphen effect
Goldstein's Classical Mechanics, P342,对电磁场中哈密顿量的解释
跟我观点不同的文献：《The quantum hall effectt》 by Daijiro
22、电磁场中的薛定谔方程是否满足规范不变性？
满足，只要让波函数稍稍改造一下，在电磁场中多加上一个相位：
23、什么是朗道能级？
是指均匀磁场中的带电粒子在垂直磁场平面内运动的能级，
需要指出的是，在磁场方向上（假定位z）做自由运动，在
xy平面可以类比一个一维或二维谐振子，取决于采用朗道
规范还是库仑规范，若是前者，则
需要指出的是，在磁场方向上（假定位z）做自由运动，在
xy平面可以类比一个一维或二维谐振子，取决于采用朗道
规范还是库仑规范，若是前者，则
Larmor频率是回旋共振频率的一半
24、用朗道能级来解释塞曼效应
子主题
⑥传播子和路径积分
传播子
作用：作用在初态上，可以写出任意时刻的波函数
求传播子的两个形式
物理含义的理解
应该将x'，t_0视为固定值，将x'',t视为变量，这个函数描述的是t0时刻精确位于x'的粒子在t时刻的波函数
实例
自由粒子
简谐振子
传播子的有趣的积分
比如令t0=0，x''=x'进行积分可以得到函数G(t)，它等于时间演化算符求迹
再比如将G(t)进行拉普拉斯-傅里叶变换，这里利用到一个我经常看到却看不懂的技巧，现在搞明白它是为了数学上有意义
令
传播子作为跃迁振幅
只需要理解传播子这个表达形式即可：
它的物理含义是：t0时刻制备的具有位置本征值x'的粒子将在稍后的t时刻在x''处被发现的概率振幅
路径积分作为对路径的求和
费曼路径积分是求传播子的一种方式，这种方式是独立于薛定谔方程或其他量子力学理论的，但是求出来的传播子与薛定谔方程给出的结果是一致的，这说明了路径积分是另一种量子力学形式，其公式为：
其中
其中
推导的过程最重要的三步分别是
第一、又Dirac的注解给出经典作用量与传播子的关系
第二、论证hbar趋向于0时，无穷条路径会退化为一条路径，从而实现从量子到经典的对应
第三、求经典作用量S与传播子之间相差的比例系数
⑦ 规范变换
恒定位势
在原哈密顿量上改变势能零点，使得总能量改变，这会导致能量本征态矢的演化受到影响，具体而言是增添一个动力学相位因子，但可观测量不受影响，因为可观测量都是与左矢、右矢一齐内积，这个相位随时演化会消失。
值得指出，给量子系统设定一个空间均匀的势场，（即等价地，改变势能零点），实际上就是规范变换的一种情况。
并且并不要求它是不随时间变化的。
并且并不要求它是不随时间变化的。
值得注意的是，尽管势能绝对标度的选取是任意的，但势能差是具有物理观测效应的。只要同一个系统中出现了位势差，就不再是一个仅仅反映在态矢相位上的相因子了
电磁学中的规范变换
注意哈密顿量中的p（同时也是平移生成元）与运动学动量不同，所以p也经常称为正则动量
比如在海森堡图像中看电磁场中粒子的坐标算符的演化：
可以定义规范变换算符
,认为规范变换算符的效果是将态矢g变化到规范变换后的态矢
这一节的内容非常丰富，我只抓住其中的一个重点：正则动量p不是规范不变的，而运动学动量是规范不变的
力学量随时间的演化和对称性
16、力学量平均值如何随时间演化？
（Ehrenfest关系）
（Ehrenfest关系）
对于不显含时间t的力学量：
（不需要哈密顿量守恒，很奇怪）
若力学量与哈密顿量对易，则力学量的平均值不随时间改变，
称为守恒量
称为守恒量
但要注意，守恒量的平均值保持不变并不意味着量子态处于该守恒量的
本征态。
本征态。
17、什么是好量子数？
守恒量的量子数称为好量子数。
当体系的初始时刻处于某守恒量A的本征态，则体系将始终保持在A的本征态，因为守恒量具有这个
良好的性质，故我们将其量子数称为好量子数。
当体系的初始时刻处于某守恒量A的本征态，则体系将始终保持在A的本征态，因为守恒量具有这个
良好的性质，故我们将其量子数称为好量子数。
但一般体系不会正好处在某守恒量A的本征态，而是处于它的本征态的线性叠加，
所以以后的状态也不会是A的的本征态，但A的各测量值的概率的分布不会改变。
所以以后的状态也不会是A的的本征态，但A的各测量值的概率的分布不会改变。
18、什么是定态？它有什么性质？
定态是指能量本征态，在定态下，一切力学量（无论是否为守恒量）的平均值和测量
概率分布都不随时间改变，
（相比之下，守恒量达到这个目的不需要体系处于定态）
概率分布都不随时间改变，
（相比之下，守恒量达到这个目的不需要体系处于定态）
所以，只有量子态初始时刻不处于定态，并且力学量又不是守恒量时，我们才要研究力学量
的平均值和测量值的概率分布如何随时间改变
的平均值和测量值的概率分布如何随时间改变
19、什么是维里定理？
是描述动能平均值和势场做功平均值的关系式：
能级简并与守恒量的关系
若体系中有两个彼此不对易的守恒量F和G，则体系能级一般是简并的
波包运动与Ehrenfest定理
当波包很窄，势场随空间变化很缓慢且整个研究时段较短以致波包扩散
不剧烈，才能与经典牛顿方程相近
不剧烈，才能与经典牛顿方程相近
20、海森堡图像与薛定谔图像是什么？
薛定谔图像认为力学量不随时间演化，只是量子态在演化，
只需讨论力学量的平均值和概率分布随时间的演化
只需讨论力学量的平均值和概率分布随时间的演化
海森堡图像中平均值的改变完全由力学量自己的改变来承担，而态矢完全
不随时间变化
不随时间变化
海森堡方程
对于不显含时间t的力学量：
矩阵力学的数学计算的通法
在进行计算之前要选定一组基矢（某个力学量的本征矢）作为表象，为了方便，
一般选择牵涉到的算符的基矢作为表象，或者选择量子态是基矢的表象；
计算时，将任何有物理意义的式子，包括“求平均值、算符作用态矢、算符相乘
两个态矢求内积，求算符的本征态”等，都在中间插入单位算符。
再之后，我们谨记数学背后的物理是什么（主要在于算符是基矢的外积，矩阵的
左右侧都藏了东西；向量后面也藏了东西），就可以大胆的将式子中的矩阵运算
提取出来了。
一般选择牵涉到的算符的基矢作为表象，或者选择量子态是基矢的表象；
计算时，将任何有物理意义的式子，包括“求平均值、算符作用态矢、算符相乘
两个态矢求内积，求算符的本征态”等，都在中间插入单位算符。
再之后，我们谨记数学背后的物理是什么（主要在于算符是基矢的外积，矩阵的
左右侧都藏了东西；向量后面也藏了东西），就可以大胆的将式子中的矩阵运算
提取出来了。
量子力学定态问题
束缚态问题/本征态问题
常数势的波函数求解步骤
1、求解ODE，给出待定系数。
（若是常数势则可省略这一步）
（若是常数势则可省略这一步）
2、边界处 波函数连续、一阶导连续；
具体可以分成正常边界（2，指给出2个齐次方程，后同）、周期性边界（2）、无穷远边界（1）和无限高边界（1）四种，但都能给出系数间关系的齐次方程
具体可以分成正常边界（2，指给出2个齐次方程，后同）、周期性边界（2）、无穷远边界（1）和无限高边界（1）四种，但都能给出系数间关系的齐次方程
齐次方程很关键，这才能给出接下来的久期方程。
齐次方程的个数总能等于待定系数的个数
齐次方程的个数总能等于待定系数的个数
3、导出久期方程，解久期方程给出本征值
一般情况给出or的离散谱；
特殊情况可以给出的某种意义上的连续谱（如晶体中的布洛赫波）
也可不列久期方程而另辟蹊径，只要消去所有待定系数也可直接解能量本征方程；比如有限高势阱就常常这样处理
4、一个本征值对应一组系数，对应一个本征波函数
定态微扰理论
无简并结论
微扰本征波函数的归一问题有两种处理方法：①重新归一，②减自己
求微扰系统的某个能级的一级近似是不需要考虑除这个能级之外其他能级的
范德瓦尔斯力本质上还是电磁相互作用
40、简并情况的微扰论如何做？
前提，H'是分块对角矩阵
核心思想，在简并态中进行线性组合作为H+H'的本征态，将其称为0级本征态。
有如右两种等价的做法，数学上是在求本征值和本征函数，或者在求解久期方程
核心思想，在简并态中进行线性组合作为H+H'的本征态，将其称为0级本征态。
有如右两种等价的做法，数学上是在求本征值和本征函数，或者在求解久期方程
可以直接认为新的零级本征态应该是H'的表象，即直接对角化，
并给出一级能量
并给出一级能量
一级能量和0级波函数
一级波函数
也可以将新的零级本征态代入薛定谔方程，在左乘一个
原本征态，得到线性方程组
原本征态，得到线性方程组
41、什么是史塔克效应？
是氢原子在外电场中，n=2的四重简并能级根据角动量的z分量分裂为三条
变分原理
42、什么是变分原理？
是一个求系统基态能量的方法。
本着任何量子态的能量平均值都高于基态，我们凭借经验选取一个含参波函数，
求出对应的能量期望，然后对参数求导使得能量最低即可。
本着任何量子态的能量平均值都高于基态，我们凭借经验选取一个含参波函数，
求出对应的能量期望，然后对参数求导使得能量最低即可。
应用
氦原子基态、氢分子离子基态、
WKB近似
43、什么是WKB近似？
是一种近似求解一维定态薛定谔方程的方法。
它通过在能量远离与势场交点的地方假定波函数具有一个缓变函数乘以
一个快速振荡项或衰减项的形式，在与势场的交点通过特殊函数近似的
将两侧波函数连接起来，从而求出整个体系的波函数。
它通过在能量远离与势场交点的地方假定波函数具有一个缓变函数乘以
一个快速振荡项或衰减项的形式，在与势场的交点通过特殊函数近似的
将两侧波函数连接起来，从而求出整个体系的波函数。
几个关键操作
动量（E-V(x)）视为一个整体
连接处近似为线性势、艾里函数
量子化条件
连接处近似为线性势、艾里函数
量子化条件
散射问题
散射理论
微分截面可转化为无限远处波函数角向部分的一部分
分波法、李普曼-施温格方程（一个波函数的积分方程）与玻恩近似方法、
全同粒子的散射
对称态与反对称态：交换全部任意两个粒子的全部变量保持不变，费米子的波函数对称，玻色子的波函数反对称
量子态的动力学问题/演化
一般的演化思路
一是传播子
二是,只要H不显含t就是通用的
三是用能量本征态不演化，只有一个含时相因子的思想
含时微扰理论
基本假定，量子态写为系数随时间变化的各本征态的和，各本征态按自己的能量随时间有一个相因子
推导与结果
注意到推导过程中对e指数部分的求导与本征能量的项一起作用消去了。
可以推出在微扰近似下的“严格”方程
可以推出在微扰近似下的“严格”方程
对展开，在一级近似下
量子跃迁
跃迁概率定义为：最初处于某一本征态，各本征态系数随时间演化不再全为零，
但在我们进行“测量”之前，体系将处于个态的叠加态，我们去测量，就有一定
的概率落到另一个本征态，这就概率就是跃迁概率
但在我们进行“测量”之前，体系将处于个态的叠加态，我们去测量，就有一定
的概率落到另一个本征态，这就概率就是跃迁概率
47、从A能级往B能级跃迁的概率等于B能级往
A能级跃迁的概率吗？
A能级跃迁的概率吗？
一般不相等，因为能级有简并，（两个量子态之间的跃迁概率是相同的），
计算跃迁概率时，应当对初始能级的诸简并态求平均，对终止能级的诸
简并态求和。
计算跃迁概率时，应当对初始能级的诸简并态求平均，对终止能级的诸
简并态求和。
48、什么是Fermi黄金规则？
是常数微扰势中，从初态k到初态能量附近一系列可能末态的跃迁速率之和与
末态数密度成正比
末态数密度成正比
对于正弦微扰，跃迁概率也随时间正弦的平方型变化
辐射的发射和吸收问题
49、受激辐射和受激吸收概率相等吗？为什么？
相等，因为微扰哈密顿量是厄米算符，它的矩阵是共轭对称矩阵，
高低能级之间的跃迁概率相同。
高低能级之间的跃迁概率相同。
50、自发发射是自然的吗？
不自然，因为按照薛定谔方程，当某时刻处于定态，它将始终
处于定态。
自发发射是因为量子电动力学中，即使处于基态，场也是非零的，
所以没有真正的“自发发射”，区别在于这个场是人为加的，还是
“上帝放在那里的”。
处于定态。
自发发射是因为量子电动力学中，即使处于基态，场也是非零的，
所以没有真正的“自发发射”，区别在于这个场是人为加的，还是
“上帝放在那里的”。
51、选择定则如何解释
这是因为在自发辐射概率/速率是与电极矩or位矢的矩阵元成正比，
而因为能量本征态的分布形式，导致很多的矩阵元等于0，所以很多
情况下跃迁不会发生，于是有选择定则。
而因为能量本征态的分布形式，导致很多的矩阵元等于0，所以很多
情况下跃迁不会发生，于是有选择定则。
绝热近似
绝热过程
定义
外界条件缓慢变化的过程。
（外界变化对内部几乎不产生影响，可被忽略）
（外界变化对内部几乎不产生影响，可被忽略）
处理方法
方法论：先把缓变变化的外部条件R(t)视为恒定不变，等到整个体系的物理过程都用这个R表示出来之后，再考虑R随时间的变化
经典例子：比如有一根长度L发生缓变变化的单摆，那么我们先当做长度恒定来处理，得到它的频率为，再考虑L的变化L(t)，得到单摆以频率运动
量子例子：比如处理氢离子定态问题，我们最开始不知道两个原子核之间的距离R如何变化，我们先假定它是恒值R，然后解出基态能量和波函数，再据此来反推两个原子核之间振动的平均距离
上述量子例子的处理方式称为波恩-奥本海默近似，即处理原子光谱问题时，都先认为原子核是静止的，最后再考虑原子核的运动对结果的影响
绝热定理
定理内容的
完整表述
完整表述
量子体系的哈密顿量随时间缓慢演化时，，若体系量子态的初态为，其中为初始时刻哈密顿量的本征态，则t时刻，体系量子态演变为，（其中,分别为t时刻哈密顿量的本征能量和本征函数，,后称几何相or贝利相），又可写为
若初态处于H(0)的第n个本征态，则有更简单的表述：随着时间的演化，量子态仍处于哈密顿量H(t)的第n个本征态，
符合绝热定理的举例
无限深势阱慢慢变宽
不符合绝热定理的例子
无限深势阱突然变宽，
这种情况下，能量是守恒的，就像气体向真空自由膨胀一样，当挡板撤去，气体不做功
这种情况下，能量是守恒的，就像气体向真空自由膨胀一样，当挡板撤去，气体不做功
波恩·奥本海默绝热近似
非完整体系
定义
是指体系某一物理量按照闭合回路演化一周回到初态的状态后，体系整体回不到初态的情况
注：相位不同也算是回不到初态
最经典的例子
在赤道上拿着一个南北指向的单摆先走到北极，再沿着不同的经线走到赤道，再沿赤道回到原位置，很显然，单摆的摆动方向与最初已经不再重合了。
这个过程中，重力的方向是在不断变化的，它充当了绝热过程中缓变变化的外界条件的角色。
这个过程中，重力的方向是在不断变化的，它充当了绝热过程中缓变变化的外界条件的角色。
Berry' Phase
几何相
物理定义：初始处于体系第n本征态的量子态，在绝热过程之后仍处在的第n本征态，不过增加了一个相因子，其中除了熟知的动力学相外的另外一个相因子就是几何相，写作。
因为量子态随时间的变化实际上可以看做量子态所处外部环境随时间的变化，而量子态再随外部环境的变化:
所以，几何相又可方便地表示为：，其中
因为量子态随时间的变化实际上可以看做量子态所处外部环境随时间的变化，而量子态再随外部环境的变化:
所以，几何相又可方便地表示为：，其中
Berry's Phase
定义
处于H(t=0)第n本征态量子体系（事后实例中发现可以为任意量子态），在经过一个不完整的绝热过程后，哈密顿量回到初始状态，此时量子态相较初始量子态多出来的一个相位，扣除动力学相后（），多出来的相位就是Berry's Phase，（注意，此时动力学相已经消失）
也可以用几何相来定义：最终哈密顿量回到初始状态的不完整绝热过程的几何相被称为Berry's Phase
表达式：
notation
1、注意 贝利相 仅仅依赖所选择的路径， 而不依赖这个路径运动的快慢（ 当然， 只要它慢到足以使绝热过
程有效）。但动力学相取决于运动的时间
程有效）。但动力学相取决于运动的时间
2、在三维情况下（很多情况下都是这样）， 贝瑞相可以写做一个面积积分：
46、什么是非完整过程？
是指一个沿闭合回路迁移而回不到初始状态的过程，
这样的体系被定义为非完整体系
这样的体系被定义为非完整体系
量子力学几个关键公式
不确定性原理的推导
Ehrenfest关系
海森堡方程
对于不显含时间t的力学量：
19、什么是维里定理？
是描述动能平均值和势场做功平均值的关系式：
波包运动与Ehrenfest定理
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