线性代数学习总结
2021-10-18 16:14:05 55 举报AI智能生成
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作者其他创作
大纲/内容
行列式
范德蒙行列式
若行列式按列排列,则从一次项的最后一个作差后相乘
拉普拉斯公式
如果行列式某行(列)元素都写成两数之和，则该行列式可以写成两个行列
式之和
式之和
矩阵
基本概念
同型矩阵：行、列数相等的矩阵
逆矩阵：AA^(-1)=E
(A是方阵)
(A是方阵)
性质
分块矩阵
分块矩阵求逆
与D同行左除(乘逆)，与D同列右除;0在副对角线，分块方式不变;0在主对角线，分块方式对调
矩阵的秩
矩阵的最高阶非零子式的阶数
秩越乘越小，越拼越大，分开加最大
伴随矩阵的秩
分块矩阵的秩=所有的子矩阵的秩相加
满秩矩阵等价命题
R(AB)=R(B),
若B行满秩,R(AB)=R(A)
矩阵的秩的性质
伴随矩阵
2阶矩阵求伴随：主对角线交换，副对角线变号
初等矩阵
初等变换
定义
结论
向量
向量的运算
内积
计算
性质
向量正交：内积=0
当且仅当一个向量为零向量时,
它的内积为零
它的内积为零
向量组的等价
若向量组A中的每一个向量都能由向量组B线性表示,反之也是,则称这2个向量组等价
向量组的线性表示
向量组的秩可以看作向量组中"有效"向量的个数
向量组线性表示的等价命题
向量不能由向量组线性表示
向量组用向量组线性表示
向量组的线性相关与线性无关
在一个向量组中若有一个向量(此向量的系数不为0)能被其余向量线性表示,则这个向量是"多余"的,这个向量组是线性相关的
若一个向量组是线性无关的,则这个向量组中的每一个向量都是有用的,其中任何一个向量都不能由其余向量线性表示
单个0向量线性相关,单个非0向量线性无关
含有0向量的向量组必线性相关
2个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例
向量组线性相关/无关的等价命题
向量组线性相关
向量组不满秩(行列式 = 0)
向量组线性无关
向量组满秩(行列式 != 0)
向量组中的每一个向量都不能由其余向量线性表示
推论
n个n维向量线性相关的充要条件是行列式=0
n+1个n维向量一定线性相关
重要定理和结论1
向量组一部分线性相关,则整体线性相关;向量组整体线性无关,则一部分线性无关
若一个向量组线性无关,添加一个向量(多余的)后线性相关,则这个新加入的向量可以由原向量组表示，且表示方法唯一
线性相关
极大线性无关组
将向量浓缩到没有"多余",且缺一不可
向量组的极大无关组可能不唯一,但所包含的向量个数一定相等
若向量组本身线性无关,则其最大无关组是其自身
向量组中任选r个无关向量即为线性无关组
向量组的秩
向量组的极大无关组中含有的向量的个数称为向量组的秩
重要定理和结论2
向量组与自己的极大无关组等价
向量组的任意2个极大无关组等价
等价向量组的极大无关组等价
向量空间
基:向量空间V中的一个向量组线性无关,且V中的每个向量都能有该向量组线性表示,则称它为向量空间的一个基
维数:向量空间的基所含向量个数r为该空间的维数
过渡矩阵
过渡矩阵是基与基之间的一个可逆线性变换，在一个空间V下可能存在不同的基。假设有2组基分别为A,B。由基A到基B的过渡矩阵P被定义为P=Mat_A(B)。对于这个矩阵，有关系B=AP
坐标变换公式
称其为向量在不同基下的坐标变换公式
非齐次线性方程组解的性质
也是Ax=b的解
非齐次方程组求通解
齐次通解+非齐次特解
求特解,将自由未知量分别赋0,然后将常数列顺抄即可
线性方程组
线性方程组解的判定
非齐次方程组解的判定
解的性质
齐次方程组解的判定
解的性质
齐次线性方程组的基础解系(非齐次无基础解系)
Ax=0的基础解系含有n-r(A)个线性无关的解向量
Ax=0的任何n-r(A)个线性无关的解向量都可以构成基础解系(基础解系不唯一)
验证向量组是否为基础解系
是否为方程的解
是否线性无关
是否为n-r(A)个
线性方程组的基础解系
1.将行列式化为行最简型
2.1写出同解方程
2.2 将每个自由未知量分别赋1,另外的自由未知量赋0，
其余的约束未知量在赋1的未知量所在的列的元素"反号顺抄"
其余的约束未知量在赋1的未知量所在的列的元素"反号顺抄"
求非齐次方程组的特解
将所有的自由未知量全取0，
剩下的未知量将常数列顺抄即可
剩下的未知量将常数列顺抄即可
矩阵方程
特征值与特征向量
定义
特征多项式和特征方程
一个结论
n阶方阵A,若r(A)=1(各行/列成比例),则A的特征值λ1=tr(A),λ2~λn=0
特征值和特征向量的有关性质
相似矩阵
定义
性质
4相似
4必要
相似对角化
矩阵相似对角化的充要条件
矩阵相似对角化的充分条件
正交矩阵&实对称矩阵
实对称矩阵
实对称矩阵的特性
正交矩阵
性质
施密特正交化
替代方法
实对称矩阵的正交相似对角化
1.求A的所有特征值和对应的特征向量
2.将属于同一特征值的特征向量正交化,再将所有特征向量单位化
3.写出Q和Λ(Q是P的列向量的正交单位化)
二次型
定义
二次型的矩阵表示
正交变换法化
二次型为标准型
二次型为标准型
可逆线性变换
重要定理
惯性定理&规范型
惯性指数
惯性定理
推论
二次型的规范形
合同
关于合同的命题
正定
正定二次型
二次型f(实对称矩阵A正定)
的充要条件
的充要条件
顺序主子式
是二次型正定
的充要条件
是二次型正定
的充要条件
二次型f(实对称矩阵A正定)的必要条件
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