CAL-7-微分方程
2021-07-28 10:41:38 0 举报AI智能生成
高等数学微积分第七章 微分方程 知识点梳理总结
作者其他创作
大纲/内容
基本概念
微分方程：含导数或微分的方程
常微分方程
偏微分方程
阶数：微分方程中所含导数、微分的最高阶数
解：使微分方程成立的函数称微分方程的解。不含任意常数的称为特解
若解中含的相互独立的任意常数的个数与阶数相等，则称此解为通解
若解中含的相互独立的任意常数的个数与阶数相等，则称此解为通解
一阶微分方程
可分离变量的微分方程
注意讨论：h(y)取0的可能性
注意讨论：C的取值范围
注意：不同情况下的解有时可以合并
注意：对数项的正负号
对形如 的微分方程，可以通过变对数为指数，
同时改变常数的取值范围来去掉绝对值。
对一阶线性微分方程通解同时，可以对 e 的右上角的指数同时去绝对值。
同时改变常数的取值范围来去掉绝对值。
对一阶线性微分方程通解同时，可以对 e 的右上角的指数同时去绝对值。
齐次微分方程
令，故，
一阶齐次线性微分方程
讨论y的取0可能性
dy/y=-P(x)dx
ln|y|=-∫P(x)dx+C
结论：
一阶非齐次线性微分方程
对比
考虑令c为c(x)（常数变易为函数），有
代入原方程，得，积分得
于是有
结论：
注意指数部分互为相反数，外负内正
*伯努利方程
令 便有
结论：
可降阶高阶微分方程(3)
注意观察
若换元后的方程非线性，
先将元换回去整理，
再尝可分离变量积分
先将元换回去整理，
再尝可分离变量积分
例：求满足的特解
例：求满足的特解
二阶线性微分方程
(高阶LDE)
(高阶LDE)
二阶齐次线性微分方程
二阶非齐次线性微分方程
if ，则可拆解为两个子方程：
解的结构(4)
1.
若
2.
3.
特例：
4.
线性微分方程解的叠加原理
特例：
二阶常系数齐次线性微分方程
特征方程：
拓展：三阶线性微分方程
特征方程：
根据特征方程根的情况(4)
特征方程：
根据特征方程根的情况(4)
二阶常系数非齐次线性微分方程
考虑解的结构：y=(*)通解+(**)特解
特征方程：求出齐次部分通解
求特解
Case1.
(一般n≤2，可能k=0)
(一般n≤2，可能k=0)
令特解
若k是特征方程的i重根，则额外再乘
代入原方程，待定系数法求a, b...
若k是特征方程的i重根，则额外再乘
代入原方程，待定系数法求a, b...
Case2.
*二次用半角公式降次
*二次用半角公式降次
令特解
若是特征方程的重根，则额外再乘
代入原方程，待定系数法求a, b...
若是特征方程的重根，则额外再乘
代入原方程，待定系数法求a, b...
两部分相加得到非齐次通解
根据解的组成可以判断根的情况
指数部分的系数是特征值或其整体
是非齐部分特解的一部分，如果代入
原方程不能恒成立，则必是特征值
是非齐部分特解的一部分，如果代入
原方程不能恒成立，则必是特征值
出现三角函数就有虚根，虚根必成对出现
例：求的特解形式
出现带x的指数，则有重根或该部分是非齐特解
根据非齐次部分的组成反推解的结构
解题思路
含反函数的微分方程
合理利用：
非线性微分方程的处理
部分化成并换元
整体化成
求满足
的特解
的特解
方程左侧含不可分离的三角函数的处理
关于x的三角函数
例：求的通解
有公式直接用公式，慢慢整理即可
关于y的三角函数
含积分的隐藏微分方程
凡是定积分结果与目标函数自变量有关的，优先考虑寻找x=0或积分区间为一个点的情况，可以求出一个自由变量C
按公式积分含绝对值
对于中，出现的情况
可见
代入原积分公式，可见若里外绝对值部分
同正同负则可以消掉正负号，而常数C
可以吸收正负号，则绝对值可以去掉
同正同负则可以消掉正负号，而常数C
可以吸收正负号，则绝对值可以去掉
对于其他不知...正负的情况，一律不能去掉绝对值
结论：一阶线性微分方程的绝对值可去
对于非公式解方程出现ln|...|的情况
一般不可去，正负号消不掉就移项
疑似偏微分方程
识别：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,P(x,y)Q(x,y)形式对称且交叉偏导
即：可以视P，Q为某函数R对x、对y的偏导，原方程可化为
实际上是全微分方程
职业：暂无
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