考研高等数学
2021-07-03 11:59:46 924 举报AI智能生成
考研高等数学是研究生入学考试中的一项重要科目，主要考察考生对高等数学基本概念、理论和计算方法的掌握程度。该科目包括微积分、线性代数、概率论与数理统计等内容，涉及面广、难度大，需要考生具备扎实的数学基础和较强的逻辑思维能力。在备考过程中，考生需要通过刷题、做模拟试卷等方式不断提高自己的解题能力和应试技巧。同时，还需要注重理解数学概念的内涵和应用背景，培养抽象思维和创新能力。总之，考研高等数学是一项需要长期积累和不断努力的任务，只有通过不断的学习和实践才能取得好成绩。
作者其他创作
大纲/内容
导数/偏导
一元函数导数
引例
直线运动速度
切线问题
定义
定义式【极限形式: 必须是 动点 - 定点/自变量 】
导数与微分
极限 lim表示 与 无穷小表示法
书写规范
单侧导数
某点导数 存在 充要条件
求导法则
四则运算
反函数导数
公式
证明 1
证明 2
y 是关于 x 的 f 映射
x 是关于 y 的 f^(-1) 逆映射
微商形式相等
复合函数求导
微商法则
微分形式不变性
链式求导法则
隐函数求导
隐函数求导公式
两端直接求导【暴力】
对数求导法
参数方程求导
一阶导数
二阶导数
性质
奇偶性
可到原函数的导数，奇偶性与原函数相反
连续函数的原函数不一定与其奇偶相反
周期性
求导公式
三角与反三角
对数与指数
利用反函数记忆
其他常用
高阶导数
定义
二阶导数
n阶导数
计算
n阶求导四则
常见函数的n阶导数
与泰勒公式联系
归纳法
函数奇偶性
泰勒展式
相关变化率
导数与可微
变上限求导
微分不变性
x 在外部就拆开，在函数内部就换元
中值定理
性质
极限保号性】
推导来源导数定义
推导来源导数定义
导函数与连续
可导与连续性
函数在某点可导，但导函数不一定连续【导数 ≠ 导函数】
连续与有界性
导数与原函数奇偶
可到原函数的导数，奇偶性与原函数相反
连续函数的原函数不一定与其奇偶相反
导函数的两个特性
绝对值
导数极限定理
定义
导函数连续
导函数右极限
右导数
右导数 ≠ 导函数的右极限
导函数与原函数有界性
导函数与函数凹凸性
题型
利用导数定义求极限
利用导数定义求导数
利用导数定义判定可导性
多元函数偏导
偏导与可微
定义
高阶偏导数
混合偏导数
书写
高阶偏导数
拉普拉斯方程
隐函数求导
存在定理1
存在定理2
存在定理3/方程组情形
具体点求偏导值
微分/全微分
一元函数微分
定义
充分必要条件
可微即可导，可导即可微【"微商"】
微分公式与运算法则
微分形式不变性
变换自变量，微分形式不会改变
弧长与曲率
弧微分
曲率
公式
一般方程
参数方程
利用参数方程求导法
曲率圆
曲率半径
圆的曲率
方程根的存在性及个数
根
代数理解【解方程】
几何理解【函数交点】
存在性
零点定理
罗尔定理
个数
单调性
罗尔定理推论
含参方程
实根个数
参数范围
多元函数全微分
相关概念
偏增量
全增量
定义
充分/必要条件
微分与偏导关系
除此之外，连续 -> 极限存在
充要条件
x→0 y→0和(x,y)→(0,0)的区别
必要条件
如果可微分则偏导必定"存在"
实例
可微，则
充分条件
偏导"连续"则该点可微
实例
求导法则
链式求导法
一元与多元复合
多元与多元复合
其他情形
记号
全微分形式不变性
题型
求偏导数
定积分/重积分
一元函数定积分
概念与定义
和式极限表达式
微积分公式
性质
介值定理
定积分中值定理
补充
积分上下限相等为0
上下限相反，值取反
积分变量无关性
定积分存在定理
(可积性判断)
(可积性判断)
必要条件
可积必有界
充分条件
闭区间连续函数必然可积
闭区间单调函数必然可积
计算方法
分部积分
【连接原函数与导数的桥梁】
换元法
条件
题型总结
三角
指数/对数
倒数
结论公式
三角函数
【奇偶】点火公式
周期函数
区间再现
利用性质
对称性
区间再现
奇偶性
周期性
常见定积分
变上限积分函数
公式
可积必有原函数
基本公式
统一性
【一元】复合变上限求导
【多元】变上限求导
常见换元法
积分中值定理
变上限积分等价代换
结论
连续性
可导性
奇偶性
偶函数奇偶性只在[0，x]区间上体现
反常积分
无穷限反常积分【三类】
定义
敛散判别
比较判别法
比较法的极限形式
λ ≠ 0
λ = 0
λ = +∞
性质
同一函数正负无穷区间的极限，必须两项同时收敛时和才收敛
不同函数的反常积分的发散的和，不能够确定【例如:f(x)+g(x)=0】
无界函数反常积分
瑕点
定义
f(x) 在 (a,b] 上连续，点 a 为 f(x) 的瑕点
f(x) 在 [a,b) 上连续，点 b 为 f(x) 的瑕点
f(x) 在 [a,b] 上除点 c (a<c<b) 外连续，点c为f(x)瑕点
敛散判别
比较判别法
比较法的极限形式
λ ≠ 0
λ = 0
λ = +∞
性质
常见反常积分
应用
几何运用
平面图形面积
旋转体体积
一元定积分
区域D由y=f(x)和直线x=a,x=b以及x围成
二重积分·
通用公式
沿直线 旋转
旋转体侧面积
d弧长
曲线弧长
物理运用
变力沿直线做工
库仑力【距离平方成反比】
水压【压强与深度成正比】
引力【距离平方成反比】
考场题型
定积分比大小
未知变上限求原函数【同时求导】
未知不定积分求原函数【同时积分】
多元函数重积分
二重积分
几何意义
曲顶柱体的体积
薄片的质量
定义
坐标系
直角坐标
点线面计算逻辑
积分顺序
先 y 后 x
先 x 后 y
面积元素
正方形面积
极坐标
常见极坐标计算被积函数
面积元素
扇环面积
适合极坐标积分域
运算性质
二重积分中值定理
交换相等
奇偶性
积分域 D 关于 y 轴对称
积分域关于 x = a 对称【奇偶平移】
积分域 D 关于 x 轴对称
对称性
积分变量记号无关
沿直线 y=x 对称：变量对调积分制不变
微分形式不变性
基本运算
同积分区域可线性运算
不等式性质
二重可拆积分
题型
累次积分交换次序
步骤
画域
重新定限
常见题型
极坐标→直角坐标
极坐标系重积分
极坐标系表示
偏心圆
直角坐标 极坐标
偏心圆
图形
公式
极坐标：
直角坐标：
直角坐标：
累次积分上限函数求导
二重积分计算
参数方程 积分
全平面 抽象函数
不等式
平移法
轮换对称性
去绝对值
利用区间对称型
未知变上限求原函数【同时求导】
未知不定积分求原函数【同时积分】
二重变上限积分
三重积分
几何意义
三维物体的质量
坐标系
直角坐标
核心：化为三个单次积分
由此可见n维，即化为n个单次积分
点线面体计算法
在二重积分的薄片【面】基础上，增加对z轴积分【体】
积分域的选择和积分顺序与二重积分原理一致
体积元素
立方体
三化二/先二后一
球体
柱面坐标
坐标元素
分别对应 以 z 轴为轴的圆柱面[半径]，过z轴半平面[从 x 到 y 的旋转角度]，与 xOy 平面平行平面[高度]
取值范围
右手为正
直角坐标参数方程
常见被积函数形式
体积元素
扇环体
球面坐标系
参数方程
常见被积函数形式
体积元素
图解
计算时注意利用相似三角形求 r3 长度
由上图可得
应用 [元素法的使用推广]
曲面面积
质心
转动惯量
引力
题型
含参变量的积分
坐标系计算
直角坐标（先二后一）
柱坐标
球坐标
常见图形
图形
星形线
参数方程
图形
摆线
参数方程
图形
向量代数
向量
概念
自由向量
负向量
零向量
角平分线向量
归一化处理
向量夹角
范围
向量的大小【模】
模长为1
模长为0
零向量，方向任意
零向量，方向任意
向量间关系
向量共线/平行
充要条件
向量共面
三向量共面
混合积为0
混合积为0
向量相等
大小相等方向相同
向量运算
线性运算
向量加减
线性代数
线性组合
线性相关
向量组的线性相关
线性无关
线性表示(出)
向量表示
向量组表示
向量组等价
三角形不等式
共线时相等
相反时相等
性质
交换律
结合律
向量数乘
结合律
分配律
空间直角坐标系
坐标轴
三个两两垂直的单位向量
建立规则
右手规则
卦限
坐标分解式
(x,y,z)
线性运算
求解线性方程组
求证等腰三角形
求出空间两点距离
方向角与方向余弦
方向角
向量转换
模长公式
性质【恒等式】
向量表示
轴上的投影
数量积/点乘->内积
公式
代数表示
运算规律
交换律
分配率
几何表示
b向量在a向量方向投影的模长与a向量模长的乘积
几何应用
求模长
求夹角
判断垂直
b向量在a向量的分量为0【反之同理】
向量积/叉乘->外积
运算规律
交换异号
分配率
代数表示
对应向量行列式运算
几何表示
向量积乘积结果仍为向量
模长
几何应用
求向量a,b临边的平行四边形面积
判断向量平行
求垂直于a,b向量的平面法向量
叉乘向量方向
右手法则
混合积
定义
代数表示
运算规律
轮换对称性
调换变号
几何应用
平行六面体体积
三向量共面
空间解析几何
空间曲面方程
曲面方程
概念
相关问题
已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立曲面方程
已知坐标x,y,z之间的一个方程，研究该曲面形状
常见曲面形状
球面
旋转曲面
绕坐标轴旋转
L绕y轴旋转
L绕z轴旋转
柱面
母线平行于z轴
二次曲面【常考】
圆锥面
椭球面
球面
旋转抛物面
旋转双叶双曲面【了解】
旋转单叶双曲面【了解】
马鞍面
柱面
构成
母线
准线
二次曲面
椭圆曲面
椭球面
单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面
双曲抛物面[马鞍面]
平面方程
点法式方程[点+法向量]
相关问题形式
一般方程
形式
方程
与点法式联系
值与特性特点联系
齐次方程零解
相关问题形式
截距式方程
平面束方程
对称式方程平面束
一般方程平面束
三点式
空间曲线方程
曲线方程
一般方程
参数方程
切线方向
利用方程曲面的法向量叉积求出其切线法向量
参数方程直接求出三个变量的导数
直线方程
一般方程[两个平面一般方程]
方向向量
对称式方程[点向式]
基本形式
方向向量
方向余弦
参数方程
基本形式
方向向量
空间曲线投影
在xOy面上投影
空间夹角
平面与平面夹角
范围
夹角余弦[两法向量夹角]
平面关系
平行【法向量对应成比例】
垂直【法向量数量积为0】
直线与直线夹角
范围
夹角余弦[两方向向量夹角]
直线与平面夹角
范围
夹角余弦[方向向量与法向量夹角]
距离公式
点到直线
点到平面
二维空间
三维空间
平行平面
两直线之间
方向导数与梯度
方向导数
定义
二元函数方向导数计算
三元函数方向导数计算
方向余弦
梯度
定义
关系
等式
θ=0
f(x,y)增加最快，该方向导数达到最大值，即为梯度的模
f(x,y)增加最快，该方向导数达到最大值，即为梯度的模
θ=pi
方向与梯度方向相反，函数减少最快，达到最小值
方向与梯度方向相反，函数减少最快，达到最小值
θ=pi/2
方向与梯度方向正交时，函数变化率为0
方向与梯度方向正交时，函数变化率为0
多元微分学及运用
一元向量值函数
参数方程
空间曲线参数方程及其向量形式
导向量
向量复合求导法则
曲切平面[法线]
法向量
F(x,y,z)=0
z=f(x,y)
曲线切线[法平面]
曲线法线
与切线垂直的直线
切线向量
参数方程切向量
一般方程切向量
法平面方程
多元积分学及运用
曲线积分
概念
平面单连通区域
不含"洞"的区域
不含"洞"的区域
复连通区域
含"洞"的区域
含"洞"的区域
弧长曲线积分 (第一类)
类型
封闭曲线弧长积分
平面曲线
空间曲线
性质
可拆性
可加性
不等式
绝对值不等式
积分路径无关
奇偶对称性
积分曲线 L 关于 y 轴对称
计算
参数方程
平面曲线参数方程
空间曲线参数方程
极坐标系
平面极坐标系
坐标曲线积分 (第二类)
定义
性质
积分路径方向相关
计算
平面曲线
直接法
格林公式
补线使用格林公式
路径无关线积分
判定
与路径无关
闭曲线积分为0
，L为D中任一分段光滑闭曲线
两偏导相等
原函数微分
计算
该换路径计算
利用原函数计算
空间曲线
直接法
斯托克斯公式
两类曲线积分联系
平面曲线
空间曲线
曲面积分
面积曲面积分
定义
性质【与积分曲面方向无关】
公式
化简条件
奇偶性
对称性
计算步骤
坐标曲面积分
定义
性质【与积分曲面方向有关】
计算
直接法
高斯公式
真题
2021, (二), 14
两类面积分的联系
沿任意闭曲面积分为零
充要条件
多元积分应用
质量
平面域
空间体
曲线段
曲面片
质心
平面域
空间体
曲线段
曲面片
形心
转动惯量
平面域
空间体
曲线段
曲面片
变力作功
力：
功：
通量/流量
通量：
场论初步
梯度
散度
旋度
前置知识
三角函数
和差公式
和差化积
积化和差
基本公式
万能公式
半角公式
二倍角公式
正割(sec)与正切(tan)
三角恒等式
积分使用
欧拉恒等公式
辅助角公式
正余弦转换
反三角函数图像
正割/余割/余切函数
弧与弧度
弧长=弧度 x 半径
不等式
调几算方
算数 >= 几何
完全平方·
高数常用不等式
数列求和
等差数列
等比数列
SP：当数列从 1下标开始时
多项式
二项式定理
除与被除
几何图形
扇形
面积： = 1/2 [半径 弧长]
弧长
= n（圆心角）× π（圆周率）× r（半径）/180
=α (圆心角弧度数)× r（半径）
= n（圆心角）× π（圆周率）× r（半径）/180
=α (圆心角弧度数)× r（半径）
球体
表面积
体积
锥体
表面积 = 侧面+底面
体积 = 底面积 高
圆
面积 S=πr²
周长 C=2πr
椭圆
面积
周长
标准方程
焦点
a,b,c关系
各种“心”
重心
质心
平面域
空间体
曲线段
曲面片
形心
虚数
欧拉恒等公式
函数
一元函数
连续性
定义
自变量增量趋于0，函数值增量趋于0
记作
一般证明
左右极限存在且等于该点的值
连续函数
在该区间上的每一个点都连续的函数
单侧导数存在 单侧连续, 所以左右导数同时存在则函数在 处必然连续
定理
复合函数连续性
性质
连续与有界性
连续与左右极限
连续与绝对值
连续与可导性
连续与可积性
间断点
定义
类型
第一类间断点
左右极限存在，且 为 间断点
类别
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
其他
易错问题
闭区间性质
有界性/收敛
区间内有界
收敛【数列中讨论】
特殊函数
最大最小值定理
零点定理
介值定理
一致连续性
函数性态
单调性
条件
结论
经典错误
凹凸性
几何判断
平均值比较法
导数判断
条件
结论
奇偶性
偶函数
幂函数
三角
抽象函数
奇函数
三角
对数
指数
抽象函数
几何性质
奇函数：原点对称
偶函数：y轴对称
导数与原函数奇偶
【可导】原函数的导数，奇偶性与原函数相反
连续【可积】函数的原函数不一定与其奇偶相反
周期性
定义
其他性质
【可导】周期函数导数也为周期函数, 且周期不变
【可积】周期函数积分为0时，其原函数也为周期函数
证明
拐点
定义
定义
计算
步骤
判定
必要条件
第一充分条件
【两侧判定法】
第二充分条件
【三阶导数判断法】
第三充分条件
n为偶数
不是拐点
不是拐点
n为奇数
拐点
拐点
驻点
定义
极值与最值
极值
定义
计算
求出全部驻点与不可导点，观察这些点左右邻近的情况从而判断极值情况
判定
必要条件
第一充分条件
一阶导存在且左右异号【两侧判断法】
第二充分条件
二阶导数存在且不等于0【二阶正负判断法】
第三充分条件
n为偶数
f(x)在x0有极值，其中n阶导>0极小值，n阶导<0极大值
f(x)在x0有极值，其中n阶导>0极小值，n阶导<0极大值
n为奇数
无极值
无极值
最值
求出 f(x) 在 (a,b) 内的驻点和不可导点
求出 驻点 和 不可导点 以及 端点处的函数值
取这些函数值的极大值或者极小值
一元连续函数区间内部的唯一极值点，为该区间的最值点
渐近线
水平渐近线
垂直渐近线
斜渐近线
构造法【常用泰勒公式】
极限法
函数图形描绘
点/区间书写格式
极值点
驻点
零点
间断点
极值
单调区间
拐点
常见函数类型
符号函数
取整函数
复合函数
反函数
计算步骤
y=f(x)在定义域上是否为单调函数
如果是单调函数
逆运算求出x=g(y)
逆运算求出x=g(y)
常见反函数
反三角函数
几何性质
关于x=y对称
初等函数
定义域
函数不等式证明
单调性
最值
拉格朗日中值定理
泰勒公式
凹凸性
基本不等式
多元函数
平面点集
邻域
点与点集关系
内点
外点
边界点
聚点
n元函数定义
连续性
定义
间断点
闭区间性质
有界性与最值定理
介值定理
一致连续性定理
极值/极值点
定理1
驻点
判断方法
充分条件
定义
证明
同济版高数下p125
几何法
保号性判断法
性质
条件极值求解
拉格朗日乘法
定义
原函数
约束条件
求解步骤
构造函数
列出所有偏导方程
解方程
极坐标求解
特征
不等式
最值点
极限/重极限
一元函数极限
定义
函数
书写
极限存在证明
数列极限
函数极限
常见分左右极限讨论
分段函数
指数
arctan
海涅定理
数列极限为 a【接近但不相等, 极限是因为 x是趋于 a而不等于a的情况】
极限性质
局部有界性
保号性
极限值与无穷小关系
极限与绝对值
无穷小/无穷大
性质
无穷小有限和积
无穷小 x 有界函数 = 无穷小
阶大小关系
高阶
同阶
等价
k阶
阶的比较
直接比较法【极限比较法】
泰勒展开
定义法【洛必达法,用 进行比较】
求导定阶【微分阶】
积分等价
结论法
不定式
注：这里的 1 必须是常数而不是极限值
六大求极限方法
极限有理运算
限制条件
1）加间极限必须存在
2）商的分母值不能为0
3）幂次必须为正整数
2）商的分母值不能为0
3）幂次必须为正整数
常见错误
lim(A+B)=C,不能推出lim A+limB=C[A,B可能分别极限均不存在]
夹逼原理
等价无穷小
限制条件
常用公式
函数
幂等价
指/对数
三角等价
数列
积分等价
阶的比较
直接比较法【极限比较法】
泰勒展开
求导定阶【微分阶】
积分等价
结论法
真题
x 趋近于 0
中值定理
罗尔定理
前提
费马引理
限制条件
结果
拉格朗日中值定理[微中]
限制条件
公式
柯西中值定理
限制条件
公式
常见处理式
洛必达法则
限制条件
着重讨论 0/0 未定式情况，而 ∞/∞ 则可以通过分子分母同时倒数来转化为 0/0 型
推导来源
柯西中值定理
泰勒公式
使用思考
是否对于任意形式都满足泰勒公式
泰勒公式与泰勒级数、泰勒展开式之间的关系
常用公式[麦克劳林展式]
基本形式
系数 an 与 f(x)的n阶导关系
【变形式子】
课外内容
导数定义
极限定义式
有理化
求极限思路
乘积形式/指对数
等价
导数简单/积分上限函数
洛必达
高阶式子/加减不能等价代换/复杂三角函数
泰勒【部分展开】
导数形式
求导定义
带有根号形式的分式
幂等价式
三角函数化简
有理化
幂指函数
幂指恒等式
幂等价式
不定式
其他题型
确定极限式参数
难题总结
夹逼定理求解
多元函数极限
定义
存在证明
常见求极限方法
夹逼定理
反证法
计算方法
极限判断
数列极限
单调有界准则
定积分定义
n项和数列极限
变化部分
根号n次幂次项和
n项连乘
夹逼原理
取对数化为n项和
例题
递推关系定义数列
定义
数列
a为数列极限=数列收敛于a
充要条件
收敛性质
数列收敛，则极限唯一【唯一性】
数列收敛，则一定有界【有界性】
【保号性】
【子序列关系】
如果数列收敛，则其任一子数列也收敛，且极限也为 a
如果数列收敛，则其任一子数列也收敛，且极限也为 a
无穷级数
定义
级数
收敛/发散
级数与部分数列和 Sn 同收敛发散
常见级数
等比(几何)级数
p 级数
调和级数
基本性质
性质一：级数每项乘以不为0的常数，收敛性不改变
性质二：收敛级数加减仍收敛；两个收敛级数可以逐项相加或相减
性质三：级数中修改有限项，不会改变级数收敛性
【即真正决定敛散性的不是有限项】
【即真正决定敛散性的不是有限项】
性质四：如果原级数收敛，则加括号仍收敛
【逆否：如果加括号后级数发散，则原级数发散】
【逆否：如果加括号后级数发散，则原级数发散】
性质五 (必要条件)
若级数收敛，则其一般项 un 趋于零
若级数收敛，则其一般项 un 趋于零
注：必要而非充分，例如 调和级数
收敛数列必有界
敛散性判断
柯西审敛原理 (充要条件)
常数项级数审敛法
正向级数
(充要条件) 部分和数列 Sn 有界
比较审敛法
推论
比较审敛法【极限形式】
v 收敛 -> u 收敛【k倍】
v 发散 -> u 发散【发散->发散】
常见比较级数
p 级数
等比级数
比值审敛法【达朗贝尔判别法】
根值审敛法【柯西判别法】
极限审敛法
级数发散
级数收敛
积分审敛法
交错级数
定义
各项正负交错
莱布尼兹定理
交错级数收敛 充分条件
绝对收敛/条件收敛
定义
绝对收敛（充分条件）
对于级数 un 各项绝对值所构成的正向级数 |un| 收敛则称为绝对收敛
对于级数 un 各项绝对值所构成的正向级数 |un| 收敛则称为绝对收敛
条件收敛
如果原级数收敛而其绝对值所构成的正向级数发散，则称为条件收敛【部分交错级数】
如果原级数收敛而其绝对值所构成的正向级数发散，则称为条件收敛【部分交错级数】
相关定理
如果级数绝对收敛，则级数必然收敛
绝对收敛性质
绝对收敛级数具有可交换性
绝对收敛级数的乘法
加减收敛性
绝对收敛+条件收敛=条件收敛
绝对收敛+绝对收敛=绝对收敛
条件收敛+条件收敛=两种都有可能
幂级数
前置概念
无穷级数
表达式
收敛点/发散点
收敛域/发散域 [极限收敛点的全体]
收敛区间 (-R,R)
定义
表达式
幂级数系数 a0,..an
阿贝尔定理
推论
幂级数收敛半径
求解方法
公式
对于只有偶次或几次项幂级数
阿贝尔定理
推论得出收敛半径对称
幂级数运算
性质1 幂级数的和函数s(x)在其收敛域上连续
性质2 幂级数和函数s(x)在其收敛域上可积，并有逐项积分公式
性质3 幂级数和函s(x)在其收敛区间可导，且有逐项求导公式
推论：幂级数和函数s(x)在其收敛区间具有任意阶导数
四则运算法则
两个收敛的幂级数四则运算后收敛半径为R=min(R1,R2)
两个收敛的幂级数四则运算后收敛半径为R=min(R1,R2)
函数展开为幂级数
泰勒级数/麦克劳林级数
形如下面的幂级数叫做 函数f(x) 在 x0 处的幂级数
x0 = 0处为麦克劳林级数
泰勒展开式/麦克劳林展开式
展开式【等式】叫做 函数f(x) 在 x0 处的泰勒展开式
函数f(x) 能在收敛于 (-r,r) 内展开为x的幂级数，称为麦克劳林级数
泰勒展开充要条件
在某邻域 U(x0) 内，f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x),当 n 趋近于 ∞ 时，极限为0
在某邻域 U(x0) 内，f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x),当 n 趋近于 ∞ 时，极限为0
展开方法
直接展开法【步骤】
求出f(x)的各阶导数，f'(x)...f''(x)..., 如果某阶导数不存在则停止，也就不能展开为幂级数
判断余项是否为0
间接展开法
利用已知幂级数进行【四则、逐项求导、逐项积分】及变量代换方法
泰勒级数/公式/展开式
微分方程的幂级数解法
常用展开式
正负交替
1/(1+x) (-1<x<1)
运用【几何分布期望计算】
sin x (负无穷，正无穷)
cos x （负无穷，正无穷）
ln x (-1<x<=1)
arctan x
系数恒正
1/(1-x) (-1<x<1)
(负无穷，正无穷)
运用【泊松分布期望计算】
(-1<x<1)
傅里叶级数
前置概念
周期函数
收敛定理[狄利克雷]
常考题型
收敛定理
函数展开为傅里叶级数
不定积分
一元函数不定积分
原函数
定义
存在原函数的导数性质
f(x)不一定连续
f(x)不一定是初等函数
F(x)不一定是初等函数
由原函数定义，F'(x)=f(x)，因而F(x)连续
不定积分定义
积分表
三角函数
幂函数
指数函数
平方和/差
注意 x 所代表的函数性
分式 -> 对数
大在下，小在上【个人结论，很好用】
sin x+cos x 分式配凑
性质
积分中值定理
抵消原理
补充
求解方法
主要积分法
分部积分
常见情形
高中口诀：反对幂指三
第一类换元法(配凑法)
条件
常见配凑形式
根式
分式
三角
第二类换元法(反函数法)
三种常见变量代换
常见可积函数
有理函数积分
有理分式
真分式
假分式
化简
最简形式
化简方法
三角函数万能公式法(不推荐使用)
对数化简
化乘除为加减
常见多项式配凑
三角有理式
简单无理函数
根式代换/无理式换元
一般技巧
拆项 裂项
同乘 同除
升幂 降幂
三角恒等变换
积分重现 抵消
不定积分存在定理
(可积性判断)
(可积性判断)
连续必有原函数
微分方程
常微分方程
定义
表示未知函数、未知函数导数与自变量之间关系的方程
概念
方程的阶
通解
特解
初值条件/初值问题
微分方程积分曲线
积分因子法
类型
可分离变量微分方程
一阶
一般形式
换元
齐次方程
前提
求解
令 y=ux
可化为齐次方程形式
非齐次化为齐次
一阶线性微分方程
定义
类型
齐次
可分类变量还原
通解公式
非齐次
常数变易法
反解
证明
伯努利方程
定义
形如
解法
全微分方程
定义
解法
偏积分
凑微分
线积分
充要条件
可降阶高阶微分方程
直接可积型
半隐
解法
全隐
解法
高阶线性微分方程
定义
类型
齐次
常系数齐次线性微分方程
解法
特征方程
三种根情况
无解，两个共轭复根
非齐次
常系数齐次线性微分方程
形式
特解
解结构
齐次方程解=非齐次方程两个特解的差
非齐次方程通解形式=齐次方程两个线性无关特解+非齐次特解
常数变易法
欧拉方程
定义
形如
求解
令x=或t=ln x,可将上述欧拉方程化为 线性常系数微分方程
真题
2021，(二)，13
性质
解的叠加原理
解的结构
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