高等数学 （强化阶段）
2021-08-14 19:06:06 172 举报AI智能生成
高等数学强化阶段是学习高等数学的关键阶段，主要目的是通过深入学习和大量练习，使学生掌握高等数学的基本概念、基本原理和基本方法，提高学生的数学素养和解决实际问题的能力。在这个阶段，学生需要对高等数学的各个分支进行系统的学习和巩固，如微积分、线性代数、概率论与数理统计等。同时，学生还需要通过大量的习题和实际应用案例来检验自己的学习效果，不断总结经验，提高解题技巧。此外，教师在这个阶段要注重培养学生的自主学习能力和创新能力，鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问题和解决问题。总之，高等数学强化阶段是学生数学能力提升的关键时期，需要学生和教师共同努力，才能取得理想的学习成果。
作者其他创作
大纲/内容
第 4 章：不定积分（工具）
知识体系
概念
原函数和不定积分
连续函数一定有原函数
性质
不定积分的加法和数量积
函数的奇偶性和其导数，原函数的奇偶性
连续函数一定有原函数，反之不对
方法体系 & 工具
常见的不定积分的基本公式
积分法
第一类换元法
把复杂的表达式变成一个积分变量
第二类换元法
把一个积分变量变成复杂的表达式
分部积分法
6 种常用套路
有理函数的不定积分
多项式的除法，把有理函数拆成部分和
分数中多个积分变量的次数差异过大，尝试分子分母同乘/除 x 的 n 次方
第 5 章：定积分及其应用（应用）
知识体系
概念
定积分定义
lim f(ξ)△x = ʃf(x)dx
定积分的还原法和分部积分法
广义积分/反常积分的定义及其收敛性判别法
积分上下限是∞的定积分
有间断点的定积分
只有已知积分的极限存在的情况下才能考虑使用奇偶性
定积分在几何上的应用
反常积分
积分区间无限或被积函数有无穷间断点
反常积分的敛散性判别法
反常积分的判别定理
Γ函数
性质
定积分的一般性质
最大最小值定理
定积分中值定理
定积分的基本定理
积分上限函数（定积分的积分上限是 x 的定积分）
牛顿-莱布尼兹公式
定积分的特殊性质
上下限对称的定积分
三角函数定积分性质
0~∏/2 的定积分中 ∫f(sinx)dx = ∫f(cosx)dx
对称性
sinx的n次方的积分
ʃf(sinx)dx 和 ʃf(cosx)dx 的互换
...
周期函数的定积分
方法体系
题型一：定积分的概念与性质解题
题型二：变积分限问题（把x从f中提取出来；极限洛必达，等式两边求导；积分牛顿莱布尼兹公式公式）
题型三：定积分的计算
Case1：定积分的常规运算
Case2：积分上限函数：把x从f中提取出来 & 洛必达，牛顿-莱布尼兹等消积分号
题型四：几何应用
有公式用公式，没公式用积分法
题型五：定积分的证明
f(x) 连续 +[单调]
f(x) 可导
第 6 章：多元微分学（工具；简单）
知识体系
定义
多元微分的极限
二元函数中，x和y能从无数个方向趋近于 (x0,y0)
多元微分的连续
多元微分的偏导数
如果在某点对每个变量的一阶偏导数都存在，那么称其可偏导
多元微分的可微（又叫可全微）
全微分
性质
多元微分在闭区间上连续的性质
最大最小值定理
有界性
介值定理
零点定理
多元微分的连续，可偏导，可微的关系
连续，可偏导性质弱；可微性质强
可微能推出连续和偏导。其他关系均不可推出
两个偏导均连续，则可微（如果只是一个偏导连续，推不出可微）
连续可偏导 > 可微。所以连续可偏导可推出可微
隐函数存在定理
方法体系
PS：可微的充要条件
求偏导
多元显函数求偏导
复合函数求偏导
多元隐函数求偏导
变换求偏导
求极值
无条件极值（两种 case）
条件极值
拉格格朗日数乘法
二元转一元
参数方程法
题型三：求偏导数的反问题
用定义证明分段函数的连续性，可偏导性，可微性
第 7 章：微分方程
知识体系
微分方程的定义
微分方程的通解和特解
解微分方程的定义
由dy/dx = ... 得到 y = y(x) 的过程叫解微分方程
方法体系
题型一：一阶微分方程
可分离变量的微分方程
齐次微分方程，凑 u = y/x
一阶齐次线性微分方程 dy/dx + P(x)y = 0
一阶非齐次线性微分方程 dy/dx + P(x)y = Q(x)
题型二：可降价的高阶微分方程
普通型
缺 y 型
设 y' = p，y'' = dp/dx
缺 x 型
设 y' = p，y'' = dp/dy *p
题型三：高阶线性微分方程
定义
二阶线性微分方程解的结构
特例
二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常数系数齐次线性微分方程和二阶常数系数非齐次线性微分方程的解的结构的关系
第 1 章：极限与连续（概念）
极限和无穷小：知识体系
概念
极限
数列极限
n 越大越趋近于A，a(n)不等于A。极限值等于A
函数极限
x 越大越趋近于A，f(x) 不等于 A。极限值等于 A
x 越趋近于 a，f(x) 越趋近于 A。极限值等于 A
无穷小
性质
一般性质
唯一性（不重要）
保号性
有界性
列极限与子列极限的关系
列极限存在 => 子列极限存在且相同
子列极限存在 ≠> 列极限存在
运算性质
极限的四则运算
符合函数极限的运算性质
存在性质
夹逼定理（也可以用来求极限）
单调有界=>有极限&极限值
无穷小性质
一般性质：两个无穷小相加减乘或一个无穷小乘以 k ，还是无穷小
等价性质：常用等价无穷小
4个重要极限
连续与间断：知识体系
概念
连续
在某点连续
f(x) 在 a 的邻域内极限等于 f(a)。即连续=>有极限
在某段区间内连续
闭区间内处处连续
左端点处：右极限 = 左端点值
右端点处：左极限 = 右端点值
左端点处：右极限 = 左端点值
右端点处：左极限 = 右端点值
间断：两类间断点
第一类（左右极限均存在）
可去——左右极限相等但 ≠ f(a)
跳跃——左右极限不相等
第二类（做右极限至少有一个不存在）
性质
最大最小值定理：在闭区间上连续的函数必有 Max 和 Min
在闭区间上连续的函数必有界
零点定理
介值定理
极限和无穷小：方法体系
题型一：n 项和求极限
（n也可能很小，比如n=3）
（n也可能很小，比如n=3）
尝试简化或求和后再求极限（直接法）/ 先计算和或积，再计算极限
夹逼定理（分子齐，分母不齐，用夹逼）
定积分定义求解（分子齐，分母齐，分子比分母少一次）
题型二：证明极限存在
有界且单调=>极限存在，即求有界和单调
数学归纳法 求a(n) - a(n+1) 或 a(n) / a(n+1) 的大小关系
4个重要的不等式
中值定理
求导求其单调性
题型三：不定型
7 种不定型求解方法
无穷大 / 无穷大 的 3 个常用法则（见笔记）
拆项
麦克劳林公式
拉格朗日中值定理
分子或分母中出现 f(a) - f(b) 可考虑用中值定理
题型四：变积分限问题
积分上下限中出现了字母 a，a 不是被积变量，则分离积分中被积函数的 a，提到积分号外。再结合洛必达去积分号
连续与间断：方法体系
题型四：求某点是否是间断点 & 属于哪种间断点
第 2 章：导数与微分（工具）
知识体系
概念
导数
1. 范围是 a 的邻域，所以 x=a 能被取到
2. 可导必连续，连续不一定可导
3. 可导的几何意义是曲线光滑且连续（不规范的理解）
4. f(x) 在a处可导≠>|f(x)| 在a处可导。比如 f(x)=x
5. f(x)在0处的极限和f(0)不同 & f(x)可导和f(x)连续可导是不同的
6. 定义法证明 f(x) 在 a 点可导的注意事项
保双侧。必须考虑 x 从左右两侧靠近 a，而不是一侧
不可跨。分子严格遵守定义中 f(x0+a) - f(x0)，a是趋于0的增量。被减数一定是x0
阶相同。分子和分母的阶应该相同。比如 x->0，分子中函数自变量为x^2，分子用x，阶不同就不行
微分
1. 微分 dy = Adx
2. 可微<=>可导。是等价的
性质
求导工具
常见的基本公式的导数
补充了3个
函数的和差积商的求导法则
补充了1个
复合求导
反函数求导
重复讲了一遍，因为微分方程中会用反函数求导
两种特殊形式的函数求导
隐函数求导
参数方程求导
方法体系
题型一：根据导数和微分定义求解
题型二：各种形式函数的求导
显函数求导，隐函数求导
参数方程求导
分段函数求导
先证连续，再求导
题型三：变积分限函数求导
题型四：高阶导数求导（莱布尼兹公式）
公式法
归纳法
泰勒公式（实际用的是麦克劳林公式）
第 3 章：一元微分学——微分中值定理和极值（应用）
微分中值定理：知识体系
概念
预备知识：极值点
f(x₀) 是 x₀ 去心邻域内的最值，函数值要大/小于两侧
罗尔中值定理
推广：导数的零点定理
拉格朗日中值定理
推广：拉格朗日中值定理的等价形式
柯西中值定理
洛必达法则
前提条件：上下函数均可导且上下求导后等式的极限存在
Note：若原式执行洛必达后极限不存在，则不能推出原式极限不存在
泰勒公式/泰勒中值定理
泰勒中值定理的推广
微分中值定理：方法体系
题型一：证明 f(x) 的 n 阶导为0（罗尔中值定理问题）（两种 case ）
题型二：仅有 ξ 一个中值项，没有其他字母（两种 case ）
还原法
分块构造法
补充 case2 中阶差=2的题型
补充 case3
题型三：有一个中值项 ξ ，还有两个常数 a, b（有两种 case ）
常数与中值项可以分离。凑拉格朗日/柯西
常数与中值项不能分离
题型四：有 ξ 和 η 两个中值项（有三种 case）
case1：仅有两个中值项：找 3 点，用 2 次拉格朗日
case2：两个中值项的复杂程度不一样：分离两个中值项后凑拉格朗日/柯西
case3：两个中值项的复杂程度相同，且对等：两次拉格朗日
补充 case3
题型五：拉格朗日中值定理的用法
2点差/3个点/一导和二导的关系
题型六：麦氏公式求极限（麦克劳林公式）&泰勒公式的常规证明问题
题中给的点或导数的阶次不同或给的已知函数值的点太少，且无法使用其他中值定理，考虑泰勒公式
x0取：和一阶导数相关的点；区间中点；其他
x取：和函数值相关的点；区间端点；其他
题型七：中值定理关于 θ 的问题
如果 f(x) 有表达式，用 4 个含 θ 公式求出 θ 的表达式
题型八：二阶导数保号性问题（两种 case）
题型九：不等式的证明
中值定理；单调性；凹凸性；最大值最小值
题型十：函数的零点或方程根的个数
零点定理；罗尔定理；单调性
题型十一：函数的单调性与极值、渐近线
极值：知识体系
极值点判别法
第一充分条件
第二充分条件
泰勒公式判别法
极值：方法体系
题型一：极值点的判断
1. 找导数为 0 或导数不存在的点
2. 用第一充分条件或第二充分条件判断点是否为极值点
题型二：证明不等式（ 4 种 case ）
单调性证明不等式（最重要的）
中值定理
凹凸性（本质上就是单调性）
最大最小值
题型三：函数的零点/方程的解
零点定理解题
罗尔定理解题
单调性解题
其他的小知识：知识体系
凹凸性
定义判别法
导数判别法：二导 > 0 为凹函数；二导 < 0 为凸函数
渐近线
水平渐近线，斜渐近线，垂直j
弧微分
曲率和曲率半径
补充
导数的零点定理
导数的介值定理
泰勒中值定理的推广
续
第 8 章：重积分
二重积分：知识体系
定义
性质
最大最小值性质 和 二重积分的中值定理
对称性
关于 x/y 轴对称
y 关于 x 轴对称 ∫∫f(x,y)ds = ∫∫f(y,x)ds
二重积分 ：方法体系
定义解题
直角坐标积分法
改变积分次序
积分次序不对，所以需要改变积分次序（常见的需要改变积分次序的积分函数记公式表中）
变积分函数求导，所以需要改变积分次序后把二重积分转为一重积分，才能对一重变积分函数求导
极坐标积分法
三重积分：知识体系
定义
性质
三重积分：方法体系
直角坐标积分法
铅直投影法
切片法
球坐标积分法
第 9 章：级数
知识体系：常数项级数
基本定义
5 条基本性质
收敛级数 * 一个不为0的常数仍收敛
两个收敛级数相加减仍收敛，级数和为两收敛级数和相加减
添加或去掉有限项，级数的敛散性不变。但级数和可能改变
在收敛级数里添加括号，级数仍收敛（加括号，提高收敛性）
收敛级数的一般项趋于0，但一般项趋于0的级数不一定收敛
两个重要级数
p级数
p=1 时，是调和级数，发散
几何级数
正项级数及其审敛法
比较审敛法
比较审敛法的极限形式
两级数的商的极限
比值审敛法
级数自己除以自己的极限
根值审敛法
极限审敛法
交错级数及其审敛法
莱布尼兹定理
绝对收敛与条件收敛
使得大部分常数项级数的收敛性可转为正项级数是否收敛的问题
知识体系：幂级数
幂级数定义
收敛半径和收敛域的求法
阿贝尔定理和1个定理1个推论
用根值求——P197
幂级数的性质
幂级数的和函数在收敛于内连续
幂级数逐项可导
幂级数逐项可积
方法体系：幂级数
函数展开为幂级数
直接法：从函数中凑出幂级数的常用展开式
间接法：求函数导数/原函数的幂级数。再用幂级数的逐项可导/逐项可积性求会目标函数的的幂级数展开式
求和函数：幂级数展开式收为函数
直接法：用幂级数的常用展开式
间接法：用逐项可导/逐项可积性
逐项积分法
求指定级数的级数和：求其和函数，再把原式中的x带入和函数中
第 10 章：空间解析几何
知识体系
向量的运算
运算法则
数量积，向量积，混合积
几何角度运算（用向量算）
代数角度运算（用坐标算）
空间平面及其方程
空间平面的一般方程
空间平面的点法式方程
空间平面的截距式方程
空间直线及其方程
空间直线的一般方程
空间直线的对称式方程/点向式方程
空间直线的参数方程
空间曲面及其方程
特殊曲面：柱面，旋转面
空间曲面上某点的 法线 和 切平面
距离公式
两点间的距离
点到平面的距离
两平行平面的距离
点到直线的距离
两条异面/不相交的直线间的距离
夹角公式
两向量之间的夹角
两直线之间的夹角
两平面之间的夹角
线和面之间的夹角
方法体系（自己总结的）
已知直线，求旋转曲面的方程
求关于平面的对称点/对称直线
求某直线在某平面上的投影
求两平面的交线的平面束
两直线是否相交
求曲面某点的法向量
第 11 章：曲线积分和曲面积分
知识体系
对弧长的曲线积分
物理意义：求曲线构件的质量
对坐标的曲线积分
物理意义：求变力沿曲线做的功
对面积的曲面积分
物理意义：求曲面构件的质量
对坐标的曲面积分
物理意义：求单位时间内流入指定侧的流量
斯托克斯公式
三维空间下 对坐标的曲线积分和对坐标的曲面积分的转换公式
方法体系
（线切面法。导即为切）
（线切面法。导即为切）
对弧长的曲线积分
替代法：充分利用对称性和奇偶性先消掉积分中多余的部分
定积分法：把曲线积分转为定积分
对坐标的曲线积分
定积分法：把曲线积分转为定积分
格林公式：曲线积分和二重积分的互换
与路径无关的曲线积分
对面积的曲面积分
替代法：充分利用对称性和奇偶性先消掉积分中多余的部分
二重积分法：把曲面积分转为二重积分
对坐标的曲面积分
二重积分法：把曲面积分转为二重积分
高斯公式：曲面积分和三重积分的互换
PS：充分利用对称性和奇偶性先消掉积分中多余的部分
tmp
第 4 章：不定积分
三角函数的万能公式 讲义P84
不定积分中三角函数的常用且很有用的套路 讲义 P90~P92
介值定理的使用
二重积分：讲义 P175 例5
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