LA-2-矩阵与运算
2021-08-07 16:57:38 18 举报AI智能生成
线性代数 第二章、第三章(部分)矩阵及其运算 知识点梳理
作者其他创作
大纲/内容
分块矩阵
运算法则
四则同矩阵
应用
分4块的应用
分4块的应用
矩阵相乘
矩阵的幂
逆矩阵
行分块的应用
行分块的应用
向量，秩
列分块的应用
列分块的应用
向量，秩
解方程组
对于AB=C
如A可逆则
B的行向量可由C的行向量线性表出
如B可逆则
A的列向量可由C的列向量线性表出
对于AB=0
B的行向量组成的列向量是方程的解
例
设A=,B为3阶非0矩阵，且AB=0，求t
方阵的行列式
一般情况下
矩阵
基本概念及运算法则
特征
秩(Rank)
矩阵中任取k行k列，形成的kk大小的区域构成的行列式称为矩阵的k阶子式
非0子式的最高阶数称为矩阵的秩
初等变换不改变矩阵的秩
行阶梯矩阵的秩等于其非0行数
结论
0矩阵的秩为0
可逆矩阵的秩等于其阶数
不可逆矩阵的秩小于其阶数
伴随矩阵
最重要的性质：，即
逆矩阵
矩阵A可逆
可逆矩阵
可逆矩阵的秩等于其阶数
又称为满秩矩阵
求法
行阶梯矩阵
满足
矩阵若有0行，则0行在矩阵底部
每个非零行的主元(首个非零元)
下方只有0元素或无
下方只有0元素或无
行最简矩阵
满足
是行阶梯矩阵
每个非零行的主元必须是1
所在列其他元素均为0
所在列其他元素均为0
用于解方程组：方程组的增广矩阵化为行最简
考察：
将矩阵化为行阶梯、行最简矩阵
相似矩阵
若存在可逆矩阵P，使得，称A与B相似，记为
等价矩阵
A经过有限次初等变换得到B，称A与B等价，记为
等价矩阵形状相同
等价标准型
设可逆矩阵
使
称PAQ得到的矩阵为A的等价标准型
矩阵的初等(行/列)变换
初等行/列变换
初等变换的深刻意义在于：初等变换不改变矩阵的秩
倍乘(非0元)
互换
倍加
初等矩阵
单位矩阵经过一次初
等变换得到的矩阵
单位矩阵经过一次初
等变换得到的矩阵
例
初等矩阵通常可按“经历一次行变换”
“经历一次列变换”两种方式构成
“经历一次列变换”两种方式构成
初等矩阵P左乘矩阵A，即AP，相当
于A做一次与P相同的初等行变换
于A做一次与P相同的初等行变换
初等矩阵P右乘于矩阵A，即PA，相
当于A做一次与P相同的初等列变换
当于A做一次与P相同的初等列变换
若记
其中P为初等矩阵，则必有
其中P为初等矩阵，则必有
推论:
列变换类似，不过分块矩阵要竖着构造
初等矩阵的逆矩阵为其逆变换对应的矩阵
初等矩阵可逆，且其逆与其同类
初等矩阵可逆，且其逆与其同类
考察方式
给出原始矩阵和结果矩阵，求中间变换对应的初等矩阵
给出初等矩阵原始矩阵，求结果矩阵
给出初等矩阵和结果矩阵，求原始矩阵
职业：暂无
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