线性代数复习总结
2021-07-06 10:07:06 507 举报AI智能生成
线性代数是一门研究向量、向量空间（也叫线性空间）、线性映射（也叫线性变换）的数学学科。它的抽象概念是建立在实数和复数等具体数字的基础上的，是现代数学的一个重要分支。线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，包括解微分方程、图像处理、计算机图形学、机器学习等。通过学习线性代数，我们可以更好地理解和掌握这些领域的基本概念和方法。总之，线性代数是一门具有广泛应用前景且非常重要的学科。
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大纲/内容
向量
向量与向量组
矩阵行列向量组表示
m 个 n 维列向量
m 个 n 维行向量
线性相关性
线性表示(出)
定义
向量组表示
向量组B能由向量组A线性表示
充要条件
必要条件
向量组等价
向量组 A和 向量组 B能够互相表示
充要条件
线性组合
线性相关
定义
特征
秩判断【充要条件】
线性方程组
存在某个方程可以由其余方程进行线性组合
充要条件
线性无关
秩判断【充要条件】
证明方式
化简为 形式
秩判断 r(BA) = r(B)
向量组线性相关性
维数决定矩阵大小，矩阵大小决定秩范围，秩范围决定线性相关性
延申组即例如 原向量为
秩
极大线性无关组
定义
推论
定义
秩等价
解集的秩
相关概念
内积/点积
定义
性质
交换结果不变
数乘
加法可拆
结果非负性
内积/点积/数量积关系
Schwaz 不等式
长度(范数)
定义
性质
非负性
齐次性
n维向量夹角
由Schwaz不等式得到范围证明
单位
单位化
单位向量
正交
正交向量组
定义
一组两两正交的非零向量
一组两两正交的非零向量
性质
正交向量组线性无关
标准正交
标准正交基
向量空间的基两两正交，且都是单位向量
向量空间的基两两正交，且都是单位向量
标准正交化
施密特正交化【递推计算】
解析
正交矩阵/正交阵
n 阶矩阵A
性质
正交矩阵每个列向量都是单位向量，且两两正交
正交矩阵逆矩阵和转置相等，且均为正交阵
正交矩阵乘积仍为正交阵
正交变换
定义
正交变换线段长度不变【相当于换坐标系表示】
相似及二次型
特征向量/特征值
概念
基本关系式
特征多项式
特征方程
特征值
特征向量
迹
坐标变换
特征值性质
前提
矩阵多项式的特征值
特征向量性质
特征值不相等，特征向量线性无关
假设 为 的 个特征值， 为依次对应特征向量，各 λ 不相等，则 线性无关
假设 为 的 个特征值， 为依次对应特征向量，各 λ 不相等，则 线性无关
推论
相似
相似矩阵
定义
A,B,P 为 n 阶矩阵
性质
行列式相等
秩相等
特征多项式相同
迹相等
相似对角化
充要条件
A 有 n 各线性无关的特征向量
A 有 n 各线性无关的特征向量
推论
A 的 n 个特征值互不相等
A 的 n 个特征值互不相等
合同对角化
合同定义
性质
A为对称矩阵时, 对应合同矩阵也为对称矩阵
对称矩阵对角化
性质
对称矩阵特征值为实数
对称矩阵特征值不同，对应的特征向量正交
正交变换二次型矩阵 合同且相似
推论
步骤
求出 A 全部不相等特征值
对每个 k 重特征值，求解方程 (A-λiE)x=0 的基础解系
将这个 ki 个线性无关的特征向量，正交化、单位化，得到两两正交单位特征向量
将这 n 个两两正交单位向量构成正交矩阵 P,求出对应的 对角矩阵
形式
二次型
定义
称为二次型 的矩阵，A的秩叫做 二次型 f 的秩，记为r(A)
求解 二次型矩阵 A
标准型
只含平方项的二次型(混合项系数全为零)
惯性指数
负惯性指数
正惯性指数
规范型
在标准型中，若平方项系数
正定二次型
惯性定理
定理
对于一个二次型，无论选取怎样的坐标变换使其化为仅含平方项的标准型
其中正平方项个数 、负平方项个数 都是由所给二次型唯一确定的
其中正平方项个数 、负平方项个数 都是由所给二次型唯一确定的
设二次型的秩为 r ,且有两个可逆变换
则其对应的二次型 正/负 系数个数相等
则其对应的二次型 正/负 系数个数相等
正定
定义
n 元二次型正定
充分必要条件
充分必要条件
的正惯性指数为 n
合同，即存在可逆矩阵C，使得
A 的所有特征值 均为正数
A 的各阶顺序主子式均大于 0
必要条件
线性方程
类型
齐次
非齐次
解
存在
唯一
齐次零解
非齐次唯一解
无穷多
无解
解结构
基础解系
定义
齐次线性方程组的解集的最大无关组
齐次线性方程组的解集的最大无关组
解向量/通解表式
非齐次方程通解 = 齐次方程的通解 + 非齐次特解
基础解析形式
解向量性质
解向量的任意线性组合仍是方程组的解
向量方程的两个解相加，仍为其解
向量方程的解乘以某实数，仍为其解
向量方程的两个解相减，为其齐次线性方程组对应解
向量方程的齐次解+非齐次解仍为非齐次方程的解
秩
方程组的秩
方程组解集的秩
其他性质
n 元齐次线性方程组同解 ，秩相等
解法
线性表示
方程组的表示
方程组
矩阵【分块法】 -> 向量
线性表示 -> 基础解系
计算步骤
写出对应向量组的矩阵形式
化简为最简形矩阵
利用解向量进行线性表示
Gauss-Jordan 高斯消元
线性空间与线性变换
向量空间
概念
定义
封闭
n 元齐次方程组解集【解空间】
子空间
r 维向量空间 V
基
线性运算
性质
向量组等价，向量空间相等
列向量与平面空间
基变换与坐标变换
基变换公式
坐标变换公式
线性变换/线性映射
定义
假设 分别是n维和m维线性空间，T是一个从到的映射，如果映射T满足：
假设 分别是n维和m维线性空间，T是一个从到的映射，如果映射T满足：
线性变换的矩阵表示式
行列式
前置概念
逆序/逆序数
逆序
排列中，大的数排在小的前，两个数构成一个逆序
排列中，大的数排在小的前，两个数构成一个逆序
逆序数
一个排列的逆序总数为这个排列的逆序数
一个排列的逆序总数为这个排列的逆序数
全排列
奇排列
排列逆序数为偶数
排列逆序数为偶数
偶排列
排列逆序数为奇数
排列逆序数为奇数
对换
余子式/代数余子式
余子式
代数余子式
定义
全排列求和运算(n! 项之和)
n阶行列式(nn的方阵) 完全展开式
k 行展开公式
方阵行列式
性质定理
三阶内行列式计算
对角线法则
主对角线元素乘积之和 - 副对角线元素乘积之和
主对角线元素乘积之和 - 副对角线元素乘积之和
三阶以上：完全展开式
基本运算
交换
公式【两行或两列交换，值为相反数】
推论
公因式
公式【提取某行/列公因子，值乘以公因子】
推论
某行全为 0，则行列式值为 0
某行全为 0，则行列式值为 0
加减可拆
行列式某行或某列相加减，对应行列加减【和矩阵加减运算区分】
展开
两行对应成比例
k乘加
某行列的各元素乘以同一个数加到另一行。行列式不变
特殊行列式
二阶与三阶
对角线法则
上下三角
爪型
向上或则向左求和
爪对称型【构造上/下三角行列式】
范德蒙德
数学归纳法证明【每行减去前行的xi倍，然后展开】
拉普拉斯[分块]
对称型
方阵行列式
转置不变
k 乘
矩阵乘法
伴随矩阵
特征值与行列式
相似矩阵
逆行列式为原矩阵倒数
多项式矩阵行列式
利用单位矩阵恒等变形
相似矩阵
分块行列式恒等变形(抽象矩阵)
方阵行列式为 0
充分条件
的两行元素对应成比例
中由一列元素全为 0
方程有非零解
必要条件
中必有一行为其余行的线性组合
三对角矩阵
通过归纳法/化为上三角进行计算
特征多项式
克拉默法则
思路
利用行列式计算非齐次方程的解
利用行列式计算非齐次方程的解
计算
方程组
解
存在
唯一
齐次零解
非齐次唯一解
无穷多
无解
解的表示
Di 为把系数 矩阵D 中的第 j 列元素用常数项替换所得
矩阵推导证明
矩阵
定义
mn个数的数表
类型
形状相关
n阶方阵
对称矩阵
定义【n阶方阵A】
diag 对角矩阵
E 单位矩阵
纯量阵 λE
性质
正定矩阵
对称矩阵A的特征值全为正
对称矩阵A的各阶主子式均为正(赫尔维茨定理)
二次型 f 的矩阵
反对称矩阵
正交矩阵
定义
性质
正交矩阵逆=转置
行列式平方为1
矩阵多项式
矩阵 A 的 m 次多项式
A 与某对角矩阵相似时
相似矩阵
定义
A,B,P 为 n 阶矩阵
性质
行列式相等
秩相等
特征多项式相同
特征值
迹相等
伴随矩阵
定义
性质
伴随矩阵的行列式值
伴随与逆的关系
证明
伴随求转置
伴随求逆
伴随矩阵的伴随矩阵
证明
分块伴随矩阵
伴随矩阵的秩
二阶伴随矩阵
可逆/非奇异/满秩矩阵
定义
对于 n阶 矩阵A，存在 n阶 矩阵B 使得 AB=BA=E
对于 n阶 矩阵A，存在 n阶 矩阵B 使得 AB=BA=E
性质
非奇异性
秩为阶数n
A 的 列/行 向量组线性无关
A 可以通过 E 初等变换得到
A 与 单位矩阵 E 等价【初等变化】
0 不是 A 的特征值
A 的逆矩阵 存在且唯一
求逆矩阵
初等变换
伴随矩阵公式
多项式移项配凑
不可逆/奇异/降秩矩阵
合同矩阵
同型矩阵
相等
分块运算
分块加减，即把子矩阵看作系数来运算
数乘同理
分块矩乘【注意小块满足矩乘型式要求】
转置【对角线上矩阵不动，对称位置调换，最后全部求转置】
分块对角
分块对角逆矩阵
线性方程相关
系数矩阵
未知数矩阵/解向量
常数项矩阵
增广矩阵
行 / 列向量(矩阵)
初等变换相关
可逆矩阵/满秩矩阵
等价矩阵
秩相等
定义
A,B 为mn 矩阵
A,B 为mn 矩阵
行等价
列等价
A 经过有限次初等变化为 B
性质
反身性
对称性
传递性
初等矩阵
行阶梯【非零矩阵】
行最简
标准型
数值相关
零矩阵
充要条件【方阵A】
单位矩阵
实矩阵/副矩阵
运算
逆运算
初等行变换
运算性质
充要条件【可逆矩阵即非奇异矩阵】
可逆则
系数乘矩阵的逆
转置求逆
伴随求逆
逆矩阵的幂次
二阶矩阵求逆
分块求逆
逆矩阵的行列式
单位矩阵
矩阵对角化
加减
同型矩阵加减，对应位置元素加减【注意和行列式区分】
性质
同型矩阵加减
结合律
交换律
数乘
λA
矩乘
定义法
线性组合【优化计算】
列向量组合【分块思想】
行向量组合
αTβ 与 αβT , ab 默认列向量
αTβ 列 x 行 = 矩阵
αβT 行 x 列 = 数 【记忆：行列式是数】
性质
运算律
结合律
分配律
结果值
结果为数
结果为矩阵
方阵幂运算
方阵A由某 列向量 x 行向量得到
方阵与对角矩阵矩乘
矩阵乘积为0矩阵
AB = AC
特殊矩阵n次幂
三角矩阵
对角矩阵
分块矩阵
相似矩阵
转置
分块
加法
乘法
转置 【内外均转】
求逆
分块对角 n 次幂
分块伴随矩阵
初等变换
初等变换
初等行变换
两行对换
第 i 行乘 k
某行所有元 k 倍加导另一行
列变换
增广矩阵
左侧矩阵可逆
求解
初等行变换
Ax=b 把（A,b）化为行最简矩阵
Ax=b 把（A,b）化为行最简矩阵
判秩
表示解
解的个数
无解
唯一解
无穷多解
秩
定义
k 阶子式
最高阶非零子式
性质
矩阵大小与秩的关系
矩阵运算
矩阵和的秩 ≤ 矩阵秩的和
数乘不改变秩大小
分块矩阵的秩
矩乘乘积的秩小于最小秩
转置秩 = 原矩阵秩
方程
AB = 0矩阵的秩小于 n (同边)
初等变换秩保持不变【乘以可逆秩不变】
等价矩阵秩相等
线性方程组相关
方程组无解时
增广矩阵的秩 = 系数矩阵秩 + 1
增广矩阵的秩 = 系数矩阵秩 + 1
关系线梳理
向量\矩阵\方程
列向量与平面空间
n 阶矩阵 A 行列式的值
不可逆/奇异/降秩矩阵
矩阵中行/列间关系【两行对应成比例】
矩阵的秩 r(A)< n 【秩为最高阶非零子式，|A|=0说明，n阶子式为0，因此其秩必然小于 n】
线性关系
A 存在某行向量为其余线性组合 【线性组合使得两行相等】
A 对于的 n 个 n 维向量组线性相关
可逆性
矩阵 A 不可逆
线性方程
高斯消元：某个方程能够由其他方程组进行消除
方程组的解：齐次方程 Ax = 0 有非零解 【多出一个未知向量】
向量空间
在向量空间中表示 变换后的图形的面积 S = 0
可逆/非奇异/满秩矩阵
定义
对于 n阶 矩阵A，存在 n阶 矩阵B 使得 AB=BA=E
对于 n阶 矩阵A，存在 n阶 矩阵B 使得 AB=BA=E
充要条件
非奇异性
矩阵的秩为阶数n
【初等变换】
A 可以通过 E 初等变换得到
A 与 单位矩阵 E 等价
A 的 列/行 向量组线性无关
特征值
0 不是 A 的特征值
可逆性
A 的逆矩阵 存在且唯一
线性方程
方程组的解：齐次零解 ， 非齐次唯一解
相关变换
等价变换
相似变换
正交变换
线性相关性
非齐次有解
秩
方程组无解时
增广矩阵的秩 = 系数矩阵秩 + 1
增广矩阵的秩 = 系数矩阵秩 + 1
齐次方程组有非零解
向量组的秩
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