固体物理

布拉伐格子(Bravais lattice) 即我们通称的格点，它要求①每个点都具有严格的平移周期性②且找不到比当前划分更小的周期单元。注：金刚石结构、石墨烯结构直接将原子抽离出来不是布拉伐格子

元胞or初基晶胞(primitive unit cell)  ：只包含一个格点的周期单元，体积固定

惯用晶胞(conventional unit cell)：多个格点组成的周期单元，多为立方体型

晶胞(unit cell)：有一个或多个格点组成的周期单元

基元(basis)：元胞中的物理实在

正方、长方、有心长方、六角、一般

特殊的有三种立方、六角

面心立方有12个最近邻，到顶角和到最近的面心距离相同

氯化铯结构（2，2）

NaCl型结构（2，8）

金刚石型结构（2，8）

闪锌矿（立方硫化锌）结构（2,8）

hcp六角密堆叠结构（2,6）

是倒易空间中的晶格，其中每一个格点都对应：实空间中的周期性
物理量的函数的傅里叶展开式中一项的“波矢”
也就是说每一个倒格点都对应实函数傅里叶展开式的一项

承认了倒格点/子的物理意义之后，倒格矢就是连接倒格点之间的
矢量

定义法

惯用晶胞+几何结构因子法

严格来说不对，倒格子空间应该是倒格点所处的空间

定义：任意两个倒格点之间的垂直平分面

写成更有利于计算

1、按照XRD衍射光束来理解：
只有当由散射（弹性）方向决定的散射矢量时，那个方向上才会有衍射光束

2、按照电子波的晶格布拉格反射的角度来理解：
只有某些特定的波矢的电子波才能发生布拉格反射，特定是指满足劳厄条件

背后的物理是什么呢？——背后的物理是相干叠加和相消，
若是毫无周期性的电子排布，那么势必对于X射线的作用是散射，而一旦有了周期性的排布，虽然每个电子还是散射，但电子之间
有了一个固定的距离从而引入固定的相位差，那么总体的光束就变成特定方向的增强，其他方向全部相消。

拓展光源频宽法

转晶法：与粉末法异曲同工

粉末法（德拜-谢勒法）

q的取值来自于周期性边界条件

子主题

子主题

又称为波恩－冯卡门边界条件，它是人为提出的，来源于两点考虑
1、让电子波or格波限制于晶格之内
2、而又不会影响物理性质的计算

为了方便理解这种人为提出的含义，我们也可以设定一个边界为0的边界条件，但这样的话就会自然的形成驻波，我们便不方便讨论其中的输运

将每一个晶格振动模式的哈密顿量都转化为一个谐振子的形式，
从而可以通过薛定谔方程确定晶格振动能量的量子化，将每一个
能量量子都定义为一个声子

声子的表征有两点，1、它是哪只格波的声子，2、它的格波矢等于多少

我们采用玻色-爱因斯坦统计，给出某温度下声子具有的总能量，
它对温度偏导自然就是热容

假定色散关系为类声波，q的累加变为在第一布里渊区内积分。
并考虑到T很小的时候，很大的q 对积分的贡献可忽略，所以积分上限取为无穷。

结论为

德拜近似

德拜球的半径通过体积等于布里渊区的体积求得

德拜频率与德拜温度都对应最高声子频率

子主题



可以部分解释平凡霍尔效应

可以解释部分金属的常低温电导

电子与原子实的碰撞是不正确的，
电子在室温下的经典速度为

解释不了负的霍尔系数

解释不了所有金属的电导随温度的变化；也解释不了磁阻的产生，德鲁德模型给出的磁阻为零

完全解释不了电子比热

1、量子化是指采用的自由电子的薛定谔方程，能量由波矢描述

2、量子化条件另一方面指满足泡利不相容原理，每一个波矢k最多只能有自旋向上和向下两个电子

3、与处理晶格振动一样同样采用周期性边界条件，引入分立的波矢，故能量也是分立的

可以部分解释电子的比热：采用费米狄拉克分布加 近似为连续的积分的trick，最后转化为复杂的
费米积分，结论为电子比热正比于温度，比例系数正比于费米面的态密度

注意，他是没能解释电导和霍尔系数问题的

补充：在B-O近似下，晶体的由电子和原子核形成的多体系统转化为晶格上原子核的经典力学运动
和多电子的量子力学运动.原子核的运动近似为简谐振动，简谐振动可以看做许多格波的线性叠加，
格波的量子是声子；而多电子体系用薛定谔方程描述.

以两个原子为例来理解：它们之间会导致新的哈密顿量和更多的能量本征态（如成键态和反键态），这样就会产生新的能级

Bloch's Law：周期性势场中的电子的本征波函数可以是一种周期性调幅平面波，
即布洛赫波。（非谐周期函数）

证明1

证明2

有一个具体的例子：克勒尼希-彭尼模型

  观察布里渊器边界的电子（别管是如何从这个点起手的，问就是直觉，问就是劳厄条件的暗示），以一维为例：
      假定波矢为，显然满足劳厄条件，所以它会有一个内禀的反射波矢， 这里因为晶格会对其全反射（实际上晶体可以视为无数个周期单元，每个单元都进行一次散射，最终结果必然是全反射），反射后依然会反射，所以最终的结果是形成驻波。
      驻波有两种方式，分别是，它们对应如下两种分布情况：+驻波对应中心位置在离子实上，而-驻波中心位置在两个离子实之间，此外图中还有行波的位置分布。
      通过算符求期望的方式可以求等两种驻波的能量差：，而显然行波能量鉴于两
驻波能量之间。

结论：由此可见能隙的位置和大小，位置在布里渊区边界，大小为势场对应的傅里叶系数

(a)图是正离子晶体的周期势示意图，这个图像我应当牢记

very very important

推导（一维情况下）

第三种表述

完全等价：因为如果选择一个波矢k和原来的波矢相差某个倒格矢，我们得到的是同一组方程，
只是次序上有些不同，但解出的能谱完全一样

波矢不再与真实动量成正比（自由电子情况时只差一个），而是与晶格动量成正比
此外一个很重要的notion：晶格动量不是真正的动量，而是考虑了晶格势场后的动量

通过将布洛赫波函数代入薛定谔方程，可以发现我们求解能量本征值和本征函数只需要在一个
原胞内求解即可。（这是采用布洛赫定理的第一种数学表述来求解布洛赫波）

一个布洛赫波矢对应无数个能量

能量以及能量本证波函数关于布洛赫波矢有着倒格矢的平移周期性。

波函数到一级近似

能量到二级近似

能带图or色散图

费米面图

简单的规律，费米面出现在第几布里渊区，则费米能级就会穿过第几条能带。这样晶体就是金属，若费米能级不穿过能带，则所有能带要么全满要么全空，晶体判定为能带绝缘体。
这个定义是基于半经典模型对布洛赫电子动力学的描述（当然，也是经过实验的检验的)

在能带不交叠的情况下，1条能带能容下2N个电子，所以原胞含一个一价原子是半满的、原胞含一个二价单原子是全满的，原胞含两个一价原子时全满的；
两条能带间交叠（等能面同时穿过布里渊区边界（or布拉格平面））的话就比较麻烦。

对于复式晶胞（包含多个原子的晶胞，可以是元胞也可以不是），势场的傅里叶系数与几何结构因子成正比，故几何结构因子为0，则能隙不打开。
故若在布里渊区边界可能出现X射线衍射消光的情况，则也不存在能隙（这是在忽略了自旋轨道耦合的前提下）

例如hcp结构的第一布里渊区的上下两个正六边形平面

定义：以正格点为中心的局域函数，形如

数学性质



证明

思路：先构造万尼尔函数：比如将孤立原子的不同能级的电子的本征波函数的线性叠加作为万尼尔函数；
          再用将万尼尔函数带入布洛赫波第四种表述形式，构造（线性叠加）布洛赫波函数。

一个非简并情况的实例：

包含的孤立原子的电子数越多，计算结果越好

电子的波函数越是局域在离子实周围，重叠积分就越小，能带就越小；（能级能量越高，波函数空间范围越大）

紧束缚能级波函数也是行波，也有群速度

两个电子的波函数的重叠还表征了从一个晶格隧穿至另一个晶格的概率，从而有一条逻辑链：
间隙大——重叠小—（群速度低）—隧穿难——导电低——金属性弱

近些年来，紧束缚模型比近自由电子模型更有用，因为它更适合数值计算，还能超越能带理论

在均匀磁场中，电子实空间轨道形成的面积中的磁通量一定是量子磁通的半整数倍；

进一步，利用\可以推得另一个等价的量子化条件：
电子动量空间的轨道的面积满足 （注，这个面积符合规范不变性）

前提：玻尔-索末菲轨道量子化规则()

注意：在同一条能带中，不能同时计算电子电流和空穴电流

空穴在相空间中的演化完全与电子一样，必须界定清楚，这里甚至包括电荷为负

k空间中两个朗道能级之间的全部电子态集中、简并到一个朗道能级上，
称整体为朗道环

系统的磁矩实际上是“微分磁矩”，即磁场引起的总能量变化率


原因是随着磁场的变化，难道能级的简并度会改变，从而使得填满的
朗道能级完整地减少一个，数学上可以证明总能量会随着朗道能级完整填满而回到一个相同的值，
进一步数学上可以证明总能量对B的偏导有的周期性变化

费米面的与磁场垂直的每一个截面都对应一个面积，这些面积都可以具有自己的DHVA效应，但只有极值面积有着稳定而显著的DHVA效应。

这是因为这些对应极值面积的电子有着最高的速度（仅管每一个面积都对应相同的能量，但它们的势能不同，所以动能不同）或更低的速度，所以“煤油相位相消的问题”

霍尔效应

量子霍尔效应

反常量子霍尔效应

越宽（起伏程度越高）则有效质量越小，电子的非局域程度越高，组成能带的电子轨道拓展性越强；
注：若形状接近抛物线，则会称为sp带
反之亦然

若在带隙中看到一条较窄的能带，那么可能是杂质形成的，称为doping state

一般会画两幅图，分别对应majority spin和minority spin，他们分别表示自旋向上的电子和自旋向下的电子形成的能带结构

若费米能级与majority spin相交而与后者不相交，则说明体系具有明显的自旋极化现象，是铁磁体，这种铁磁体被称为准金属（half-metal

进一步地，如果费米能级与majority spin相交的能带主要由杂质能级构成，则可以依此为出发点讨论杂质的磁性特征

若某两个高对称点之间的能带被费米能级穿过，而另外两个对称点之间没有穿过，则材料体现出各向异性：在前者对应的方向呈现金属性，在后者呈现绝缘性。

这一点在做界面问题时，对衬底材料的选择很重要

比如若能态在某能量E处起伏很小，则E处的态密度会出现一个尖峰

如果相邻原子的LDOS在同一能量处出现了尖峰，则称之为杂化峰，它的强弱反映了相邻原子间的作用强弱

采用索末菲量子化金属理论+晶格的考虑，自由时间近似仍在；
有费米海、有E-k关系，但是没有计算能带

不能直接将Drude模型照搬过来，即不能将（每一个电子都服从的）牛顿方程（）改为波矢的变化()后再求群速度、再对整个K空间积分，尽管在自由电子气的情况下，这样做也能导出正确的结论，但理解为每一个电子都在外场的影响下做出了同样的贡献是不对的。
因为物理上就不允许费米海内部的电子和表面的电子有着一样的输运贡献，而且该模型过于简单，无法考虑扩散效应、也忽视了费米面的复杂性

正确的思想是，考虑玻尔兹曼分布函数，它的物理含义是处于量子态k、处在位置r的 浓度；这个分布函数可以被扩散、外场和散射改变；通过玻尔兹曼方程描述稳态的即：，即总的浓度的变化率在处处为0，态态为零

第一步、给出玻尔兹曼输运方程的显示表达式，并且在各种情景下简化和具体化它：

之后解出

第二步、用计算各种输运流
如：

1、在电输运的情境中，因为有“可以近似为δ函数”的存在，所以后续推导中如右所示：
这意味着电流的贡献来自于费米面上的电子。
这里还进一步给出的直流电导张量的表达式

2、基于1给出的电导公式，我们可以讨论对固体电导的影响因素