CAL-6-多元函数微分学
2021-07-30 11:55:17 1 举报AI智能生成
高等数学微积分 第六章 多元函数微分学 知识点梳理
作者其他创作
大纲/内容
多元理论实践(3)
求偏导(3)
多元显函数求偏导
把其他变量看做常数
二阶偏导数仍然连续
对于二阶连续可偏导的f：
多元复合函数求偏导(3)
先辨析：
注意回代u(t),v(t)
一般简记：
注意亦是以u，v为自变量的复合函数
技巧
型要先取对数
多元隐函数求偏导(3)
确定已知函数
对已知函数（等号两侧）直接求导，整理出目标对象
若已知函数是显函数，无需隐函数化
其余自变量均视为函数，应用求导乘法公式
解法
视目标导数的自变量为全局自变量
将另外的变量视为自变量的函数
直接求导，作为二元方程组求解目标偏导
Jacobi行列式
多元微分学代数应用
极值
极值
参照：一元
基本步骤：
多元函数极值(2)
无条件极值
Case1. z=f(x,y)
Case2. F(x,y,z)=0
Case1. z=f(x,y)
Case2. F(x,y,z)=0
Case1. ,D是开区域（不含边界）
令（驻点）
应用判别法
条件极值
(有限制条件)
(有限制条件)
设目标函数，且满足
令
令
解法一：由消去，代入(c)解得(x,y)
解法二：由(a)(b)得到，代入(c)解得，从而解出(x,y)
技巧：恰好与y无关时，可以单独分析直到解出对应(x,y)。同理
应用判别法
判别法
令
混合情况
取整与否对应了两种不同的极值：取整：条件；不取整：无条件；
最大最小直接代值即可
多元微分学物理
与几何应用
与几何应用
方向导数与梯度(3)
方向余弦
当自变量正交时，方向余弦的平方和=1
方向导数
梯度
几何应用(2)
空间曲面
：切平面
：法向量
：法线
空间曲线(2)
：法平面
：切向量
：切线
：切向量
基本概念
极限
一元：
二元：
连续
一元：
等价于：左右极限均有，=函数值
二元：
偏导数
偏增量
：
：
全增量
：
偏导数
，则称f(x,y)在处对x可偏导。
极限值A称该点处函数对x的偏导数，即为
极限值A称该点处函数对x的偏导数，即为
可微性
一元：
称函数可微
并记为函数的微分
并记为函数的微分
二元：
称函数在可微
并记为函数的全微分
称函数在可微
并记为函数的全微分
有界闭区域上连续的性质（3）
最值定理：若f(x,y)在有界闭区域D连续→
有界定理：若f(x,y)在有界闭区域D连续→使
介值定理：设f(x,y)在有界闭区域D连续，
连续、可偏导、可微之关系
可微→连续
可微→可偏导
连续可偏导:
不可偏导。
可偏导连续：
(0,0)不连续，可偏导
方向导数与梯度
方向导数
方向余弦
当自变量正交时，方向余弦的平方和=1
方向余弦即为方向角的余弦
通常利用方向余弦求方向导数
梯度
梯度即为点处，取最大值的方向导数
大小
方向
职业：暂无
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