CAL-5-定积分
2021-08-01 14:39:44 0 举报AI智能生成
高等数学微积分 第五章 定积分 知识点梳理
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大纲/内容
积分法
换元法
令a=φ(α)，b=φ(β)
分部积分法
特殊性质
奇偶性(1)
有理化:
三角函数(4)
设f(x)∈C[0,1]，满足
通常遇到分母变换后仍不变的，可以考虑此变换
对f(cosx)不适用
可用区间再现公式证明
周期性(2)
：平移不变性
：倍周期
区间再现公式
易错点
不要把dx的x也换了
原理和证明
令t=a+b-x，最后把t换成x
反常积分
无限区间
[a,+∞)
(-∞,b]
(-∞,+∞)
判别法
Φ(x)=x^α * f(x)
Φ(x)=x^α * f(x)
α>1，且limΦ(x)存在→收敛
α≤1，且limΦ(x)=k(≠0)或∞→发散
第二类间断点(无穷间断点)
f(x)∈C(a,b]，f(a+0)=∞
判别法
α<1，且存在→收敛
α≥1，且=k(>0)或∞→发散
f(x)∈C[a,b)，f(b-0)=∞
判别法
α<1，且存在→收敛
α≥1，且=k(>0)或∞→发散
Γ函数
性质
要点
核心是积分定义极限存在，因此对于既有无限区间又有间断点的积分，需要论证无穷远和间断点的极限均存在
两个α构造的Φ(x)可能是在另一方向上指向相反结论的，只需要保证两个Φ(x)在任意的分别不同方向上收敛就可以了。
同时存在两个端点是第二类间断点时，α可能是同一个值。
基本定义
f(x)在[a,b]上有界
f(x)在[a,b]上有界是可积的必要不充分条件
极限存在→可积
极限不存在→不可积
基本形态(3)
积分基本定理
牛顿-莱布尼茨公式
设f(x)∈C[a,b]，，则，ie.
变积分限函数/积分变限函数
变积分限函数/积分变限函数
变积分限函数
积分中值定理
设f(x)∈C[a,b]，则存在ξ∈(a,b)使
基本初等函数的定积分
幂，指(4)
三角函数(10)
平方和/差(2)
根号平方和/差(5)
根号平方和/差(5)
职业：暂无
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