固体物理
2021-07-11 11:25:21 4 举报AI智能生成
固体物理基础
作者其他创作
大纲/内容
布拉伐格子(Bravais lattice) 即我们通称的格点，它要求①每个点都具有严格的平移周期性②且找不到比当前划分更小的周期单元。注：金刚石结构、石墨烯结构直接将原子抽离出来不是布拉伐格子
元胞or初基晶胞(primitive unit cell) ：只包含一个格点的周期单元，体积固定
惯用晶胞(conventional unit cell)：多个格点组成的周期单元，多为立方体型
晶胞(unit cell)：有一个或多个格点组成的周期单元
注：lattice with a basis我认为是“格子+基元”的意思，所以就是晶体
基元(basis)：元胞中的物理实在
基本定义和称谓3
正方、长方、有心长方、六角、一般
二维晶格有五种
特殊的有三种立方、六角
面心立方有12个最近邻，到顶角和到最近的面心距离相同
三维晶格有十四种
外框
晶格相关
晶面指数（密勒指数）：截距、倒数、化为互质整数，负的加hat晶向指数，相当于直角坐标系那样的简写，用方括号；在立方晶体中，采用直角晶轴，则相同指数的晶面和晶向垂直若是倒格子的晶向，则不需要直角晶轴的前提
，注意G要去该方向的最小的G
晶面相关
氯化铯结构（2，2）
简立方格子的
NaCl型结构（2，8）
金刚石型结构（2，8）
面心格子的
六角格子的
常见的晶体结构
晶体基础知识
布拉格定律：比光栅方程在垂直入射情况下多了个系数2
是倒易空间中的晶格，其中每一个格点都对应：实空间中的周期性物理量的函数的傅里叶展开式中一项的“波矢”也就是说每一个倒格点都对应实函数傅里叶展开式的一项
什么是倒格子？
承认了倒格点/子的物理意义之后，倒格矢就是连接倒格点之间的矢量
什么是倒格矢？
需要定义倒格基矢，一维时为，三维时为：
根据定义，倒格矢最重要的性质为：
此处切记，a1、a2、a3一定是正格子基矢，否则就会让周期边长，从而让倒格点变密集，但实际上那些地方是不存在傅里叶展开项的
定义法
此时基矢a1、a2、a3取惯用的立方晶胞的三边，求出来的倒格子是非常密集的。我们求出惯用晶胞内的几何结构因子，删去让几何结构因子=0的倒格矢对应的倒格点，这便是真正的倒格子。前提是选出的是比元胞大的惯用晶胞，而且也只能说是大部分情况下正确，我就碰到了反例：hcp结构里我们选择有两个原子的原胞的基矢去计算，算出来的倒格子在原点的正上方和正下方的倒格点的结构因子就为0，但显然不能删去，因为删去之后就不是布拉伐格子了。
合理性：几何结构因子表征的是某一个倒格点对应的真正物理量的强弱，比如？
惯用晶胞+几何结构因子法
怎么求倒格子？
严格来说不对，倒格子空间应该是倒格点所处的空间
倒格子空间是由倒格点构成的空间？对吗？
定义：任意两个倒格点之间的垂直平分面
布拉格平面
倒格子
写成更有利于计算
1、按照XRD衍射光束来理解：只有当由散射（弹性）方向决定的散射矢量时，那个方向上才会有衍射光束
以一维为例，只有的电子才会被反射；高维时，只有布里渊边界的电子才会被反射
2、按照电子波的晶格布拉格反射的角度来理解：只有某些特定的波矢的电子波才能发生布拉格反射，特定是指满足劳厄条件
背后的物理是什么呢？——背后的物理是相干叠加和相消，若是毫无周期性的电子排布，那么势必对于X射线的作用是散射，而一旦有了周期性的排布，虽然每个电子还是散射，但电子之间有了一个固定的距离从而引入固定的相位差，那么总体的光束就变成特定方向的增强，其他方向全部相消。
理解
将晶面间距与倒格矢的关系代入即可证明劳厄条件和布拉格定律等价
劳厄条件
做法：球心为入射X射线波矢k（起点和任意倒格点）的起点，半径为波矢的模长，所做的球与倒格子的交点即对应一个衍射峰（给定了反射线的方向、倒格矢的方向和大小）。
拓展光源频宽法
转晶法：与粉末法异曲同工
该方法舍弃了对倒格矢方向的判定，只测量倒格矢的大小。在该方法中，不再纠结晶体晶轴的取向，而只关心X射线的偏转角度（切记不是首尾相接），记为，每一个衍射峰会对应一个倒格矢，从而对应一个偏转角，公式为：
粉末法（德拜-谢勒法）
实验手段
使用非单色光可以获得球壳；转动晶体可以调入射方向；粉末X光衍射——虽然角入射可能会让很多的晶面都产生衍射，但是我们只检测正好也是角出射的光强，所以只对应一个特定的晶面
XRD——X射线衍射的实验操作Edwald球
布拉格衍射与倒格子
布里渊区定义为倒格子的WS原胞——所有的最近邻晶格矢量用垂直平分线截断，然后所有的垂直平分线所形成的的原胞
第n布里渊区定义为，穿过(n-1)个布拉格平面而不穿过第n个布拉格平面的k点构成的区域。注：任意一个布里渊区都可以作为晶体的元胞
倒格子晶格与布里渊区
表示该对应方向的衍射光的强度
散射振幅
表示单个原子对散射振幅的贡献
原子形状因子
表示一个晶胞内所有原子对散射振幅的贡献
几何结构因子
bcc晶格没有200、110、222等衍射峰，因为结构因子为0
一些结论
结构基元的傅里叶分析
第一章 晶格的结构
q的取值来自于周期性边界条件
子主题
只考虑临近的晶格的作用，猜格波解的形式，再代入就可得到格波矢的色散方程
只有第一布里渊区以内的格波波矢才是独立的格波波矢因为色散方程表明是以倒格矢为周期的周期函数
格波矢q趋于0时，为长波极限，波速为常数，格波矢q在布里渊区边界时，群速度为0，是驻波
一维单原子链的简谐振动
一样代入格波解
对应声学支，对应两个原子的质心的运动，这是将色散关系待会久期方程看到两个原子的振幅相同得出的结论
一维双原子链的简谐振动
又称为波恩－冯卡门边界条件，它是人为提出的，来源于两点考虑1、让电子波or格波限制于晶格之内2、而又不会影响物理性质的计算
为了方便理解这种人为提出的含义，我们也可以设定一个边界为0的边界条件，但这样的话就会自然的形成驻波，我们便不方便讨论其中的输运
周期性边界条件
将每一个晶格振动模式的哈密顿量都转化为一个谐振子的形式，从而可以通过薛定谔方程确定晶格振动能量的量子化，将每一个能量量子都定义为一个声子
声子的表征有两点，1、它是哪只格波的声子，2、它的格波矢等于多少
能量量子化
格波波矢的量子化
格波振动
我们采用玻色-爱因斯坦统计，给出某温度下声子具有的总能量，它对温度偏导自然就是热容
假定色散关系为类声波，q的累加变为在第一布里渊区内积分。并考虑到T很小的时候，很大的q 对积分的贡献可忽略，所以积分上限取为无穷。
结论为
在极低温时
2、各向同性近似，布里渊区视为德拜球
（我认为 三只声学支 与 在布里渊区中沿不同方向 描述的是同一个事情）
德拜近似
德拜球的半径通过体积等于布里渊区的体积求得
认为实际温度高于德拜温度时，所有的声子模式才被激发
德拜频率与德拜温度都对应最高声子频率
低温下reduce到 律
中间温度
高温下
德拜比热公式（单原子晶格）
假定所有光学支格波在所有格波矢下的频率都相同
爱因斯坦近似（多原子晶格）
声子的比热
N过程无法建立热梯度，因为总动量不变U过程（倒逆散射过程）才能建立热梯度，因为总动量减小了，热导不是无穷大
声子的导热和热梯度的建立
第二章 晶格振动
基本思想：导电是因为电子的定向移动；电子的运动感受不到晶格周期势场的影响；将原子核包裹住的电子气体
具体而言：1、电子-电子之间以及电子-离子之间没有电磁相互作用；2、电子可以和离子实发生经典碰撞，两次碰撞之间电子遵循牛顿方程，两次碰撞的平均间隔时间称为平均自由时间；3、碰撞的结果是电子达到局域热平衡，即获得一个平均速度，方向是各向同性的。
霍尔系数定义为单位横向电流和单位垂直磁场下产生的纵向电场，只与载流子种类和浓度有关
可以部分解释平凡霍尔效应
电导率只与载流子浓度和弛豫时间有关
可以解释部分金属的常低温电导
成果
电子与原子实的碰撞是不正确的，电子在室温下的经典速度为
解释不了负的霍尔系数
解释不了所有金属的电导随温度的变化；也解释不了磁阻的产生，德鲁德模型给出的磁阻为零
完全解释不了电子比热
缺陷
德鲁德经典金属理论（纯经典）
基本思想：德鲁德模型+量子化+费米-狄拉克统计
1、量子化是指采用的自由电子的薛定谔方程，能量由波矢描述
2、量子化条件另一方面指满足泡利不相容原理，每一个波矢k最多只能有自旋向上和向下两个电子
3、与处理晶格振动一样同样采用周期性边界条件，引入分立的波矢，故能量也是分立的
具体而言：
可以部分解释电子的比热：采用费米狄拉克分布加 近似为连续的积分的trick，最后转化为复杂的费米积分，结论为电子比热正比于温度，比例系数正比于费米面的态密度
注意，他是没能解释电导和霍尔系数问题的
索末菲量子化金属理论（半经典半量子）
是一个唯象理论（晶格的物理概念没有参与到模型的建立之中）
1、大于这个频率的电磁波将直接穿透，毫无疑问必不可能是金属的光泽
2、小于这个频率的电磁波将发生镜面反射，也不是金属光泽
3、只有它吸收了，根据基尔霍夫辐射定律，对于某一频率的电磁波，在热平衡下，吸收系数与辐射系数是对等的，并且这种辐射时各向同性的，与我们认为的“金属光泽”的漫反射是一致的。
关于金属光泽：金属光泽来源于它吸收什么频率的电磁波，理由如右
第三章 金属的自由电子理论（自由电子气模型）
补充：在B-O近似下，晶体的由电子和原子核形成的多体系统转化为晶格上原子核的经典力学运动和多电子的量子力学运动.原子核的运动近似为简谐振动，简谐振动可以看做许多格波的线性叠加，格波的量子是声子；而多电子体系用薛定谔方程描述.
1、奥本海默绝热近似，认为离子不动，所以电子和声子无相互作用
2、平均场近似，认为电子收到的离子和其他电子的作用力可以视为一个平均势场
3、周期场近似，认为平均场是严格周期性的，
布洛赫理论的基本假设
以两个原子为例来理解：它们之间会导致新的哈密顿量和更多的能量本征态（如成键态和反键态），这样就会产生新的能级
多个电子的共有化运动会引起的能级劈裂（就像《半导体物理》中唯象的描述一样）
能带与能级
表述①：，其中：周期性的调幅
表述②:
关键理解，尽管这里只强调了k这个量子数，但实际上，要标记量子数n才能成为真正的能量本征态，也就是说上述不是任意的，而是具体场景中用n标记的、特定的
Bloch's Law：周期性势场中的电子的本征波函数可以是一种周期性调幅平面波，即布洛赫波。（非谐周期函数）
平移算符与哈密顿算符对易
证明本征值为一个相因子
相因子一定是格波矢的线性函数
证明1
同时考虑周期性边界条件和平移对称性即可轻易证明
证明2
这是一个利用布洛赫定理和量子力学定态问题的基本求解方法给出能带的实例，很有启发性，见 Kittel 121~122页
他给出了一个具体布洛赫本征函数的写法示例：span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
有一个具体的例子：克勒尼希-彭尼模型
布洛赫定理以及前两种数学表述&两种证明
这里晶格全反射的原因见劳厄条件的理解
这里会有一个疑问，为什么不满足劳厄条件的电子波就不会在边界上反射了呢？这是因为我们采用了周期性边界条件，所以穿过边界等价于从另一侧进入，仍然是行波
第二个疑问，为什么会形成两种驻波呢？更本质一些的问法，为什么有的有半波损，有的没有半波损呢？
观察布里渊器边界的电子（别管是如何从这个点起手的，问就是直觉，问就是劳厄条件的暗示），以一维为例： 假定波矢为，显然满足劳厄条件，所以它会有一个内禀的反射波矢， 这里因为晶格会对其全反射（实际上晶体可以视为无数个周期单元，每个单元都进行一次散射，最终结果必然是全反射），反射后依然会反射，所以最终的结果是形成驻波。 驻波有两种方式，分别是，它们对应如下两种分布情况：+驻波对应中心位置在离子实上，而-驻波中心位置在两个离子实之间，此外图中还有行波的位置分布。 通过算符求期望的方式可以求等两种驻波的能量差：，而显然行波能量鉴于两驻波能量之间。
结论：由此可见能隙的位置和大小，位置在布里渊区边界，大小为势场对应的傅里叶系数
(a)图是正离子晶体的周期势示意图，这个图像我应当牢记
能隙的物理图像
very very important
注：①这个展开式没有任何物理假定，仅仅是因为它是有限长度的，所以是Fourier有限项级数展开而非Fourier变化；②数学的有限项级数展开给出k的取值要求，（取无穷个整数），物理上对应大的、虚的（因为是在数学上的延拓的）周期
1、任何晶体（长度为L）中的波函数可以写为
注：这是第一个等号是考虑到势场是晶格周期的，所以G的取值要求：（同样i取无穷个整数），对应小的、真的周期
所以k与G的取值相比，k的取值更多，更密，凡是G能取的，k均能取；而k可以对应更大的波长
2、考虑到势能0} U_{G} \\cos G x\"
(最关键的理解：只要理解了这里就能理解能带论，就能理解k的周期性G，就能理解为什么有k和n两个量子数)
①k的个数决定了方程组中方程的个数，G的个数决定了方程的宽度；实际上都是无穷与无穷
②我们的目的是解出k取任何值时的系数C，即将离散函数C(k)的完全表达式求出，然后就可以将波函数给出
③最重要的观察：系数C(k)只与C(k-G)有关，而与等无关！！这意味着上述的k的个数个方程组实际上可以分成N组（N为晶体中晶格的个数，每一组含有G的个数个方程），即：其中g为G的取得最小单位span class=\"equation-text\" data-index=\"1\" data-equation=\
3、上述两点同时代入薛定谔定态方程，化简（过程见下）获得中心方程：
中心方程的求解过程
4、在3、③的基础上，布洛赫波函数完全可以表示成
推导（一维情况下）
第三种表述
布洛赫定理的第三种证明/推导以及第三种表述（最具有物理）
晶格的周期性势场自然引出布洛赫定理
我们知道，求解体系的本征能量实际上就是求解薛定谔方程，利用边界连接条件给出波函数系数之间的关系，之后通过久期方程使得这些系数存在非零解，求解久期方程的就是求解能量本征值
所以在上述讨论的3、③的基础上，我们们得到了一个方阵，该方阵的行列式等于0就是能量本征值的解，形如上式。并且，每一个本征能量代回方程组可以得到一组系数，这能算出该本征能量对应的本征波函数
所以在上述讨论中，我们知道了分成N组方程，实际上就是让布里渊区中的所有N个取值的k成为了一个量子数；而每一组方程的久期方程可以给出G的个数个（实际上就是无穷个）本征能量，这里再用n来标记，所以n也是一个量子数。
讨论布洛赫电子的能量本征值，即能谱关系/色散关系（紧接着划分成N个方程组后讨论）
完全等价：因为如果选择一个波矢k和原来的波矢相差某个倒格矢，我们得到的是同一组方程，只是次序上有些不同，但解出的能谱完全一样
注意，真实动量考虑晶格势场的影响后诞生晶格动量，之后在考虑磁场的影响后诞生电磁动量（or我所谓的“正则动量”）
波矢不再与真实动量成正比（自由电子情况时只差一个），而是与晶格动量成正比此外一个很重要的notion：晶格动量不是真正的动量，而是考虑了晶格势场后的动量
布洛赫波的波矢特性
通过将布洛赫波函数代入薛定谔方程，可以发现我们求解能量本征值和本征函数只需要在一个原胞内求解即可。（这是采用布洛赫定理的第一种数学表述来求解布洛赫波）
一个布洛赫波矢对应无数个能量
能量以及能量本证波函数关于布洛赫波矢有着倒格矢的平移周期性。
能谱特征
总结布洛赫波的特征
布洛赫理论 引入能带&能隙
做法是将周期场视为对自由电子波函数微扰，适用条件是s或p电子
关键在于势能项是周期函数，可以做傅里叶展开，展开项与倒格矢一一对应
波函数到一级近似
要理解，对于一般的情况下，能量修正的求和项（无论G等于任何值）都是一个正常的值；只有当k位于布里渊区边界时，（不一定是第一布里渊区，）这时总有一个G可以让分母趋于0，于是能量修正不可忽略
于是接着用简并微扰处理布里渊区边界，近似二重简并
注意：若某倒格矢对应的结构因子为0，那么这个倒格矢G对应的布里渊区边界or布拉格平面不会打开与外场U同阶的带隙（比如hco结构的倒格子第一布里渊区的上下正六边形表面）；但是，还可以有别的手段打开简并，比如自旋轨道耦合（SOC）
解简并后自然打开能隙
能量到二级近似
能带在此
常规做法：微扰论
注：布拉格平面即布里渊区边界
在靠近布拉格平面时，能量的梯度沿着布拉格平面，意味着在穿过平面的方向上色散图斜率为零
一张经典的能带图，画了三种情况 Kittel P156
Kittel P127
同一个方向上也能画出不同的能带，它们实质上是不同的G点折回了点后，再沿着原来的方向的色散关系，如：
能带图or色散图
定义：费米面是K空间中能量为恒定值（费米能量）的曲面，注意这个定义与温度无关。在0K下，费米面将未被填充的k点和已被填充的k点分隔开
定性来说，真实费米面可以由费米球在布拉格平面上让费米球向垂直布拉格面的趋势下变化得到，并且再将边角钝化一些
注意：费米面出现在第n布里渊区，就与第n条能带相交
定义概念“第n级（簇）费米面”：是指在repeated－zone中，处于第n布里渊区中的费米面，可以将它们平移倒格矢后，全部集中到reduced－zone里来
费米面图
两个重要的图像
简单的规律，费米面出现在第几布里渊区，则费米能级就会穿过第几条能带。这样晶体就是金属，若费米能级不穿过能带，则所有能带要么全满要么全空，晶体判定为能带绝缘体。这个定义是基于半经典模型对布洛赫电子动力学的描述（当然，也是经过实验的检验的)
在能带不交叠的情况下，1条能带能容下2N个电子，所以原胞含一个一价原子是半满的、原胞含一个二价单原子是全满的，原胞含两个一价原子时全满的；两条能带间交叠（等能面同时穿过布里渊区边界（or布拉格平面））的话就比较麻烦。
能带理论对金属与绝缘体的解释
对于复式晶胞（包含多个原子的晶胞，可以是元胞也可以不是），势场的傅里叶系数与几何结构因子成正比，故几何结构因子为0，则能隙不打开。故若在布里渊区边界可能出现X射线衍射消光的情况，则也不存在能隙（这是在忽略了自旋轨道耦合的前提下）
例如hcp结构的第一布里渊区的上下两个正六边形平面
几何结构因子对能隙的影响
弱周期场模型（近自由电子气）
紧束缚近似的基本假设：邻原子的电子波函数有交叠，但交叠小适用条件是：内层电子、局域性较强的电子，如过渡金属未满的3d电子以及绝缘体
理解：1、以R为中心：将函数平移了一个矢量2、局域函数是指：不显著为0的区域远小于
定义：以正格点为中心的局域函数，形如
1、它是以正格点为中心的函数
3、完备性，可以归一为δ函数
综上，周期性势场中单电子波函数可以用一组正交、完备的定域函数展开
数学性质
瓦尼尔函数
任何Bloch波函数都可以写成以万尼尔函数作为系数的平面波展开的形式，注意是展开系数是r的函数，平面波也是k作为自变量
1、见Ashcroft P187
2、我自己通过Bloch Law的表述1以及布洛赫波是G的周期函数可以证明
证明
布洛赫定理的第四种表述形式
思路：先构造万尼尔函数：比如将孤立原子的不同能级的电子的本征波函数的线性叠加作为万尼尔函数； 再用将万尼尔函数带入布洛赫波第四种表述形式，构造（线性叠加）布洛赫波函数。
直接取孤立原子中电子的本征波函数作为万尼尔函数，直接写出紧束缚近似情况下的布洛赫波函数：
得到能带的宽度：12J，J称为交叠积分或hoping parameter
一个非简并情况的实例：
具体处理
包含的孤立原子的电子数越多，计算结果越好
电子的波函数越是局域在离子实周围，重叠积分就越小，能带就越小；（能级能量越高，波函数空间范围越大）
紧束缚能级波函数也是行波，也有群速度
两个电子的波函数的重叠还表征了从一个晶格隧穿至另一个晶格的概率，从而有一条逻辑链：间隙大——重叠小—（群速度低）—隧穿难——导电低——金属性弱
近些年来，紧束缚模型比近自由电子模型更有用，因为它更适合数值计算，还能超越能带理论
一些remarks
紧束缚模型（强周期性势场情况）
能带的两种物理图像（暨计算）
一二族金属是一类；贵金属是一类；3d过渡金属如Fe是一类；四族绝缘体是一类
一般来说，晶格常数越小，能隙越小，约接近金属，但对于四族元素来说，有一段反常的区域，这是因为存在sp3杂化
能带的测量方法：x射线康普顿散射（X射线弹性散射）、非弹性X光散射（IXS）、磁场下的量子振荡；！角分辨光电子能谱（ARPES）可以直接测量！
“复杂”定义为费米面穿过的能带是由多条“子能带”形成的，对应的物理图像是多种电子参与形成了这条能带；实验着希望费米面处的能带越简单越好，比如Graphene在Dirac点附近的色散
能费米面处的能带复杂情况
能带的实验测量
密度泛函理论DFT
第四章 能带理论（充分考虑晶格（周期性）的量子模型，研究的对象仍然是电子）
注意，这里和《半导体物理》的逻辑有些许不同
电子有效质量可以普适的定义为：
电子有效质量是跟色散关系有关的，跟波矢也有关，
石墨烯的电子称为无质量的狄拉克费米子，在狄拉克点质量严格为零，意味着从价带激发一个电子到导带，不需要克服任何能隙
能带中电子的有效质量
其余的见《半导体物理》
简单来说，是通过叠层形的半导体形成新的“大晶格”，从而引入额外的大周期势场，这将引入新的、更密的倒格矢，新的布里渊区，从而打开新的、更小的能隙
半导体超晶格
第五章 半导体
1、描述的对象不在是一个具有完全确定空间位置和完全确定位置动量的质点，而是一个空间位置r与波矢k都有一定分布的波包
2、动力学方程是对这个波包的中心位置r和中心波矢k演化的描述，i.e.6个一阶ODE
3、不允许跨越能带
基本假定
方程
因为波包的扩散范围一般大于1个元胞的尺度，所以电磁场应当频率不太高，且振幅不能太大
适用范围
在均匀磁场中，电子实空间轨道形成的面积中的磁通量一定是量子磁通的半整数倍；进一步，利用\\可以推得另一个等价的量子化条件：电子动量空间的轨道的面积满足 （注，这个面积符合规范不变性）
前提：玻尔-索末菲轨道量子化规则(span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\
磁场中电子轨道量子化见基泰尔 P170
进一步的推论
解释满带能带不导电
注意：在同一条能带中，不能同时计算电子电流和空穴电流
空穴在相空间中的演化完全与电子一样，必须界定清楚，这里甚至包括电荷为负
等效出空穴，提出有效质量，解释负的电导
半经典动力学理论
k空间中两个朗道能级之间的全部电子态集中、简并到一个朗道能级上，称整体为朗道环
朗道环
朗道能级
定义：金属磁矩随静磁场强度变化而发生的振荡现象
条件：低温、强磁场；（原因：分别对应我们不想被电子的碰撞和热涨落导致的的分布情况的振荡被掩盖掉）
系统的磁矩实际上是“微分磁矩”，即磁场引起的总能量变化率
原因是随着磁场的变化，难道能级的简并度会改变，从而使得填满的朗道能级完整地减少一个，数学上可以证明总能量会随着朗道能级完整填满而回到一个相同的值，进一步数学上可以证明总能量对B的偏导有的周期性变化
解释
注：该解释中的半经典理解部分可以完全用量子理论的朗道能级来替代
费米面的与磁场垂直的每一个截面都对应一个面积，这些面积都可以具有自己的DHVA效应，但只有极值面积有着稳定而显著的DHVA效应。这是因为这些对应极值面积的电子有着最高的速度（仅管每一个面积都对应相同的能量，但它们的势能不同，所以动能不同）或更低的速度，所以“煤油相位相消的问题”
DHVA效应和极值轨道
de-Hass Von Alphen效应
1、横向电阻不变，纵向电阻随磁场线性增大
2、出现纵向电压
现象
霍尔效应
条件：低温、强磁场
横向电阻不再保持一个常数，而是上下波动横跳，有时变成零
纵向电阻不再随磁场线性变化，而是出现一些平台
形象的现象：中间的电子打旋，边界的电子以半圆形的运动轨迹形成一条导电通道
量子霍尔效应
条件：特殊材料（拓扑绝缘体）、掺杂磁性物质
现象：不需外加磁场就能获得中间绝缘、边缘导电的超低损耗的导电性能
反常量子霍尔效应
各种霍尔效应的唯象解释
用MOS器件做的实验，加栅极电压，发现横向电压会出现量子化平台，并且当平台出现的时候，纵向电压会降为零，意味着纵向电阻变为零
电导率和电阻率都是一个二维张量，二者互逆
在均匀磁场中
拓扑不变量or拓扑序是闭合曲面上任意一点的高斯曲率对整个曲面积分
我们认为完美晶格在T=0时没有电阻，因为在完全周期性势场中布洛赫波没有衰减；所以电阻来自于晶格的缺陷以及晶格的热运动。
我们认为电阻与电子与声子碰撞的概率以及散射角有关。在高温下（高于德拜频率），认为散射角不变，只与碰撞概率有关，所以与温度成正比在低温下，与T^5成正比
T等于0时，仍然存在电阻率，来源于电子与杂质的散射
剩余电阻现象
电阻
电阻随磁场发生变化
正常情况下，电阻率的改变率正比于磁感应强度的平方，小磁场时，会随着磁感应强度增大而减小
弱局域化导致负磁阻
磁阻现象
第六章 外场中的布洛赫电子布洛赫电子即能带中的电子（maybe研究外场对固体的调控）
我初步认为库伦定律和安培定律并非仅仅在真空中适用，它们在任何情况下都可以算出电磁场的“原电场和原磁感应强度”，之后再和极化强度以及磁化强度一起列方程，可求出实际的电场和磁感应强度，这等价于将epsilon和mu换一个常数
关于核心定理的适用范围
这里自然而然引出一个实验：不带电的空腔导体内放入电荷，将外表面接地，之后先去除接地，再取出内部电荷，此时空腔导体将带上与最初放入的电荷同等异号的电荷
接地意味着电势为零，那么接地的表面就不可能带净电荷，否则总会有电场线从无穷远（零电势点）指来或指向它我认为不对！接地仅仅只是电势为零，净电荷是否为零要看是否还有别的电荷在此处产生电势，若有，则为了抵消这个电势，势必还是会产生电荷。
关于接地
关于电荷产生电场的瞬时性问题以及A点的电荷在B点产生的电场时候会受A到B之间的电磁状况的影响（比如经过了导体和绝缘体）
电场的形成一定是一个系统中所有组成部分共同作用的结果，不带电的导体当然会改变电场
电偶极子在电场中的能量以及力矩，这里的电场包不包括它本身产生的电场呢？——不包括，电动力学中做了充分的说明，但要充分的认识到，这里的能量和力矩都是电偶极子视为“内部电荷”与“外部电场”之间的相互作用，能量部分是不包括自能的。而且点电荷是无法定义自能的。但是，这里的电场严格来说并不是电偶极子不存在时的电场，而是在电偶极子的影响下（但这个影响常常是被忽略的）外场的电荷重新分布后的电场
静电场
稳恒电场
恒定磁场/静磁场
电磁场的分类
我认为是。书上是这么暗示的：“在实验中无法实现一个孤立的恒定电流源，只能间接地从闭合载流回路中倒推出来”
电流一定得是回路吗
我认为保持不变的是电位移矢量+磁场强度；但产生物理效应的是电场强度和磁感应强度，因为洛伦兹力
综合题目，电磁场的本源是电场+磁感应强度还是电位移矢量+磁场强度？
一个电荷放入空间中，周围的电场是瞬间产生的吗？它会不会引发辐射？辐射的根源是什么？
什么是约束力
17、电磁场的哈密顿函数是什么样子的？
微分散射截面就是θ、φ方向的截面，它没有“微分”的含义而总截面是对4π立体角积分的截面，是粒子被靶核散射的总的截面
微分散射截面与总截面
索末菲模型就考虑了
啥时候算态密度要考虑自旋来着？
既可以指波矢-圆频率曲线，也可以指波矢-能量曲线，还可以描述波速（相速度与群速度）随波矢的变化
色散曲线
历来的疑难问题(六)
布洛赫波函数以及能带图描述的是电子的能量和状态而前面格波色散图描述的晶格振动和格波的能量
最重要的几个式子
重要性
越宽（起伏程度越高）则有效质量越小，电子的非局域程度越高，组成能带的电子轨道拓展性越强；注：若形状接近抛物线，则会称为sp带反之亦然
能带的宽窄或起伏程度
若在带隙中看到一条较窄的能带，那么可能是杂质形成的，称为doping state
辨识掺杂半导体
一般会画两幅图，分别对应majority spin和minority spin，他们分别表示自旋向上的电子和自旋向下的电子形成的能带结构
若费米能级与majority spin相交而与后者不相交，则说明体系具有明显的自旋极化现象，是铁磁体，这种铁磁体被称为准金属（half-metal
进一步地，如果费米能级与majority spin相交的能带主要由杂质能级构成，则可以依此为出发点讨论杂质的磁性特征
牵涉自旋极化的能带
若某两个高对称点之间的能带被费米能级穿过，而另外两个对称点之间没有穿过，则材料体现出各向异性：在前者对应的方向呈现金属性，在后者呈现绝缘性。
这一点在做界面问题时，对衬底材料的选择很重要
费米能级与高对称点之间的关系
关注的点
色散图/能带图（E-k关系)
表现了固体体系中能量的分配方式，而接下来的逻辑链条是：能量分配方式→配分函数→体系的熵＆自由能→体系的状态，即态密度+统计力学=热力学量+宏观性质
比如若能态在某能量E处起伏很小，则E处的态密度会出现一个尖峰
态密度与能带图关系密切，因为计算公式里有一部分优势能带图的梯度
态密度图与能带图一一对应，且因为更直观，所以用的更多
如果相邻原子的LDOS在同一能量处出现了尖峰，则称之为杂化峰，它的强弱反映了相邻原子间的作用强弱
杂化峰（hybridized peak）
态密度的计算公式见Ashcroft的书，常常要用参数法进行球坐标系积分
PDOS意为分波态密度LDOS意为局域态密度
其他
态密度图（DOS图）
声子谱
电荷密度图（charge density）
固体物理最重要的三种图
输运现象 是一种 粒子或物理量 从一个空间位置 移动到 另一个空间位置的 物理机制
研究的对象处于 非平衡的稳态 non-equilibrium steady state；研究对象多为理想气体、流体（这里不谈）和凝聚态物体
通过一些输运定律来描述输运现象，这些定律都表述为： 某种流=一个系数（内在）×驱动“力”（外在）
对于凝聚态物理，输运现象的更具体的表述：外在驱动力使得固体处于非平衡状态，产生一个与电子和声子有关的 稳定的流
basic notions
包括电子-电子散射、电子-声子散射、电子-杂质散射和电子-晶格缺陷散射
这里的解释都是半经典模型，即不需要布洛赫波，采用自由时间近似
电阻的来源是散射
电输运现象
(见之前的直流电导)
Drude模型又称为自由电子气模型
Drude 模型有时能够推得正确的结果
采用索末菲量子化金属理论+晶格的考虑，自由时间近似仍在；有费米海、有E-k关系，但是没有计算能带
不能直接将Drude模型照搬过来，即不能将（每一个电子都服从的）牛顿方程（）改为波矢的变化()后再求群速度、再对整个K空间积分，尽管在自由电子气的情况下，这样做也能导出正确的结论，但理解为每一个电子都在外场的影响下做出了同样的贡献是不对的。因为物理上就不允许费米海内部的电子和表面的电子有着一样的输运贡献，而且该模型过于简单，无法考虑扩散效应、也忽视了费米面的复杂性
由刘维尔定理可以将前两部分给出
而采用自由时间可以将第三项给出
之后可以推导出左下式，式中span class=\"equation-text\" contenteditable=\"false\" data-index=\"0\" data-equation=\"g_{\\mathrm{k}}=f_{\\mathrm{k}}-f_{\\mathrm{k}}^{0}\
正确的思想是，考虑玻尔兹曼分布函数，它的物理含义是处于量子态k、处在位置r的 浓度；这个分布函数可以被扩散、外场和散射改变；通过玻尔兹曼方程描述稳态的即：，即总的浓度的变化率在处处为0，态态为零
Critical Notion
如在只加电场的情景下，span class=\"equation-text\" data-index=\"0\" data-equation=\
应当视为 ，之后它对T、k和μ的偏导都可以变为对的偏导；基于这个看法，可以近似为δ函数，便于后续求解
第一步、给出玻尔兹曼输运方程的显示表达式，并且在各种情景下简化和具体化它：之后解出
细节：这里的是载流子对应波包的群速度，即
第二步、用计算各种输运流如：
操作步骤
→
1、在电输运的情境中，因为有“可以近似为δ函数”的存在，所以后续推导中如右所示：这意味着电流的贡献来自于费米面上的电子。这里还进一步给出的直流电导张量的表达式
①自由时间越长，电导率越大
②费米能量与能带相交才有费米面，若与多条能带相交，形成多个子费米面（这里是简约布里渊区的情况，若不是简约画法，则应该是一个整体的费米面，可能有些缺陷），则应对所有子费米面进行积分；所以照此理解，若能带均满带或空带，则不存在费米面，则电流为0；
③v_k是E对k的微分，即能带的斜率/梯度，由此可见
2、基于1给出的电导公式，我们可以讨论对固体电导的影响因素
一些认知和推论
玻尔兹曼输运方程才是准确且普适的物理图像
定量描述输运现象or 推导 输运定律中的系数
第七章 固体中的输运现象
无序运动可能使扩散消失，导致局域化，这是与数学中的随机过程理论相违背的，因为在数学上，无序至多只是会影响扩散系数。量子相干性指的是体系的大小小于它的量子相干长度，出现的量子效应，这个在计算能带时完全没被考虑
固体物理的范式
固体物理
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